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1 [2024 宿城段考]如图,一架梯子 AB 斜靠在竖直墙上,当梯子底端 B 向左水平滑动到点 D 的位置时,滑动过程中梯子的中点到点 O 的距离的变化规律是 (
A.变小
B.不变
C.变大
D.先变小再变大
（第1题）
B
)A.变小
B.不变
C.变大
D.先变小再变大
（第1题）答案
1. B
解析
【分析】
首先明确梯子在滑动过程中自身长度始终不变，且梯子与竖直墙面、水平地面始终构成直角三角形，直角顶点为O。我们可以联系直角三角形斜边中线的性质判断距离变化：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因为斜边（梯子长度）不变，所以斜边中线的长度也不会改变，由此即可推出结论。
【解析】
解：由题意得，梯子滑动前后长度不变，即$AB=DC$，且$∠ AOB=∠ DOC=90°$。
设梯子在$AB$位置时中点为$P$，滑动到$DC$位置时中点为$Q$。
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
$OP=\frac{1}{2}AB$，$OQ=\frac{1}{2}DC$。
又因为$AB=DC$，所以$OP=OQ$，即滑动过程中梯子的中点到点$O$的距离不变。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 运动类定值分析
【点评】
本题结合生活中梯子滑动的实际场景命题，解题的关键是抓住“梯子长度不变”这一隐含条件，结合直角三角形的相关性质即可快速得出结论，考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
首先明确梯子在滑动过程中自身长度始终不变，且梯子与竖直墙面、水平地面始终构成直角三角形，直角顶点为O。我们可以联系直角三角形斜边中线的性质判断距离变化：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因为斜边（梯子长度）不变，所以斜边中线的长度也不会改变，由此即可推出结论。
【解析】
解：由题意得，梯子滑动前后长度不变，即$AB=DC$，且$∠ AOB=∠ DOC=90°$。
设梯子在$AB$位置时中点为$P$，滑动到$DC$位置时中点为$Q$。
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
$OP=\frac{1}{2}AB$，$OQ=\frac{1}{2}DC$。
又因为$AB=DC$，所以$OP=OQ$，即滑动过程中梯子的中点到点$O$的距离不变。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 运动类定值分析
【点评】
本题结合生活中梯子滑动的实际场景命题，解题的关键是抓住“梯子长度不变”这一隐含条件，结合直角三角形的相关性质即可快速得出结论，考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
2 如图，在$△ ABC$中，$BE⊥ AC$于点$E$，$CF⊥ AB$于点$F$，$M$为$BC$的中点，连接$EF$，$EM$，$FM$。若$EF=5$，$BC=8$，则$△ EFM$的周长是（
A.21
B.18
C.15
D.13
D
）A.21
B.18
C.15
D.13
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先观察题目给出的垂直条件，可知△BEC和△BFC都是直角三角形，再结合M是BC中点的条件，联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可推出EM、FM与BC的数量关系，最后结合已知EF的长度，将三条边相加就能求出△EFM的周长。
【解析】
解：
∵BE⊥AC，
∴△BEC是直角三角形，
∵M为BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，
∴$EM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
同理，
∵CF⊥AB，
∴△BFC是直角三角形，
∵M为BC的中点，
∴$FM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
已知EF=5，
∴△EFM的周长为$EM+FM+EF=4+4+5=13$。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础常考题，核心考查直角三角形相关性质的应用，解题的关键是结合中点条件快速得到EM、FM的长度，熟练掌握对应性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
解题时先观察题目给出的垂直条件，可知△BEC和△BFC都是直角三角形，再结合M是BC中点的条件，联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可推出EM、FM与BC的数量关系，最后结合已知EF的长度，将三条边相加就能求出△EFM的周长。
【解析】
解：
∵BE⊥AC，
∴△BEC是直角三角形，
∵M为BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，
∴$EM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
同理，
∵CF⊥AB，
∴△BFC是直角三角形，
∵M为BC的中点，
∴$FM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
已知EF=5，
∴△EFM的周长为$EM+FM+EF=4+4+5=13$。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础常考题，核心考查直角三角形相关性质的应用，解题的关键是结合中点条件快速得到EM、FM的长度，熟练掌握对应性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
3 [2025 泗阳期中]若直角三角形斜边上的高和中线长分别是5 cm,12 cm,则它的面积是
60
cm².答案
3. 60
解析
【分析】
解题时先回忆直角三角形的核心性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，我们可以先根据已知的中线长度求出斜边的长度；再结合三角形面积公式，以斜边为底，斜边上的高为对应高，代入数值计算即可得到面积。
【解析】
解：
∵直角三角形斜边上的中线长为12 cm，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，
∴该直角三角形的斜边长为 $2×12=24\ \mathrm{cm}$，
又
∵斜边上的高为5 cm，
∴三角形的面积 $S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}=\frac{1}{2}×24×5=60\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
