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8 [2025 陕西]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=20°$,$CD$为边$AB$上的中线,$DE⊥ AC$,则图中与$∠ A$互余的角共有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
8. C
解析
【分析】
要解决本题，首先明确互余的定义：和为90°的两个角互余。解题思路如下：①先利用直角三角形两锐角互余，找出Rt△ABC中与∠A互余的∠B；②由DE⊥AC得到Rt△ADE，找出其中与∠A互余的∠ADE；③再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，推出CD=AD，得∠A=∠ACD，此时和∠ACD互余的角也和∠A互余，由此可找出∠BCD（由∠ACB=90°得∠ACD+∠BCD=90°）和∠CDE（由DE⊥AC得Rt△DEC中∠ACD+∠CDE=90°），最后统计总个数即可。
【解析】
解：根据互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余，逐一分析：
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，直角三角形两锐角互余，因此$∠ A + ∠ B = 90°$，$∠ B$与$∠ A$互余；
2. 已知$DE⊥ AC$，则$∠ AED=90°$，在$Rt△ ADE$中，$∠ A + ∠ ADE = 90°$，$∠ ADE$与$∠ A$互余；
3. 因为$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=AD=BD$，因此$∠ A = ∠ ACD = 20°$；
又$∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 90°$，代入$∠ ACD=∠ A$，得$∠ A + ∠ BCD = 90°$，$∠ BCD$与$∠ A$互余；
4. 由$DE⊥ AC$得$∠ DEC=90°$，在$Rt△ DEC$中，$∠ ACD + ∠ CDE = 90°$，代入$∠ ACD=∠ A$，得$∠ A + ∠ CDE = 90°$，$∠ CDE$与$∠ A$互余。
综上，与$∠ A$互余的角有$∠ B$、$∠ ADE$、$∠ BCD$、$∠ CDE$，共4个。
【答案】
C
【知识点】
互余的定义；直角三角形两锐角互余；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题主要考查直角三角形性质的应用，解题时要注意结合图形，不重不漏地找出所有符合条件的角，熟练掌握直角三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确互余的定义：和为90°的两个角互余。解题思路如下：①先利用直角三角形两锐角互余，找出Rt△ABC中与∠A互余的∠B；②由DE⊥AC得到Rt△ADE，找出其中与∠A互余的∠ADE；③再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，推出CD=AD，得∠A=∠ACD，此时和∠ACD互余的角也和∠A互余，由此可找出∠BCD（由∠ACB=90°得∠ACD+∠BCD=90°）和∠CDE（由DE⊥AC得Rt△DEC中∠ACD+∠CDE=90°），最后统计总个数即可。
【解析】
解：根据互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余，逐一分析：
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，直角三角形两锐角互余，因此$∠ A + ∠ B = 90°$，$∠ B$与$∠ A$互余；
2. 已知$DE⊥ AC$，则$∠ AED=90°$，在$Rt△ ADE$中，$∠ A + ∠ ADE = 90°$，$∠ ADE$与$∠ A$互余；
3. 因为$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=AD=BD$，因此$∠ A = ∠ ACD = 20°$；
又$∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 90°$，代入$∠ ACD=∠ A$，得$∠ A + ∠ BCD = 90°$，$∠ BCD$与$∠ A$互余；
4. 由$DE⊥ AC$得$∠ DEC=90°$，在$Rt△ DEC$中，$∠ ACD + ∠ CDE = 90°$，代入$∠ ACD=∠ A$，得$∠ A + ∠ CDE = 90°$，$∠ CDE$与$∠ A$互余。
综上，与$∠ A$互余的角有$∠ B$、$∠ ADE$、$∠ BCD$、$∠ CDE$，共4个。
【答案】
C
【知识点】
互余的定义；直角三角形两锐角互余；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题主要考查直角三角形性质的应用，解题时要注意结合图形，不重不漏地找出所有符合条件的角，熟练掌握直角三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$D$是$AB$的中点.现将$△ BCD$沿$BA$方向平移1 cm,得到$△ EFG$,$FG$交$AC$于点$H$,则$GH$的长为
3
cm.答案
9. 3
