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11. 正比例函数$y=kx(k＜0)$，当$1≤ x≤ 5$时，函数$y$的最大值和最小值之差为4，则$k=$
$-1$
.答案
11. $-1$ 【点拨】因为正比例函数 $ y=kx(k＜0) $,所以 $ y $随 $ x $ 的增大而减小. 当 $ x=1 $ 时,$ y=k $,当 $ x=5 $ 时,$ y=5k $. 因为当 $ 1≤x≤5 $ 时,函数 $ y $ 的最大值和最小值之差为4,所以 $ k-5k=4 $,解得 $ k=-1 $.
解析
【分析】
首先回忆正比例函数的增减性规律：当k＜0时，y随x的增大而减小。因此在x的取值范围1≤x≤5内，x取最小值时对应的y值最大，x取最大值时对应的y值最小。再根据最大值与最小值的差为4，列出关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
∵ 正比例函数$y=kx$中$k＜0$，
∴ $y$随$x$的增大而减小，
∴ 当$1≤x≤5$时，$x=1$时$y$取得最大值，最大值为$y=k×1=k$；$x=5$时$y$取得最小值，最小值为$y=k×5=5k$。
根据题意，最大值与最小值的差为4，可得：
$k - 5k = 4$
合并同类项得：$-4k = 4$
解得：$k = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
正比例函数的增减性；一元一次方程的解法
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用，解题核心是先根据k的符号判断函数的增减趋势，准确找到给定区间内函数的最大值和最小值，再结合等量关系列方程求解，易错点是容易混淆k正负对应的增减性，导致最值对应关系出错。
【难度系数】
0.8
首先回忆正比例函数的增减性规律：当k＜0时，y随x的增大而减小。因此在x的取值范围1≤x≤5内，x取最小值时对应的y值最大，x取最大值时对应的y值最小。再根据最大值与最小值的差为4，列出关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
∵ 正比例函数$y=kx$中$k＜0$，
∴ $y$随$x$的增大而减小，
∴ 当$1≤x≤5$时，$x=1$时$y$取得最大值，最大值为$y=k×1=k$；$x=5$时$y$取得最小值，最小值为$y=k×5=5k$。
根据题意，最大值与最小值的差为4，可得：
$k - 5k = 4$
合并同类项得：$-4k = 4$
解得：$k = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
正比例函数的增减性；一元一次方程的解法
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用，解题核心是先根据k的符号判断函数的增减趋势，准确找到给定区间内函数的最大值和最小值，再结合等量关系列方程求解，易错点是容易混淆k正负对应的增减性，导致最值对应关系出错。
【难度系数】
0.8
12. ★★ 新题型动点探究题 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为$(1,2)$，点B是正比例函数$y=x$图象上一动点，点C是y轴上一动点，则$△ ABC$周长的最小值为
$\sqrt{10}$
。答案
12. $\sqrt{10}$ 【点拨】分别作点 A 关于直线 $ y=x $ 的对称点P,关于 y 轴的对称点 Q,连接 PQ 交直线 $ y=x $ 于点 B,交 y 轴于点 C,如图. 易知 $ AC=CQ $,$ BP=AB $,所以$C_{△ABC}=AC+CB+AB=CQ+CB+BP$. 因为 $ P,B,C,Q $四点共线,所以此时$△ABC$ 周长最小,最小值为线段PQ 的长度. 由 $ A(1,2) $ 易知$Q(-1,2)$,$P(2,1)$,所以$PQ=\sqrt{(-1-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{10}$,所以$△ABC$ 周长的最小值为$\sqrt{10}$.