60
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对直角三角形斜边中线性质的掌握和运用，熟练掌握相关性质结合面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆直角三角形的核心性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，我们可以先根据已知的中线长度求出斜边的长度；再结合三角形面积公式，以斜边为底，斜边上的高为对应高，代入数值计算即可得到面积。
【解析】
解：
∵直角三角形斜边上的中线长为12 cm，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，
∴该直角三角形的斜边长为 $2×12=24\ \mathrm{cm}$，
又
∵斜边上的高为5 cm，
∴三角形的面积 $S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}=\frac{1}{2}×24×5=60\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
60
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对直角三角形斜边中线性质的掌握和运用，熟练掌握相关性质结合面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4 [2025 巴中改编]如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$为$AB$的中点，点$E$在线段$CD$上，$DE=4$，且$CE=2DE$，则$AB$的长为________。
答案
4. 24
解析
【分析】
解题思路：首先观察题干条件，已知Rt△ABC中D是斜边AB的中点，首先联想到直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此只要先求出中线CD的长度，就能得到AB的长度。先根据DE的长度和CE与DE的数量关系求出CE的长，再通过线段和差计算得到CD的长，最后利用斜边中线的性质求出AB即可。
【解析】
解：
∵DE=4，CE=2DE，
∴CE=2×4=8，
∴CD=CE+DE=8+4=12，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质可得：CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2CD=2×12=24。
【答案】
24
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，线段的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，先求出斜边中线的长度，再推导得到斜边的长度即可。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察题干条件，已知Rt△ABC中D是斜边AB的中点，首先联想到直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此只要先求出中线CD的长度，就能得到AB的长度。先根据DE的长度和CE与DE的数量关系求出CE的长，再通过线段和差计算得到CD的长，最后利用斜边中线的性质求出AB即可。
【解析】
解：
∵DE=4，CE=2DE，
∴CE=2×4=8，
∴CD=CE+DE=8+4=12，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质可得：CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2CD=2×12=24。
【答案】
24
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，线段的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，先求出斜边中线的长度，再推导得到斜边的长度即可。
【难度系数】
0.8
5 [2025宿城期中]如图,在$△ ABC$中,D是边BC上的一点,$AD=AB$,E,F分别是BD,AC的中点.若$AC=8$,则EF的长为
4
.答案
5. 4
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：AD=AB，E为BD中点，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此先连接AE，可证得AE⊥BD，得到Rt△AEC；再结合F是AC中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出EF的长度。
【解析】
连接AE，
∵ AB=AD，E是BD的中点，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE⊥BD，即∠AEC=90°，△AEC为直角三角形。
又
∵ F是AC的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得EF=$\frac{1}{2}$AC。
已知AC=8，
∴ EF=$\frac{1}{2}$×8=4。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是基础几何应用题型，解题的核心是通过连接AE构造直角三角形，再结合等腰三角形和直角三角形的性质求解，辅助线的构造是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：AD=AB，E为BD中点，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此先连接AE，可证得AE⊥BD，得到Rt△AEC；再结合F是AC中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出EF的长度。
【解析】
连接AE，
∵ AB=AD，E是BD的中点，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE⊥BD，即∠AEC=90°，△AEC为直角三角形。
又
∵ F是AC的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得EF=$\frac{1}{2}$AC。
已知AC=8，
∴ EF=$\frac{1}{2}$×8=4。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是基础几何应用题型，解题的核心是通过连接AE构造直角三角形，再结合等腰三角形和直角三角形的性质求解，辅助线的构造是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D是边AB的中点,连接CD,将$△ ACD$沿CD折叠,点A落在点E处,此时恰好有$CE⊥ AB$,求$∠ E$的度数.