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先利用直角三角形斜边中线的性质，求出AD、CD的长度；第二步，根据平移的性质，得到平移距离GD的长度，且FG与CD平行；第三步，结合平行线的性质和等腰三角形的判定，推导出GH与AG相等，计算AG的长度即可得到GH的长。
【解析】
解：
∵在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，D是AB的中点，$AB=8\ \mathrm{cm}$，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$AD=BD=CD=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$。
∵$△BCD$沿BA方向平移1 cm得到$△EFG$，
∴平移距离$GD=1\ \mathrm{cm}$，且$FG// CD$。
∵$FG// CD$，
∴$∠GHA=∠ACD$。
又
∵$CD=AD$，
∴$∠A=∠ACD$，
∴$∠A=∠GHA$，
∴$GH=AG$。
而$AG=AD-GD=4-1=3\ \mathrm{cm}$，
∴$GH=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、平移的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了几何图形的基础性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形、平移、等腰三角形的相关性质，快速找到线段间的等量关系，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先利用直角三角形斜边中线的性质，求出AD、CD的长度；第二步，根据平移的性质，得到平移距离GD的长度，且FG与CD平行；第三步，结合平行线的性质和等腰三角形的判定，推导出GH与AG相等，计算AG的长度即可得到GH的长。
【解析】
解：
∵在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，D是AB的中点，$AB=8\ \mathrm{cm}$，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$AD=BD=CD=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$。
∵$△BCD$沿BA方向平移1 cm得到$△EFG$，
∴平移距离$GD=1\ \mathrm{cm}$，且$FG// CD$。
∵$FG// CD$，
∴$∠GHA=∠ACD$。
又
∵$CD=AD$，
∴$∠A=∠ACD$，
∴$∠A=∠GHA$，
∴$GH=AG$。
而$AG=AD-GD=4-1=3\ \mathrm{cm}$，
∴$GH=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、平移的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了几何图形的基础性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形、平移、等腰三角形的相关性质，快速找到线段间的等量关系，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
10 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=50°$,$CD⊥ AB$于点$D$,$∠ BCD$和$∠ BDC$的平分线相交于点$E$,$F$为边$AC$的中点,$CD=CF$,则$∠ ACD+∠ CED$的大小为________.
答案
10. $175°$ 【解析】连接 $DF.\because CD⊥ AB,\therefore ∠ ADC=90°.\because F$ 为边 $AC$ 的中点, $\therefore DF$ 是 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 斜边上的中线, $\therefore DF=AF=CF.\because CD=CF,\therefore DF=CD=CF,\therefore △ CDF$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ACD=60°.\because$ 在 $△ CDB$ 中, $∠ B=50°,\therefore ∠ BCD + ∠ BDC = 180°-∠ B=180°-50°=130°.\because ∠ BCD$ 和 $∠ BDC$ 的平分线相交于点 $E,\therefore ∠ ECD = \frac{1}{2}∠ BCD, ∠ EDC = \frac{1}{2}∠ BDC, \therefore ∠ ECD + ∠ EDC = \frac{1}{2}(∠ BCD+∠ BDC)=65°, \therefore$ 在 $△ CDE$ 中, $∠ CED = 180°-(∠ ECD+∠ EDC)=180°-65°=115°,\therefore ∠ ACD + ∠ CED=60°+115°=175°$
解析
【分析】
本题需要计算∠ACD与∠CED的和，可将两个角拆分分别求解：1. 求∠ACD：已知CD⊥AB，F是AC中点，可连接DF，利用直角三角形斜边中线的性质得到DF=CF=AF，结合已知CD=CF，可证△CDF为等边三角形，即可得到∠ACD的度数；2. 求∠CED：在△BCD中已知∠B的度数，先求出∠BCD与∠BDC的和，再利用角平分线的性质得到∠ECD与∠EDC的和，最后根据三角形内角和定理算出∠CED的度数，将两个角相加即可得到最终结果。
