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15. [2026深圳罗湖区模拟] 如图，直线AB: $y=-\frac{4}{3}x +4$ 与x轴，y轴分别相交于点A和点B，M是OB上一点，若将△ABM沿AM所在直线折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则△ABM的面积等于
$\frac{15}{4}$
。答案
15.$\frac{15}{4}$ 【点拨】因为直线 $AB$ 的表达式为 $y=-\frac{4}{3}x+4$,所以当 $x=0$ 时,$y=4$,当 $y=0$ 时,$-\frac{4}{3}x+4=0$,解得 $x=3$. 所以 $A(3,0),B(0,4)$. 所以 $OA=3,OB=4$. 所以 $AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$. 由折叠可知,$AB'=AB=5$,$S_{△ ABM}=S_{△ AB'M}$,所以 $\frac{1}{2}AB'· OM=\frac{1}{2}BM· OA$. 设 $M(0,m)$($0＜m＜4$),则 $OM=m$,所以 $BM=OB-OM=4-m$. 所以 $\frac{1}{2}×5m=\frac{1}{2}×3(4-m)$,解得 $m=\frac{3}{2}$. 所以 $S_{△ ABM}=\frac{1}{2}×3×(4-\frac{3}{2})=\frac{15}{4}$.
解析
【分析】
解题时首先根据一次函数解析式求出与x轴、y轴的交点A、B的坐标，利用勾股定理算出AB的长度；再结合折叠的性质得到AB'=AB，且△ABM与△AB'M面积相等；接着设出点M的纵坐标，用含未知数的式子表示OM、BM的长度，根据面积相等关系列方程求出M的纵坐标，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
第一步：求A、B两点坐标
对于直线$y=-\frac{4}{3}x +4$，
当$x=0$时，$y=4$，即$B(0,4)$，可得$OB=4$；
当$y=0$时，$-\frac{4}{3}x +4=0$，解得$x=3$，即$A(3,0)$，可得$OA=3$。
第二步：求AB的长度
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
第三步：利用折叠性质列方程
由折叠的性质可知：$AB'=AB=5$，$S_{△ ABM}=S_{△ AB'M}$。
设$M(0,m)$（$0＜m＜4$），则$OM=m$，$BM=OB-OM=4-m$。
根据三角形面积公式，$S_{△ AB'M}=\frac{1}{2}· AB'· OM$，$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}· BM· OA$，
因此有$\frac{1}{2}×5× m=\frac{1}{2}×(4-m)×3$，
化简得$5m=12-3m$，解得$m=\frac{3}{2}$。
第四步：计算$△ ABM$的面积
$BM=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，
则$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}× BM× OA=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×3=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何折叠结合的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等、对应图形面积相等的性质，通过设未知数建立方程求解，既可以用面积法列方程，也可以在$Rt△ OB'M$中用勾股定理列方程，考查学生对函数与几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据一次函数解析式求出与x轴、y轴的交点A、B的坐标，利用勾股定理算出AB的长度；再结合折叠的性质得到AB'=AB，且△ABM与△AB'M面积相等；接着设出点M的纵坐标，用含未知数的式子表示OM、BM的长度，根据面积相等关系列方程求出M的纵坐标，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
第一步：求A、B两点坐标
对于直线$y=-\frac{4}{3}x +4$，
当$x=0$时，$y=4$，即$B(0,4)$，可得$OB=4$；
当$y=0$时，$-\frac{4}{3}x +4=0$，解得$x=3$，即$A(3,0)$，可得$OA=3$。
第二步：求AB的长度
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
第三步：利用折叠性质列方程
由折叠的性质可知：$AB'=AB=5$，$S_{△ ABM}=S_{△ AB'M}$。
设$M(0,m)$（$0＜m＜4$），则$OM=m$，$BM=OB-OM=4-m$。
根据三角形面积公式，$S_{△ AB'M}=\frac{1}{2}· AB'· OM$，$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}· BM· OA$，
因此有$\frac{1}{2}×5× m=\frac{1}{2}×(4-m)×3$，
化简得$5m=12-3m$，解得$m=\frac{3}{2}$。
第四步：计算$△ ABM$的面积
$BM=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，
则$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}× BM× OA=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×3=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何折叠结合的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等、对应图形面积相等的性质，通过设未知数建立方程求解，既可以用面积法列方程，也可以在$Rt△ OB'M$中用勾股定理列方程，考查学生对函数与几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
16. ★★★ 新考法 分类讨论法 如图，直线$ l: y=ax+3 $交x轴于点$ A(6,0) $，将直线$ l $向下平移4个单位长度，得到的直线分别交x轴、y轴于点$ B,C $.