解析
【分析】
要求△ABC的周长最小值，周长为AB+BC+AC，其中点A是定点，B、C分别是直线$y=x$和y轴上的动点。我们可以利用轴对称的性质，将含动点的线段AB、AC转化为等长的线段，把折线段的和转化为两点之间的线段，根据“两点之间线段最短”求解。解题思路为：①作点A关于两个动点所在直线的对称点；②利用轴对称性质替换等长线段；③计算两个对称点之间的距离即为周长最小值。
【解析】
1. 作辅助线：分别作点A关于直线$y=x$的对称点P，关于y轴的对称点Q，连接PQ，交直线$y=x$于点B，交y轴于点C。
2. 线段转化：根据轴对称的性质，可得$AB=BP$，$AC=CQ$，因此△ABC的周长$C_{△ ABC}=AB+BC+AC=BP+BC+CQ$。
3. 确定最小值：根据两点之间线段最短，当P、B、C、Q四点共线时，$BP+BC+CQ$的和最小，最小值为线段PQ的长度。
4. 计算PQ长度：已知点A坐标为$(1,2)$，关于y轴对称的点Q横坐标取相反数、纵坐标不变，故$Q(-1,2)$；关于直线$y=x$对称的点P横、纵坐标互换，故$P(2,1)$。根据两点间距离公式：
$PQ=\sqrt{(-1-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；两点间距离公式
【点评】
本题是动点最值的典型题型，结合平面直角坐标系考查“将军饮马”两动一定模型的应用，核心是通过轴对称将折线段和的最值转化为两点间线段长度，对学生的模型识别能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求△ABC的周长最小值，周长为AB+BC+AC，其中点A是定点，B、C分别是直线$y=x$和y轴上的动点。我们可以利用轴对称的性质，将含动点的线段AB、AC转化为等长的线段，把折线段的和转化为两点之间的线段，根据“两点之间线段最短”求解。解题思路为：①作点A关于两个动点所在直线的对称点；②利用轴对称性质替换等长线段；③计算两个对称点之间的距离即为周长最小值。
【解析】
1. 作辅助线：分别作点A关于直线$y=x$的对称点P，关于y轴的对称点Q，连接PQ，交直线$y=x$于点B，交y轴于点C。
2. 线段转化：根据轴对称的性质，可得$AB=BP$，$AC=CQ$，因此△ABC的周长$C_{△ ABC}=AB+BC+AC=BP+BC+CQ$。
3. 确定最小值：根据两点之间线段最短，当P、B、C、Q四点共线时，$BP+BC+CQ$的和最小，最小值为线段PQ的长度。
4. 计算PQ长度：已知点A坐标为$(1,2)$，关于y轴对称的点Q横坐标取相反数、纵坐标不变，故$Q(-1,2)$；关于直线$y=x$对称的点P横、纵坐标互换，故$P(2,1)$。根据两点间距离公式：
$PQ=\sqrt{(-1-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；两点间距离公式
【点评】
本题是动点最值的典型题型，结合平面直角坐标系考查“将军饮马”两动一定模型的应用，核心是通过轴对称将折线段和的最值转化为两点间线段长度，对学生的模型识别能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 函数问题：
(1)作出函数$y=2|x|$的图象：
①自变量$x$的取值范围是
②列表，在如图所示的方格中建立平面直角坐标系，并画出函数图象.
③当自变量$x$的值从1增加到2时，函数$y$的值增加了
(2)在一个变化的过程中，两个变量$x$与$y$之间可能是函数关系，也可能不是函数关系.
下列各式中，$y$是$x$的函数的是
①$x+y=1$；
②$|x+y|=1$；
③$xy=1$；
④$x^2+y^2=1$.
(1)作出函数$y=2|x|$的图象：
①自变量$x$的取值范围是
任意实数
；②列表，在如图所示的方格中建立平面直角坐标系，并画出函数图象.
③当自变量$x$的值从1增加到2时，函数$y$的值增加了
$2$
.(2)在一个变化的过程中，两个变量$x$与$y$之间可能是函数关系，也可能不是函数关系.
下列各式中，$y$是$x$的函数的是
①③
.①$x+y=1$；
②$|x+y|=1$；
③$xy=1$；
④$x^2+y^2=1$.