【解析】
连接$DF$。
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ ADC=90°$。
$\because F$为边$AC$的中点，$\therefore DF$是$\mathrm{Rt}△ ADC$斜边上的中线，$\therefore DF=AF=CF$。
$\because CD=CF$，$\therefore DF=CD=CF$，$\therefore △ CDF$是等边三角形，$\therefore ∠ ACD=60°$。
$\because$在$△ CDB$中，$∠ B=50°$，$\therefore ∠ BCD + ∠ BDC = 180°-∠ B=180°-50°=130°$。
$\because ∠ BCD$和$∠ BDC$的平分线相交于点$E$，$\therefore ∠ ECD = \frac{1}{2}∠ BCD$，$∠ EDC = \frac{1}{2}∠ BDC$，
$\therefore ∠ ECD + ∠ EDC = \frac{1}{2}(∠ BCD+∠ BDC)=65°$。
在$△ CDE$中，$∠ CED = 180°-(∠ ECD+∠ EDC)=180°-65°=115°$。
$\therefore ∠ ACD + ∠ CED=60°+115°=175°$。
【答案】
$175°$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等边三角形判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了三角形的多个基础性质，解题的突破口是合理构造辅助线$DF$，结合等边三角形的判定求出$∠ ACD$的度数，再利用角平分线和内角和定理求出$∠ CED$的度数即可求解。
【难度系数】
0.6
本题需要计算∠ACD与∠CED的和，可将两个角拆分分别求解：1. 求∠ACD：已知CD⊥AB，F是AC中点，可连接DF，利用直角三角形斜边中线的性质得到DF=CF=AF，结合已知CD=CF，可证△CDF为等边三角形，即可得到∠ACD的度数；2. 求∠CED：在△BCD中已知∠B的度数，先求出∠BCD与∠BDC的和，再利用角平分线的性质得到∠ECD与∠EDC的和，最后根据三角形内角和定理算出∠CED的度数，将两个角相加即可得到最终结果。
【解析】
连接$DF$。
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ ADC=90°$。
$\because F$为边$AC$的中点，$\therefore DF$是$\mathrm{Rt}△ ADC$斜边上的中线，$\therefore DF=AF=CF$。
$\because CD=CF$，$\therefore DF=CD=CF$，$\therefore △ CDF$是等边三角形，$\therefore ∠ ACD=60°$。
$\because$在$△ CDB$中，$∠ B=50°$，$\therefore ∠ BCD + ∠ BDC = 180°-∠ B=180°-50°=130°$。
$\because ∠ BCD$和$∠ BDC$的平分线相交于点$E$，$\therefore ∠ ECD = \frac{1}{2}∠ BCD$，$∠ EDC = \frac{1}{2}∠ BDC$，
$\therefore ∠ ECD + ∠ EDC = \frac{1}{2}(∠ BCD+∠ BDC)=65°$。
在$△ CDE$中，$∠ CED = 180°-(∠ ECD+∠ EDC)=180°-65°=115°$。
$\therefore ∠ ACD + ∠ CED=60°+115°=175°$。
【答案】
$175°$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等边三角形判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了三角形的多个基础性质，解题的突破口是合理构造辅助线$DF$，结合等边三角形的判定求出$∠ ACD$的度数，再利用角平分线和内角和定理求出$∠ CED$的度数即可求解。
【难度系数】
0.6
11 [2025宿城段考]如图，在$△ ABC$中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，且$DC=BF$，$DE⊥ CF$于点E.
（1）求证：E是CF的中点；
（2）若$∠ B=30°$，求$∠ BCF$的度数.
（1）求证：E是CF的中点；
（2）若$∠ B=30°$，求$∠ BCF$的度数.
答案
11.（1）如图，连接 $DF.\because CF$ 是边 $AB$ 上的中线，$\therefore AF=BF=\frac{1}{2}AB.\because AD$ 是边 $BC$ 上的高, $\therefore ∠ ADB=90°$,则 $DF=BF=\frac{1}{2}AB.\because DC=BF,\therefore CD=DF. \because DE⊥ CF,\therefore CE=FE$,即 $E$ 是 $CF$ 的中点
（2）$\because DF=BF,\therefore ∠ FDB=∠ B=30°. \because DC=DF,\therefore ∠ DCF = ∠ DFC.$ 由外角的性质,得$∠ FDB = ∠ DCF + ∠ DFC = 2∠ DCF = 30°$,即 $∠ BCF = \frac{1}{2}∠ FDB=15°$
解析
【分析】