(1)求$ a $的值及$ B,C $两点的坐标；
(2)点$ M $为线段$ AB $上一点，连接$ CM $并延长，交直线$ l $于点$ N $，若$ △ AMN $是等腰三角形，求点$ M $的坐标.
(1)求$ a $的值及$ B,C $两点的坐标；
(2)点$ M $为线段$ AB $上一点，连接$ CM $并延长，交直线$ l $于点$ N $，若$ △ AMN $是等腰三角形，求点$ M $的坐标.
答案
16.【解】(1)因为直线 $l:y=ax+3$ 交 $x$ 轴于点 $A(6,0)$,所以 $6a+3=0$,解得 $a=-\frac{1}{2}$. 所以 $y=-\frac{1}{2}x+3$.
所以平移后的直线为 $y_1=-\frac{1}{2}x+3-4=-\frac{1}{2}x-1$.
令 $y_1=0$,则 $-\frac{1}{2}x-1=0$,解得 $x=-2$.
令 $x=0$,则 $y_1=-1$,所以 $B(-2,0),C(0,-1)$.
(2)分情况讨论:若 $MN=AN$,则 $∠AMN=∠MAN$.
由题易知 $AN// BC$,所以 $∠MAN=∠MBC$. 所以 $∠AMN=∠MBC$. 又因为 $∠AMN=∠BMC$,所以 $∠MBC=∠BMC$. 所以 $BC=CM$.
又因为 $CO⊥BM$,所以 $OM=OB$.
由(1)知 $OB=2$,所以 $OM=2$. 所以 $M(2,0)$;
若 $AM=AN$,则 $∠AMN=∠ANM$.
因为 $AN// BC$,所以 $∠ANM=∠BCM$. 所以 $∠AMN=∠BCM$. 又因为 $∠AMN=∠BMC$,所以 $∠BCM=∠BMC$. 所以 $BC=BM$.
由(1)知 $B(-2,0),C(0,-1)$,所以易得 $BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$. 所以 $BM=\sqrt{5}$. 所以 $OM=\sqrt{5}-2$. 所以 $M(\sqrt{5}-2,0)$;
若 $AM=MN$,则 $∠MAN=∠ANM$.
因为 $AN// BC$,所以 $∠MAN=∠MBC$,$∠MCB=∠ANM$. 所以 $∠MBC=∠MCB$. 所以 $CM=BM$. 所以 $CM^2=OC^2+OM^2=(OB-OM)^2$. 易知 $OC=1$,$OB=2$,所以 $(2-OM)^2=OM^2+1^2$. 所以 $OM=\frac{3}{4}$.
所以易知 $M(-\frac{3}{4},0)$.
综上,点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(\sqrt{5}-2,0)$ 或 $(-\frac{3}{4},0)$.
所以平移后的直线为 $y_1=-\frac{1}{2}x+3-4=-\frac{1}{2}x-1$.
令 $y_1=0$,则 $-\frac{1}{2}x-1=0$,解得 $x=-2$.
令 $x=0$,则 $y_1=-1$,所以 $B(-2,0),C(0,-1)$.
(2)分情况讨论:若 $MN=AN$,则 $∠AMN=∠MAN$.
由题易知 $AN// BC$,所以 $∠MAN=∠MBC$. 所以 $∠AMN=∠MBC$. 又因为 $∠AMN=∠BMC$,所以 $∠MBC=∠BMC$. 所以 $BC=CM$.
又因为 $CO⊥BM$,所以 $OM=OB$.
由(1)知 $OB=2$,所以 $OM=2$. 所以 $M(2,0)$;
若 $AM=AN$,则 $∠AMN=∠ANM$.
因为 $AN// BC$,所以 $∠ANM=∠BCM$. 所以 $∠AMN=∠BCM$. 又因为 $∠AMN=∠BMC$,所以 $∠BCM=∠BMC$. 所以 $BC=BM$.
由(1)知 $B(-2,0),C(0,-1)$,所以易得 $BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$. 所以 $BM=\sqrt{5}$. 所以 $OM=\sqrt{5}-2$. 所以 $M(\sqrt{5}-2,0)$;
若 $AM=MN$,则 $∠MAN=∠ANM$.