答案
6. $\because ∠ ACB = 90°,D$ 是边 $AB$ 的中点, $\therefore ∠ A + ∠ B=90°,CD=AD,\therefore ∠ A=∠ ACD.\because CD$ 是折痕，$\therefore ∠ ACD = ∠ DCE, ∠ A = ∠ E. \because CE ⊥ AB$，$\therefore ∠ BCE+∠ B=90°,\therefore ∠ BCE=∠ A,\therefore ∠ BCE=∠ ACD=∠ DCE=\frac{1}{3}∠ ACB=30°,\therefore ∠ E=∠ A=30°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：①看到直角三角形斜边中点，先利用直角三角形斜边中线的性质得到CD=AD，推出∠A=∠ACD；②结合折叠的性质，可得折叠前后对应角相等，即∠ACD=∠DCE、∠A=∠E；③再根据CE⊥AB，利用同角的余角相等推出∠BCE=∠A，此时可发现∠ACB被分为3个相等的角，结合∠ACB=90°即可求出单个角的度数，最终得到∠E的大小。
【解析】
∵ $∠ ACB=90°$，D是边AB的中点，
∴ $∠ A+∠ B=90°$，$CD=AD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ $∠ A=∠ ACD$。
∵ CD是折痕，$△ ACD$沿CD折叠得到$△ ECD$，
∴ $∠ ACD=∠ DCE$，$∠ A=∠ E$。
∵ $CE⊥ AB$，
∴ $∠ BCE+∠ B=90°$，
又
∵ $∠ A+∠ B=90°$，
∴ $∠ BCE=∠ A$（同角的余角相等），
∴ $∠ BCE=∠ ACD=∠ DCE$，
∵ $∠ BCE+∠ ACD+∠ DCE=∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACD=\frac{1}{3}×90°=30°$，即$∠ A=30°$，
∴ $∠ E=∠ A=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
直角三角形的性质，折叠的性质，等角的余角相等
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是灵活运用直角三角形性质和折叠性质完成角度的等量转化，理清各角之间的和差关系即可快速求解，对学生的角度推导能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件逐步推导：①看到直角三角形斜边中点，先利用直角三角形斜边中线的性质得到CD=AD，推出∠A=∠ACD；②结合折叠的性质，可得折叠前后对应角相等，即∠ACD=∠DCE、∠A=∠E；③再根据CE⊥AB，利用同角的余角相等推出∠BCE=∠A，此时可发现∠ACB被分为3个相等的角，结合∠ACB=90°即可求出单个角的度数，最终得到∠E的大小。
【解析】
∵ $∠ ACB=90°$，D是边AB的中点，
∴ $∠ A+∠ B=90°$，$CD=AD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ $∠ A=∠ ACD$。
∵ CD是折痕，$△ ACD$沿CD折叠得到$△ ECD$，
∴ $∠ ACD=∠ DCE$，$∠ A=∠ E$。
∵ $CE⊥ AB$，
∴ $∠ BCE+∠ B=90°$，
又
∵ $∠ A+∠ B=90°$，
∴ $∠ BCE=∠ A$（同角的余角相等），
∴ $∠ BCE=∠ ACD=∠ DCE$，
∵ $∠ BCE+∠ ACD+∠ DCE=∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACD=\frac{1}{3}×90°=30°$，即$∠ A=30°$，
∴ $∠ E=∠ A=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
直角三角形的性质，折叠的性质，等角的余角相等
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是灵活运用直角三角形性质和折叠性质完成角度的等量转化，理清各角之间的和差关系即可快速求解，对学生的角度推导能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
7 [2025哈尔滨]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,F为AB的中点,按图中尺规作图的痕迹作射线AD,交BC于点E,连接EF,则EF的长是 (
A.5
B.7
C.8
D.8.5
A
)A.5
B.7
C.8
D.8.5
答案
7. A
解析
【分析】
首先识别尺规作图的类型，图中痕迹是作∠BAC的角平分线AD，结合AB=AC的条件，利用等腰三角形三线合一的性质可推出E是BC的中点；已知F是AB中点，可知EF是△ABC的中位线，最后根据三角形中位线定理就能求出EF的长度。
【解析】
1. 由尺规作图的痕迹可得，AD是∠BAC的角平分线。
2. 因为AB=AC=10，所以△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD同时是BC边上的中线，即点E为BC的中点。
3. 已知F是AB的中点，因此EF是△ABC的中位线。
4. 根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中位线定理，尺规作角平分线
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是先通过作图特征和等腰三角形性质确定E为BC中点，再运用中位线定理计算线段长度，是对几何基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
首先识别尺规作图的类型，图中痕迹是作∠BAC的角平分线AD，结合AB=AC的条件，利用等腰三角形三线合一的性质可推出E是BC的中点；已知F是AB中点，可知EF是△ABC的中位线，最后根据三角形中位线定理就能求出EF的长度。
【解析】
1. 由尺规作图的痕迹可得，AD是∠BAC的角平分线。
2. 因为AB=AC=10，所以△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD同时是BC边上的中线，即点E为BC的中点。
3. 已知F是AB的中点，因此EF是△ABC的中位线。
4. 根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中位线定理，尺规作角平分线
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是先通过作图特征和等腰三角形性质确定E为BC中点，再运用中位线定理计算线段长度，是对几何基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