（1）要证E是CF的中点，已知DE⊥CF，可联想等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明△DCF为等腰三角形，即DC=DF即可。我们可以通过连接DF构造辅助线：首先CF是AB边上的中线，可得F是AB中点；AD是BC边上的高，故△ABD是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DF=BF，再结合已知条件DC=BF，即可推出DC=DF，进而利用三线合一证得结论。
（2）求∠BCF的度数，首先由DF=BF可得∠FDB=∠B=30°；再由DC=DF可知△DCF是等腰三角形，两底角∠DCF=∠DFC；结合三角形外角的性质，∠FDB是△DCF的外角，等于两个不相邻内角的和，即可求出∠BCF的度数。
【解析】
（1）证明：连接DF，
∵ CF是边AB上的中线，
∴ F为AB的中点，$BF=\frac{1}{2}AB$。
∵ AD是边BC上的高，
∴ $∠ADB=90°$，△ADB为直角三角形。
∵ 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ $DF=BF=\frac{1}{2}AB$。
又
∵ 已知$DC=BF$，
∴ $CD=DF$，即△CDF是等腰三角形。
∵ $DE⊥CF$，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴ $CE=FE$，即E是CF的中点。
（2）解：由（1）可得$DF=BF$，
∴ $∠FDB=∠B=30°$。
∵ $DC=DF$，
∴ $∠DCF=∠DFC$。
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得$∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF$，
∴ $2∠DCF=30°$，解得$∠DCF=15°$，即$∠BCF=15°$。
【答案】
（1）E是CF的中点得证
（2）$\boxed{15°}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是三角形性质的基础综合应用题，解题的关键是合理添加辅助线DF，将已知条件转化为等腰三角形、直角三角形的边角关系进行推导，有助于锻炼学生几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.7
（1）要证E是CF的中点，已知DE⊥CF，可联想等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明△DCF为等腰三角形，即DC=DF即可。我们可以通过连接DF构造辅助线：首先CF是AB边上的中线，可得F是AB中点；AD是BC边上的高，故△ABD是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DF=BF，再结合已知条件DC=BF，即可推出DC=DF，进而利用三线合一证得结论。
（2）求∠BCF的度数，首先由DF=BF可得∠FDB=∠B=30°；再由DC=DF可知△DCF是等腰三角形，两底角∠DCF=∠DFC；结合三角形外角的性质，∠FDB是△DCF的外角，等于两个不相邻内角的和，即可求出∠BCF的度数。
【解析】
（1）证明：连接DF，
∵ CF是边AB上的中线，
∴ F为AB的中点，$BF=\frac{1}{2}AB$。
∵ AD是边BC上的高，
∴ $∠ADB=90°$，△ADB为直角三角形。
∵ 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ $DF=BF=\frac{1}{2}AB$。
又
∵ 已知$DC=BF$，
∴ $CD=DF$，即△CDF是等腰三角形。
∵ $DE⊥CF$，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴ $CE=FE$，即E是CF的中点。
（2）解：由（1）可得$DF=BF$，
∴ $∠FDB=∠B=30°$。
∵ $DC=DF$，
∴ $∠DCF=∠DFC$。
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得$∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF$，
∴ $2∠DCF=30°$，解得$∠DCF=15°$，即$∠BCF=15°$。
【答案】
（1）E是CF的中点得证
（2）$\boxed{15°}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是三角形性质的基础综合应用题，解题的关键是合理添加辅助线DF，将已知条件转化为等腰三角形、直角三角形的边角关系进行推导，有助于锻炼学生几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.7
12 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$.
(1) 尺规作图:① 作线段$AC$的垂直平分线$l$,交$AC$于点$O$;② 连接$BO$并延长,在$BO$的延长线上截取$DO$,使得$DO=BO$;③ 连接$DA$,$DC$(保留作图痕迹,标明字母).
(2) 判断$AD$,$CD$的位置关系,并说明理由.
(1) 尺规作图:① 作线段$AC$的垂直平分线$l$,交$AC$于点$O$;② 连接$BO$并延长,在$BO$的延长线上截取$DO$,使得$DO=BO$;③ 连接$DA$,$DC$(保留作图痕迹,标明字母).
(2) 判断$AD$,$CD$的位置关系,并说明理由.