因为 $AN// BC$,所以 $∠MAN=∠MBC$,$∠MCB=∠ANM$. 所以 $∠MBC=∠MCB$. 所以 $CM=BM$. 所以 $CM^2=OC^2+OM^2=(OB-OM)^2$. 易知 $OC=1$,$OB=2$,所以 $(2-OM)^2=OM^2+1^2$. 所以 $OM=\frac{3}{4}$.
所以易知 $M(-\frac{3}{4},0)$.
综上,点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(\sqrt{5}-2,0)$ 或 $(-\frac{3}{4},0)$.
解析
【分析】
(1) 求解a的值可直接将点A(6,0)代入直线l的解析式$y=ax+3$计算即可；直线向下平移4个单位，根据一次函数平移“上加下减”的规律，在原解析式的常数项上减4即可得到平移后的直线解析式，再分别令平移后解析式的$y=0$、$x=0$，即可求出B、C两点的坐标。
(2) $△ AMN$为等腰三角形，未明确腰和底边，因此需分三种情况分类讨论：$MN=AN$、$AM=AN$、$AM=MN$。由原直线l与平移后的直线斜率相同可知$AN// BC$，可利用平行线的性质将角的等量关系转化为边的等量关系，再结合等腰三角形性质、勾股定理计算对应线段长度，即可求出在x轴上的点M的坐标。
【解析】
(1) 将$A(6,0)$代入直线$l:y=ax+3$，得$6a+3=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$，因此直线l的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
根据平移规律，向下平移4个单位后的直线解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x+3-4=-\frac{1}{2}x-1$。
令$y_1=0$，则$-\frac{1}{2}x-1=0$，解得$x=-2$，即B点坐标为$(-2,0)$；
令$x=0$，则$y_1=-1$，即C点坐标为$(0,-1)$。
(2) 分三种情况讨论：
① 若$MN=AN$，则$∠ AMN=∠ MAN$。
由题意可知$AN// BC$，因此$∠ MAN=∠ MBC$，故$∠ AMN=∠ MBC$。又$∠ AMN=∠ BMC$，所以$∠ MBC=∠ BMC$，即$BC=CM$。
因为$CO⊥ BM$，根据等腰三角形三线合一的性质，$OM=OB$。由(1)得$OB=2$，故$OM=2$，所以$M(2,0)$。
② 若$AM=AN$，则$∠ AMN=∠ ANM$。
因为$AN// BC$，所以$∠ ANM=∠ BCM$，故$∠ AMN=∠ BCM$。又$∠ AMN=∠ BMC$，所以$∠ BCM=∠ BMC$，即$BC=BM$。
由$B(-2,0)$、$C(0,-1)$，根据勾股定理得$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，故$BM=\sqrt{5}$，因此$OM=\sqrt{5}-2$，所以$M(\sqrt{5}-2,0)$。
③ 若$AM=MN$，则$∠ MAN=∠ ANM$。
因为$AN// BC$，所以$∠ MAN=∠ MBC$，$∠ MCB=∠ ANM$，故$∠ MBC=∠ MCB$，即$CM=BM$。
设$OM=x$，则$CM^2=OC^2+OM^2=1^2+x^2$，$BM=OB-OM=2-x$，因此有$(2-x)^2=x^2+1$，解得$x=\frac{3}{4}$，即M点坐标为$(-\frac{3}{4},0)$。
综上，点M的坐标为$(2,0)$或$(\sqrt{5}-2,0)$或$(-\frac{3}{4},0)$。
【答案】
(1) $a=-\frac{1}{2}$，$B(-2,0)$，$C(0,-1)$；
(2) 点M的坐标为$(2,0)$或$(\sqrt{5}-2,0)$或$(-\frac{3}{4},0)$。
【知识点】
一次函数解析式求解；一次函数平移规律；等腰三角形性质
【点评】
本题综合性较强，结合一次函数与几何知识考查分类讨论思想，解题的关键是对等腰三角形的三种情况不重不漏地分析，利用平行线的性质转化边角关系，结合勾股定理即可完成求解。
【难度系数】
0.4
(1) 求解a的值可直接将点A(6,0)代入直线l的解析式$y=ax+3$计算即可；直线向下平移4个单位，根据一次函数平移“上加下减”的规律，在原解析式的常数项上减4即可得到平移后的直线解析式，再分别令平移后解析式的$y=0$、$x=0$，即可求出B、C两点的坐标。
(2) $△ AMN$为等腰三角形，未明确腰和底边，因此需分三种情况分类讨论：$MN=AN$、$AM=AN$、$AM=MN$。由原直线l与平移后的直线斜率相同可知$AN// BC$，可利用平行线的性质将角的等量关系转化为边的等量关系，再结合等腰三角形性质、勾股定理计算对应线段长度，即可求出在x轴上的点M的坐标。