答案
13. 【解】(1)①任意实数 ②4;2;0;2;4
函数 $ y=2|x| $ 的图象如图.
③2
(2)①③ 【点拨】①当 $ x $ 取任意实数时,都有唯一的 $ y $ 和它对应,所以 $ y $ 是 $ x $ 的函数,故①符合题意;②当 $ x=0 $时,$ y=1 $ 或$-1$,所以 $ y $ 不是 $ x $ 的函数,故②不符合题意;③当$x$ 取任意的非零数时,都有唯一的 $ y $ 和它对应,所以 $ y $ 是 $ x $ 的函数,故③符合题意;④当 $ x=0 $ 时,$ y=1$或$-1$,所以 $ y $ 不是 $ x $ 的函数,故④不符合题意.
解析
【分析】
1. 解决(1)的相关问题：
①求自变量取值范围：观察函数解析式为$y=2|x|$，绝对值运算对输入的数没有特殊限制，所有实数都可以进行绝对值运算，因此x可以取任意实数。
③求函数增量：分别将$x=1$和$x=2$代入函数解析式，求出对应的y值，用$x=2$时的y值减去$x=1$时的y值，就能得到增量。
2. 解决(2)的函数判断问题：
首先回忆函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的取值，y都有且只有一个确定的值与之对应，就称y是x的函数。我们逐个分析四个式子，对每个式子，看给定一个x的取值，是不是只能得到唯一的y值，满足这个条件就是函数，不满足就不是。
【解析】
(1)①因为任意实数都可以进行绝对值运算，所以自变量x的取值范围是任意实数。
③当$x=1$时，代入解析式得$y=2×|1|=2$；当$x=2$时，代入解析式得$y=2×|2|=4$，因此函数y的增加值为$4-2=2$。
(2)根据函数定义逐个判断：
①将$x+y=1$变形为$y=1-x$，对任意一个x的取值，都有唯一的y值与之对应，因此y是x的函数；
②将$|x+y|=1$变形可得$x+y=1$或$x+y=-1$，即$y=1-x$或$y=-1-x$，给定一个x的取值，会得到两个不同的y值，因此y不是x的函数；
③将$xy=1$变形为$y=\frac{1}{x}(x≠0)$，对任意非零的x的取值，都有唯一的y值与之对应，因此y是x的函数；
④将$x^2+y^2=1$变形为$y=\pm\sqrt{1-x^2}$，给定一个符合取值范围的x，会得到两个不同的y值，因此y不是x的函数。
综上，y是x的函数的为①③。
(1)②列表时取x为-2、-1、0、1、2，对应的y值分别为4、2、0、2、4，描点后连线即可得到函数$y=2|x|$的图象。
【答案】
(1)①任意实数；②列表x取-2、-1、0、1、2时，对应的y值为4、2、0、2、4，函数$ y=2|x| $的图象如图：；③2
(2)①③
【知识点】
函数的定义，自变量取值范围，绝对值的性质
【点评】
本题围绕函数基础概念设置问题，既考查了绝对值函数的自变量取值范围、函数值计算，又考查了函数定义的应用，解题核心是抓住“一个x对应唯一的y”的函数判断标准，属于基础巩固类题目，能有效加深对函数概念的理解。
【难度系数】
0.75
1. 解决(1)的相关问题：
①求自变量取值范围：观察函数解析式为$y=2|x|$，绝对值运算对输入的数没有特殊限制，所有实数都可以进行绝对值运算，因此x可以取任意实数。