答案
12.（1）如图所示
（2）$AD⊥ CD$ 理由:$\because$ 直线 $l$ 垂直平分线段 $AC,\therefore AO = CO.$ 又$\because$ 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°,\therefore BO=\frac{1}{2}AC$,即 $BO = AO = CO.$
$\because DO=BO,\therefore DO=AO=CO,\therefore ∠ OAD=∠ ODA,∠ OCD = ∠ ODC. \because △ ADC$ 的内角和为 $180°$,
$\therefore ∠ ODA+∠ ODC=\frac{1}{2}× 180°=90°$,即 $∠ ADC=90°,\therefore AD⊥ CD$
解析
【分析】
（1）尺规作图部分：作线段AC的垂直平分线时，依据“到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上”，分别以A、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交点的连线就是AC的垂直平分线；再按要求延长BO、截取DO=BO，最后连接对应线段即可。
（2）位置关系判断部分：先由垂直平分线的性质得到AO=CO，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得BO=AO=CO，结合DO=BO可推出DO=AO=CO，再利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，即可推导得出∠ADC的度数，从而判断位置关系。
【解析】
（1）作图步骤：
① 分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线$l$，交AC于点O，直线$l$即为AC的垂直平分线；
② 延长BO，以O为圆心、BO长为半径画弧，与BO延长线交于点D，此时DO=BO；
③ 依次连接DA、DC，保留作图痕迹即可。
（2）推理过程：
∵ 直线$l$垂直平分AC，
∴ $AO=CO$。
∵ $△ABC$中$∠ABC=90°$，O是AC中点，
∴ 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即$BO=\frac{1}{2}AC=AO=CO$。
∵ $DO=BO$，
∴ $DO=AO=CO$，
∴ $∠OAD=∠ODA$，$∠OCD=∠ODC$。
∵ $△ADC$内角和为$180°$，即$∠OAD+∠OCD+∠ODA+∠ODC=180°$，
代入等角可得$2(∠ODA+∠ODC)=180°$，
∴ $∠ODA+∠ODC=90°$，即$∠ADC=90°$，故$AD⊥CD$。
【答案】
（1）如图所示
（2）$AD⊥ CD$ 理由:$\because$ 直线 $l$ 垂直平分线段 $AC,\therefore AO = CO.$ 又$\because$ 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°,\therefore BO=\frac{1}{2}AC$,即 $BO = AO = CO.$
$\because DO=BO,\therefore DO=AO=CO,\therefore ∠ OAD=∠ ODA,∠ OCD = ∠ ODC. \because △ ADC$ 的内角和为 $180°$,
$\therefore ∠ ODA+∠ ODC=\frac{1}{2}× 180°=90°$,即 $∠ ADC=90°,\therefore AD⊥ CD$
【知识点】
1. 尺规作垂直平分线
2. 直角三角形斜边中线性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题将尺规作图与几何证明相结合，既考查了基础作图的操作能力，也考查了直角三角形、等腰三角形相关性质的综合应用，能有效锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）尺规作图部分：作线段AC的垂直平分线时，依据“到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上”，分别以A、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交点的连线就是AC的垂直平分线；再按要求延长BO、截取DO=BO，最后连接对应线段即可。
（2）位置关系判断部分：先由垂直平分线的性质得到AO=CO，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得BO=AO=CO，结合DO=BO可推出DO=AO=CO，再利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，即可推导得出∠ADC的度数，从而判断位置关系。
【解析】
（1）作图步骤：
① 分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线$l$，交AC于点O，直线$l$即为AC的垂直平分线；
② 延长BO，以O为圆心、BO长为半径画弧，与BO延长线交于点D，此时DO=BO；
③ 依次连接DA、DC，保留作图痕迹即可。
（2）推理过程：
∵ 直线$l$垂直平分AC，
∴ $AO=CO$。
∵ $△ABC$中$∠ABC=90°$，O是AC中点，
∴ 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即$BO=\frac{1}{2}AC=AO=CO$。
∵ $DO=BO$，
∴ $DO=AO=CO$，
∴ $∠OAD=∠ODA$，$∠OCD=∠ODC$。
∵ $△ADC$内角和为$180°$，即$∠OAD+∠OCD+∠ODA+∠ODC=180°$，
代入等角可得$2(∠ODA+∠ODC)=180°$，
∴ $∠ODA+∠ODC=90°$，即$∠ADC=90°$，故$AD⊥CD$。
【答案】
（1）如图所示
（2）$AD⊥ CD$ 理由:$\because$ 直线 $l$ 垂直平分线段 $AC,\therefore AO = CO.$ 又$\because$ 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°,\therefore BO=\frac{1}{2}AC$,即 $BO = AO = CO.$
$\because DO=BO,\therefore DO=AO=CO,\therefore ∠ OAD=∠ ODA,∠ OCD = ∠ ODC. \because △ ADC$ 的内角和为 $180°$,
$\therefore ∠ ODA+∠ ODC=\frac{1}{2}× 180°=90°$,即 $∠ ADC=90°,\therefore AD⊥ CD$
【知识点】
1. 尺规作垂直平分线
2. 直角三角形斜边中线性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题将尺规作图与几何证明相结合，既考查了基础作图的操作能力，也考查了直角三角形、等腰三角形相关性质的综合应用，能有效锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