【解析】
(1) 将$A(6,0)$代入直线$l:y=ax+3$，得$6a+3=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$，因此直线l的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
根据平移规律，向下平移4个单位后的直线解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x+3-4=-\frac{1}{2}x-1$。
令$y_1=0$，则$-\frac{1}{2}x-1=0$，解得$x=-2$，即B点坐标为$(-2,0)$；
令$x=0$，则$y_1=-1$，即C点坐标为$(0,-1)$。
(2) 分三种情况讨论：
① 若$MN=AN$，则$∠ AMN=∠ MAN$。
由题意可知$AN// BC$，因此$∠ MAN=∠ MBC$，故$∠ AMN=∠ MBC$。又$∠ AMN=∠ BMC$，所以$∠ MBC=∠ BMC$，即$BC=CM$。
因为$CO⊥ BM$，根据等腰三角形三线合一的性质，$OM=OB$。由(1)得$OB=2$，故$OM=2$，所以$M(2,0)$。
② 若$AM=AN$，则$∠ AMN=∠ ANM$。
因为$AN// BC$，所以$∠ ANM=∠ BCM$，故$∠ AMN=∠ BCM$。又$∠ AMN=∠ BMC$，所以$∠ BCM=∠ BMC$，即$BC=BM$。
由$B(-2,0)$、$C(0,-1)$，根据勾股定理得$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，故$BM=\sqrt{5}$，因此$OM=\sqrt{5}-2$，所以$M(\sqrt{5}-2,0)$。
③ 若$AM=MN$，则$∠ MAN=∠ ANM$。
因为$AN// BC$，所以$∠ MAN=∠ MBC$，$∠ MCB=∠ ANM$，故$∠ MBC=∠ MCB$，即$CM=BM$。
设$OM=x$，则$CM^2=OC^2+OM^2=1^2+x^2$，$BM=OB-OM=2-x$，因此有$(2-x)^2=x^2+1$，解得$x=\frac{3}{4}$，即M点坐标为$(-\frac{3}{4},0)$。
综上，点M的坐标为$(2,0)$或$(\sqrt{5}-2,0)$或$(-\frac{3}{4},0)$。
【答案】
(1) $a=-\frac{1}{2}$，$B(-2,0)$，$C(0,-1)$；
(2) 点M的坐标为$(2,0)$或$(\sqrt{5}-2,0)$或$(-\frac{3}{4},0)$。
【知识点】
一次函数解析式求解；一次函数平移规律；等腰三角形性质
【点评】
本题综合性较强，结合一次函数与几何知识考查分类讨论思想，解题的关键是对等腰三角形的三种情况不重不漏地分析，利用平行线的性质转化边角关系，结合勾股定理即可完成求解。
【难度系数】
0.4
17. ★★★ 新题型 新定义题 定义:对于关于$x$的一次函数$y=kx+b(k≠0)$，我们称函数$y=\begin{cases}kx+b(x≤a), \\ -kx-b(x＞a)\end{cases}$为一次函数$y=kx+b(k≠0)$的“$a$变换函数”(其中$a$为常数).例如:对于关于$x$的一次函数$y=2x+1$的“5变换函数”为$y=\begin{cases}2x+1(x≤5), \\ -2x-1(x＞5).\end{cases}$
(1)一次函数$y=-x+1$的“0变换函数”为$y=$.
(2)画出一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”图象，并完成下列问题:
①对于一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”，当$x=3$时，求$y$的值；当$y=2$时，求$x$的值；
②对于一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”，当$-3≤x≤3$时，$y$的取值范围是.
(3)当一次函数$y=-x+1$的“$a$变换函数”图象与直线$y=2$有一个交点时，直接写出$a$的取值范围.
(1)一次函数$y=-x+1$的“0变换函数”为$y=$.
(2)画出一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”图象，并完成下列问题:
①对于一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”，当$x=3$时，求$y$的值；当$y=2$时，求$x$的值；
②对于一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”，当$-3≤x≤3$时，$y$的取值范围是.