③求函数增量：分别将$x=1$和$x=2$代入函数解析式，求出对应的y值，用$x=2$时的y值减去$x=1$时的y值，就能得到增量。
2. 解决(2)的函数判断问题：
首先回忆函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的取值，y都有且只有一个确定的值与之对应，就称y是x的函数。我们逐个分析四个式子，对每个式子，看给定一个x的取值，是不是只能得到唯一的y值，满足这个条件就是函数，不满足就不是。
【解析】
(1)①因为任意实数都可以进行绝对值运算，所以自变量x的取值范围是任意实数。
③当$x=1$时，代入解析式得$y=2×|1|=2$；当$x=2$时，代入解析式得$y=2×|2|=4$，因此函数y的增加值为$4-2=2$。
(2)根据函数定义逐个判断：
①将$x+y=1$变形为$y=1-x$，对任意一个x的取值，都有唯一的y值与之对应，因此y是x的函数；
②将$|x+y|=1$变形可得$x+y=1$或$x+y=-1$，即$y=1-x$或$y=-1-x$，给定一个x的取值，会得到两个不同的y值，因此y不是x的函数；
③将$xy=1$变形为$y=\frac{1}{x}(x≠0)$，对任意非零的x的取值，都有唯一的y值与之对应，因此y是x的函数；
④将$x^2+y^2=1$变形为$y=\pm\sqrt{1-x^2}$，给定一个符合取值范围的x，会得到两个不同的y值，因此y不是x的函数。
综上，y是x的函数的为①③。
(1)②列表时取x为-2、-1、0、1、2，对应的y值分别为4、2、0、2、4，描点后连线即可得到函数$y=2|x|$的图象。
【答案】
(1)①任意实数；②列表x取-2、-1、0、1、2时，对应的y值为4、2、0、2、4，函数$ y=2|x| $的图象如图：
；③2(2)①③
【知识点】
函数的定义，自变量取值范围，绝对值的性质
【点评】
本题围绕函数基础概念设置问题，既考查了绝对值函数的自变量取值范围、函数值计算，又考查了函数定义的应用，解题核心是抓住“一个x对应唯一的y”的函数判断标准，属于基础巩固类题目，能有效加深对函数概念的理解。
【难度系数】
0.75
14. 如图，在平面直角坐标系中放着5个边长为1的小正方形，经过原点O的直线l恰好将这5个小正方形分成面积相等的两部分，求直线l的表达式. 
答案
14. 【解】设直线 $ l $ 和 5 个小正方形最上面的交点为 A,过点 A 作 $ AB⊥y $ 轴于点 B,作 $ AC⊥x $ 轴于点 C,如图所示.
因为小正方形的边长为 1,所以$OB=2$. 因为经过原点 O 的直线 $ l $将这 5 个小正方形分成面积相等的两部分,所以这两部分的面积均是 2.5.
所以易知$△ABO$ 的面积是 3.5.
所以 $ \frac{1}{2}OB·AB=3.5 $. 所以 $ AB=3.5 $.
所以易知 $ OC=3.5 $. 所以点 A 的坐标为$(3.5,2)$.
设直线 $ l $ 的表达式为 $ y=kx $,将点 A 的坐标代入 $ y=kx $,得 $ 2=3.5k $,解得 $ k=\frac{4}{7} $. 所以直线 $ l $ 的表达式为$y=\frac{4}{7}x$.