(3)当一次函数$y=-x+1$的“$a$变换函数”图象与直线$y=2$有一个交点时，直接写出$a$的取值范围.
答案
17.【解】(1)$\begin{cases}-x+1(x≤0), \\ x-1(x＞0)\end{cases}$
(2)$y=-x+1$ 的“2 变换函数”为 $y=\begin{cases}-x+1(x≤2), \\ x-1(x＞2),\end{cases}$, 其图象如图所示.
①当 $x=3$ 时,$y=3-1=2$;
当 $y=2$ 时,$-x+1=2$ 或 $x-1=2$,
解得 $x=-1$ 或 $x=3$.
②$-1≤y≤4$ 【点拨】当 $-3≤x≤2$ 时,$y=-x+1$,易知 $y$ 随 $x$ 的增大而减小. 所以 $-1≤y≤4$; 当 $2＜x≤3$时,$y=x-1$,易知 $y$ 随 $x$ 的增大而增大,所以 $1＜y≤2$. 综上所述,$-1≤y≤4$.
(3)当一次函数 $y=-x+1$ 的“$a$ 变换函数”图象与直线 $y=2$ 有一个交点时,$a＜-1$ 或 $a≥3$.
【点拨】由(2)可知,在函数 $y=-x+1$ 的“2 变换函数”中,$y=2$ 时,$x=-1$ 或 $x=3$,所以当一次函数 $y=-x+1$ 的“$a$ 变换函数”图象与直线 $y=2$ 有一个交点时,$a＜-1$ 或 $a≥3$.
解析
【分析】
本题是新定义类问题，解题核心是准确理解“a变换函数”的定义：将一次函数分为$x≤a$和$x＞a$两段，$x≤a$时保留原函数解析式，$x＞a$时将原函数整体取相反数。
(1)直接套用新定义，将$a$替换为0，写出对应的分段函数即可；
(2)先写出“2变换函数”的分段解析式，再按要求求解：
①求$x=3$的函数值时，先判断3所属的分段区间，代入对应解析式计算；求$y=2$对应的$x$值时，分别在两个分段区间内列方程求解，再检验解是否符合对应区间的取值要求；
②求$-3≤x≤3$时$y$的取值范围，将区间分为$-3≤x≤2$和$2＜x≤3$两段，分别根据一次函数的增减性求出对应$y$的范围，再合并得到总范围；
(3)先求出$y=2$与两段函数的交点横坐标为$x=-1$和$x=3$，要使图象与$y=2$只有1个交点，需保证两个交点仅有1个落在对应的分段区间内，据此推导$a$的取值范围。
【解析】
(1)根据“a变换函数”的定义，$a=0$时，一次函数$y=-x+1$的“0变换函数”为$\begin{cases}-x+1(x≤0) \\ -(-x+1)=x-1(x＞0)\end{cases}$。
(2)一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”为$y=\begin{cases}-x+1(x≤2) \\ x-1(x＞2)\end{cases}$。
①当$x=3$时，$3＞2$，代入$y=x-1$得：$y=3-1=2$；
当$y=2$时，分两种情况：
情况1：$x≤2$时，$-x+1=2$，解得$x=-1$，满足$x≤2$；
情况2：$x＞2$时，$x-1=2$，解得$x=3$，满足$x＞2$；
综上，$x$的值为-1或3。
②分两段讨论$y$的取值：
当$-3≤x≤2$时，函数为$y=-x+1$，$k=-1＜0$，$y$随$x$的增大而减小：
$x=-3$时，$y=-(-3)+1=4$；$x=2$时，$y=-2+1=-1$，故此时$-1≤y≤4$；
当$2＜x≤3$时，函数为$y=x-1$，$k=1＞0$，$y$随$x$的增大而增大：
$x=2$时，$y=2-1=1$（取不到）；$x=3$时，$y=3-1=2$，故此时$1＜y≤2$；
合并两个区间的$y$范围，得$-1≤y≤4$。
(3)由(2)可知，$y=2$与两段函数的交点横坐标为$x=-1$（对应$x≤a$的段）、$x=3$（对应$x＞a$的段）：
若图象与$y=2$仅有1个交点：
第一种情况：仅$x=3$为有效交点，即$x=-1$不在$x≤a$的区间内，得$a＜-1$；
第二种情况：仅$x=-1$为有效交点，即$x=3$不在$x＞a$的区间内，得$a≥3$；
综上，$a$的取值范围是$a＜-1$或$a≥3$。
【答案】
(1)$\begin{cases}-x+1(x≤0), \\ x-1(x＞0)\end{cases}$
(2)一次函数$y=-x+1$ 的“2 变换函数”为 $y=\begin{cases}-x+1(x≤2), \\ x-1(x＞2),\end{cases}$, 其图象如图所示.