解析
【分析】
首先，过原点的直线是正比例函数，可设解析式为$y=kx$，只需要找到直线上一个非原点的点的坐标就能求出$k$值。已知直线将5个总面积为5的小正方形分成面积相等的两部分，每部分面积为2.5。观察图形可知直线与最上方小正方形的上边（纵坐标为2）交于点$A$，点$A$纵坐标固定为2，我们可以通过面积关系算出点$A$的横坐标，得到点$A$坐标后代入解析式即可求出$k$值。
【解析】
设直线 $ l $ 和 5 个小正方形最上面的交点为 A，过点 A 作 $ AB⊥y $ 轴于点 B，作 $ AC⊥x $ 轴于点 C，如图所示。
因为小正方形的边长为 1，所以点A的纵坐标为2，即$OB=2$。
5个小正方形的总面积为$5×1×1=5$，直线$l$将其分成面积相等的两部分，因此每部分的面积均为$5÷2=2.5$。
结合图形可得$△ABO$的面积为3.5，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2}×OB×AB=3.5$
将$OB=2$代入，解得$AB=3.5$，即点A的横坐标为3.5，因此点A的坐标为$(3.5,2)$。
设直线$l$的表达式为$y=kx$，把$A(3.5,2)$代入解析式得：
$2=3.5k$
解得$k=\frac{4}{7}$，因此直线$l$的表达式为$y=\frac{4}{7}x$。
【答案】
$y=\frac{4}{7}x$
【知识点】
正比例函数解析式确定，图形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题结合了图形面积平分和正比例函数的知识，解题关键是利用面积关系确定直线上已知纵坐标的点的横坐标，再代入求解参数，考查了数形结合的思想和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
首先，过原点的直线是正比例函数，可设解析式为$y=kx$，只需要找到直线上一个非原点的点的坐标就能求出$k$值。已知直线将5个总面积为5的小正方形分成面积相等的两部分，每部分面积为2.5。观察图形可知直线与最上方小正方形的上边（纵坐标为2）交于点$A$，点$A$纵坐标固定为2，我们可以通过面积关系算出点$A$的横坐标，得到点$A$坐标后代入解析式即可求出$k$值。
【解析】
设直线 $ l $ 和 5 个小正方形最上面的交点为 A，过点 A 作 $ AB⊥y $ 轴于点 B，作 $ AC⊥x $ 轴于点 C，如图所示。
因为小正方形的边长为 1，所以点A的纵坐标为2，即$OB=2$。
5个小正方形的总面积为$5×1×1=5$，直线$l$将其分成面积相等的两部分，因此每部分的面积均为$5÷2=2.5$。
结合图形可得$△ABO$的面积为3.5，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2}×OB×AB=3.5$
将$OB=2$代入，解得$AB=3.5$，即点A的横坐标为3.5，因此点A的坐标为$(3.5,2)$。
设直线$l$的表达式为$y=kx$，把$A(3.5,2)$代入解析式得：
$2=3.5k$
解得$k=\frac{4}{7}$，因此直线$l$的表达式为$y=\frac{4}{7}x$。
【答案】
$y=\frac{4}{7}x$
【知识点】
正比例函数解析式确定，图形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题结合了图形面积平分和正比例函数的知识，解题关键是利用面积关系确定直线上已知纵坐标的点的横坐标，再代入求解参数，考查了数形结合的思想和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
15. 如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A,C分别在直线$y=2x$和$y=\frac{1}{3}x$上.
(1)如果点A的横坐标为8，$AD=10$，则点D的坐标为
(2)如果点A在直线$y=2x$上运动，求过点B的正比例函数图象的表达式；
(3)当四边形OADC的面积为170时，求点C的坐标.
(1)如果点A的横坐标为8，$AD=10$，则点D的坐标为
$(18,16)$
；(2)如果点A在直线$y=2x$上运动，求过点B的正比例函数图象的表达式；
(3)当四边形OADC的面积为170时，求点C的坐标.
答案
15. 【解】(1)$(18,16)$
(2)设 $ A(a,2a) $,$ C(b,\frac{1}{3}b) $,则 $ B(a,\frac{1}{3}b) $.
因为 $ AB=BC $,所以 $ 2a-\frac{1}{3}b=b-a $,整理,得 $ b=\frac{9}{4}a $,所以 $ B(a,\frac{3}{4}a) $.
设过点 B 的正比例函数图象的表达式是 $ y=mx $,将点 $ B(a,\frac{3}{4}a) $ 的坐标代入上式,得 $ am=\frac{3}{4}a $,解得 $ m=\frac{3}{4} $,所以过点 B 的正比例函数图象的表达式是 $ y=\frac{3}{4}x $.
(3)如图,延长 DA 交 y 轴于点 E,延长 DC 交 x 轴于点 F,所以易知四边形 OEDF 是长方形. 由(2)得$A(a,2a)$,$ C(\frac{9}{4}a,\frac{3}{4}a) $,所以$AE=a$,$OE=2a$,$CF=\frac{3}{4}a$,$OF=\frac{9}{4}a$. 因为 $ S_{四边形OADC}=S_{长方形OEDF}-S_{△OAE}-S_{△OCF}=170 $,所以 $ 2a×\frac{9}{4}a-\frac{1}{2}·a·2a-\frac{1}{2}×\frac{9}{4}a×\frac{3}{4}a=170 $,解得 $ a=8 $(负值已舍去),所以 $ C(18,6) $.
解析
【分析】
(1) 先利用点A在直线$y=2x$上、横坐标为8的条件，求出点A的坐标；再结合正方形AD边平行于x轴、$AD=10$的性质，即可推导得到点D的坐标。
(2) 先设出点A、C的坐标，根据正方形各边平行坐标轴的特点表示出点B的坐标，再利用正方形边长相等（$AB=BC$）推导A、C坐标参数的关系，得到点B横、纵坐标的对应关系，代入正比例函数解析式即可求出表达式。
(3) 用割补法，将不规则四边形OADC的面积转化为长方形OEDF的面积减去$△ OAE$和$△ OCF$的面积，结合(2)得到的参数关系列方程求解，即可得到点C的坐标。
【解析】
(1) 已知点A的横坐标为8，且在直线$y=2x$上，代入得$y=2×8=16$，因此$A(8,16)$。
因为正方形ABCD的边AD平行于x轴，$AD=10$，所以点D的横坐标为$8+10=18$，纵坐标和A相同为16，即$D(18,16)$。
(2) 设点$A(a,2a)$（A在$y=2x$上），点$C(b,\frac{1}{3}b)$（C在$y=\frac{1}{3}x$上）。
因为正方形各边平行于坐标轴，所以点B的横坐标和A相同为$a$，纵坐标和C相同为$\frac{1}{3}b$，即$B(a,\frac{1}{3}b)$。
正方形边长相等，因此$AB=BC$：$AB$的长度为A的纵坐标减B的纵坐标，即$2a-\frac{1}{3}b$；$BC$的长度为C的横坐标减B的横坐标，即$b-a$。
列等式：$2a-\frac{1}{3}b=b-a$，整理得$b=\frac{9}{4}a$。
代入B的坐标，得$B(a,\frac{1}{3}×\frac{9}{4}a)=(a,\frac{3}{4}a)$。
设过B的正比例函数为$y=mx$，把$B(a,\frac{3}{4}a)$代入得$a· m=\frac{3}{4}a$（$a≠0$），解得$m=\frac{3}{4}$，即表达式为$y=\frac{3}{4}x$。
(3) 如图，延长DA交y轴于点E，延长DC交x轴于点F，易知四边形OEDF是长方形。
由(2)可知$A(a,2a)$，$C(\frac{9}{4}a,\frac{3}{4}a)$，则：
长方形OEDF的面积为$2a×\frac{9}{4}a=\frac{9}{2}a^2$；
$S_{△ OAE}=\frac{1}{2}× a×2a=a^2$；
$S_{△ OCF}=\frac{1}{2}×\frac{9}{4}a×\frac{3}{4}a=\frac{27}{32}a^2$；
已知$S_{四边形OADC}=S_{长方形OEDF}-S_{△ OAE}-S_{△ OCF}=170$，代入得：
$\frac{9}{2}a^2 - a^2 - \frac{27}{32}a^2=170$
计算得$\frac{85}{32}a^2=170$，解得$a^2=64$，因图形在第一象限$a＞0$，故$a=8$。
则点C的横坐标为$\frac{9}{4}×8=18$，纵坐标为$\frac{3}{4}×8=6$，即$C(18,6)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(18,16)}$
(2) $\boldsymbol{y=\frac{3}{4}x}$
(3) $\boldsymbol{(18,6)}$
【知识点】