①当$x=3$时，$y$的值为2；当$y=2$时，$x$的值为-1或3；
②$-1≤y≤4$
(3)$a＜-1$ 或 $a≥3$
【知识点】
新定义问题，分段函数，一次函数的性质
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查分段函数的求值、范围求解及交点问题，解题时需紧扣新定义拆分函数，结合一次函数的增减性分类讨论，注意自变量取值范围对结果的影响，能有效提升信息迁移能力和分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
本题是新定义类问题，解题核心是准确理解“a变换函数”的定义：将一次函数分为$x≤a$和$x＞a$两段，$x≤a$时保留原函数解析式，$x＞a$时将原函数整体取相反数。
(1)直接套用新定义，将$a$替换为0，写出对应的分段函数即可；
(2)先写出“2变换函数”的分段解析式，再按要求求解：
①求$x=3$的函数值时，先判断3所属的分段区间，代入对应解析式计算；求$y=2$对应的$x$值时，分别在两个分段区间内列方程求解，再检验解是否符合对应区间的取值要求；
②求$-3≤x≤3$时$y$的取值范围，将区间分为$-3≤x≤2$和$2＜x≤3$两段，分别根据一次函数的增减性求出对应$y$的范围，再合并得到总范围；
(3)先求出$y=2$与两段函数的交点横坐标为$x=-1$和$x=3$，要使图象与$y=2$只有1个交点，需保证两个交点仅有1个落在对应的分段区间内，据此推导$a$的取值范围。
【解析】
(1)根据“a变换函数”的定义，$a=0$时，一次函数$y=-x+1$的“0变换函数”为$\begin{cases}-x+1(x≤0) \\ -(-x+1)=x-1(x＞0)\end{cases}$。
(2)一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”为$y=\begin{cases}-x+1(x≤2) \\ x-1(x＞2)\end{cases}$。
①当$x=3$时，$3＞2$，代入$y=x-1$得：$y=3-1=2$；
当$y=2$时，分两种情况：
情况1：$x≤2$时，$-x+1=2$，解得$x=-1$，满足$x≤2$；
情况2：$x＞2$时，$x-1=2$，解得$x=3$，满足$x＞2$；
综上，$x$的值为-1或3。
②分两段讨论$y$的取值：
当$-3≤x≤2$时，函数为$y=-x+1$，$k=-1＜0$，$y$随$x$的增大而减小：
$x=-3$时，$y=-(-3)+1=4$；$x=2$时，$y=-2+1=-1$，故此时$-1≤y≤4$；
当$2＜x≤3$时，函数为$y=x-1$，$k=1＞0$，$y$随$x$的增大而增大：
$x=2$时，$y=2-1=1$（取不到）；$x=3$时，$y=3-1=2$，故此时$1＜y≤2$；
合并两个区间的$y$范围，得$-1≤y≤4$。
(3)由(2)可知，$y=2$与两段函数的交点横坐标为$x=-1$（对应$x≤a$的段）、$x=3$（对应$x＞a$的段）：
若图象与$y=2$仅有1个交点：
第一种情况：仅$x=3$为有效交点，即$x=-1$不在$x≤a$的区间内，得$a＜-1$；
第二种情况：仅$x=-1$为有效交点，即$x=3$不在$x＞a$的区间内，得$a≥3$；
综上，$a$的取值范围是$a＜-1$或$a≥3$。
【答案】
(1)$\begin{cases}-x+1(x≤0), \\ x-1(x＞0)\end{cases}$
(2)一次函数$y=-x+1$ 的“2 变换函数”为 $y=\begin{cases}-x+1(x≤2), \\ x-1(x＞2),\end{cases}$, 其图象如图所示.
①当$x=3$时，$y$的值为2；当$y=2$时，$x$的值为-1或3；
②$-1≤y≤4$
(3)$a＜-1$ 或 $a≥3$
【知识点】
新定义问题，分段函数，一次函数的性质
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查分段函数的求值、范围求解及交点问题，解题时需紧扣新定义拆分函数，结合一次函数的增减性分类讨论，注意自变量取值范围对结果的影响，能有效提升信息迁移能力和分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