正比例函数的性质，正方形的性质，割补法求面积
【点评】
本题是正比例函数与几何图形的综合题，需要熟练掌握函数图象上点的坐标与解析式的关系，能结合正方形的性质推导各点坐标间的联系，割补法是计算不规则图形面积的常用方法，对综合运用代数与几何知识解题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 先利用点A在直线$y=2x$上、横坐标为8的条件，求出点A的坐标；再结合正方形AD边平行于x轴、$AD=10$的性质，即可推导得到点D的坐标。
(2) 先设出点A、C的坐标，根据正方形各边平行坐标轴的特点表示出点B的坐标，再利用正方形边长相等（$AB=BC$）推导A、C坐标参数的关系，得到点B横、纵坐标的对应关系，代入正比例函数解析式即可求出表达式。
(3) 用割补法，将不规则四边形OADC的面积转化为长方形OEDF的面积减去$△ OAE$和$△ OCF$的面积，结合(2)得到的参数关系列方程求解，即可得到点C的坐标。
【解析】
(1) 已知点A的横坐标为8，且在直线$y=2x$上，代入得$y=2×8=16$，因此$A(8,16)$。
因为正方形ABCD的边AD平行于x轴，$AD=10$，所以点D的横坐标为$8+10=18$，纵坐标和A相同为16，即$D(18,16)$。
(2) 设点$A(a,2a)$（A在$y=2x$上），点$C(b,\frac{1}{3}b)$（C在$y=\frac{1}{3}x$上）。
因为正方形各边平行于坐标轴，所以点B的横坐标和A相同为$a$，纵坐标和C相同为$\frac{1}{3}b$，即$B(a,\frac{1}{3}b)$。
正方形边长相等，因此$AB=BC$：$AB$的长度为A的纵坐标减B的纵坐标，即$2a-\frac{1}{3}b$；$BC$的长度为C的横坐标减B的横坐标，即$b-a$。
列等式：$2a-\frac{1}{3}b=b-a$，整理得$b=\frac{9}{4}a$。
代入B的坐标，得$B(a,\frac{1}{3}×\frac{9}{4}a)=(a,\frac{3}{4}a)$。
设过B的正比例函数为$y=mx$，把$B(a,\frac{3}{4}a)$代入得$a· m=\frac{3}{4}a$（$a≠0$），解得$m=\frac{3}{4}$，即表达式为$y=\frac{3}{4}x$。
(3) 如图，延长DA交y轴于点E，延长DC交x轴于点F，易知四边形OEDF是长方形。
由(2)可知$A(a,2a)$，$C(\frac{9}{4}a,\frac{3}{4}a)$，则：
长方形OEDF的面积为$2a×\frac{9}{4}a=\frac{9}{2}a^2$；
$S_{△ OAE}=\frac{1}{2}× a×2a=a^2$；
$S_{△ OCF}=\frac{1}{2}×\frac{9}{4}a×\frac{3}{4}a=\frac{27}{32}a^2$；
已知$S_{四边形OADC}=S_{长方形OEDF}-S_{△ OAE}-S_{△ OCF}=170$，代入得：
$\frac{9}{2}a^2 - a^2 - \frac{27}{32}a^2=170$
计算得$\frac{85}{32}a^2=170$，解得$a^2=64$，因图形在第一象限$a＞0$，故$a=8$。
则点C的横坐标为$\frac{9}{4}×8=18$，纵坐标为$\frac{3}{4}×8=6$，即$C(18,6)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(18,16)}$
(2) $\boldsymbol{y=\frac{3}{4}x}$
(3) $\boldsymbol{(18,6)}$
【知识点】
正比例函数的性质，正方形的性质，割补法求面积
【点评】
本题是正比例函数与几何图形的综合题，需要熟练掌握函数图象上点的坐标与解析式的关系，能结合正方形的性质推导各点坐标间的联系，割补法是计算不规则图形面积的常用方法，对综合运用代数与几何知识解题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
