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8.如图,直线 $ l:y=-\dfrac{1}{2}x+2 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ A,B $ 两点,在 $ y $ 轴上有一点 $ C(0,4) $,动点 $ M $ 从 $ A $ 点以每秒1个单位的速度沿 $ x $ 轴向左移动.
(1)求 $ A,B $ 两点的坐标;
(2)求 $ △ COM $ 的面积 $ S $ 与点 $ M $ 的移动时间 $ t $ 之间的函数解析式.
(1)求 $ A,B $ 两点的坐标;
(2)求 $ △ COM $ 的面积 $ S $ 与点 $ M $ 的移动时间 $ t $ 之间的函数解析式.
答案
8.(1)A,B两点的坐标分别为$A(4,0)$,$B(0,2)$
(2)$\because C(0,4),A(4,0),\therefore OC=OA=4$,
当$0 ≤ t ≤ 4$时,$OM=OA-AM=4-t$,$S_{△ COM}=\frac{1}{2} × 4 × (4-t)=8-2t$;当$t＞4$时,$OM=AM-OA=t-4$,$S_{△ COM}=\frac{1}{2} × 4 × (t-4)=2t-8$
(2)$\because C(0,4),A(4,0),\therefore OC=OA=4$,
当$0 ≤ t ≤ 4$时,$OM=OA-AM=4-t$,$S_{△ COM}=\frac{1}{2} × 4 × (4-t)=8-2t$;当$t＞4$时,$OM=AM-OA=t-4$,$S_{△ COM}=\frac{1}{2} × 4 × (t-4)=2t-8$
解析
【分析】
(1) 求直线与x轴、y轴的交点坐标时，利用坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入直线解析式计算即可得到A、B的坐标。
(2) 求△COM的面积，首先确定固定量：点C在y轴上，OC长度恒为4，可作为三角形的高；点M在x轴上，OM为三角形的底。动点M从A点沿x轴向左移动，移动距离AM=t，需分两种情况讨论OM的长度：①当M在x轴正半轴（含原点）时，OM=OA-AM；②当M移动到x轴负半轴时，OM=AM-OA，再结合三角形面积公式分别计算两种情况的面积，即可得到分段的函数解析式。
【解析】
(1) 对于直线$l:y=-\dfrac{1}{2}x+2$：
求A点（x轴交点）坐标：令$y=0$，代入解析式得$0=-\dfrac{1}{2}x+2$，解得$x=4$，即$A(4,0)$；
求B点（y轴交点）坐标：令$x=0$，代入解析式得$y=2$，即$B(0,2)$。
(2) 已知$C(0,4)$，则$OC=4$，动点M的移动速度为1个单位/秒，移动时间为t，故$AM=t$，结合$OA=4$分情况讨论：
① 当$0≤ t≤4$时，M在x轴正半轴（含原点），$OM=OA-AM=4-t$，
根据三角形面积公式可得$S=\dfrac{1}{2}× OC × OM=\dfrac{1}{2}×4×(4-t)=8-2t$；
② 当$t＞4$时，M在x轴负半轴，$OM=AM-OA=t-4$，
同理可得$S=\dfrac{1}{2}×4×(t-4)=2t-8$。
【答案】
(1) $A(4,0)$，$B(0,2)$；
(2) 当$0≤ t≤4$时，$S=8-2t$；当$t＞4$时，$S=2t-8$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，分段函数，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数结合动点的基础题型，解题核心是掌握坐标轴上点的坐标特征，处理动点问题时要根据点的位置变化分类讨论，避免因忽略点的位置差异导致漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线与x轴、y轴的交点坐标时，利用坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入直线解析式计算即可得到A、B的坐标。
(2) 求△COM的面积，首先确定固定量：点C在y轴上，OC长度恒为4，可作为三角形的高；点M在x轴上，OM为三角形的底。动点M从A点沿x轴向左移动，移动距离AM=t，需分两种情况讨论OM的长度：①当M在x轴正半轴（含原点）时，OM=OA-AM；②当M移动到x轴负半轴时，OM=AM-OA，再结合三角形面积公式分别计算两种情况的面积，即可得到分段的函数解析式。
【解析】
(1) 对于直线$l:y=-\dfrac{1}{2}x+2$：
求A点（x轴交点）坐标：令$y=0$，代入解析式得$0=-\dfrac{1}{2}x+2$，解得$x=4$，即$A(4,0)$；
求B点（y轴交点）坐标：令$x=0$，代入解析式得$y=2$，即$B(0,2)$。
(2) 已知$C(0,4)$，则$OC=4$，动点M的移动速度为1个单位/秒，移动时间为t，故$AM=t$，结合$OA=4$分情况讨论：
① 当$0≤ t≤4$时，M在x轴正半轴（含原点），$OM=OA-AM=4-t$，
根据三角形面积公式可得$S=\dfrac{1}{2}× OC × OM=\dfrac{1}{2}×4×(4-t)=8-2t$；
② 当$t＞4$时，M在x轴负半轴，$OM=AM-OA=t-4$，
同理可得$S=\dfrac{1}{2}×4×(t-4)=2t-8$。
【答案】
(1) $A(4,0)$，$B(0,2)$；
(2) 当$0≤ t≤4$时，$S=8-2t$；当$t＞4$时，$S=2t-8$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，分段函数，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数结合动点的基础题型，解题核心是掌握坐标轴上点的坐标特征，处理动点问题时要根据点的位置变化分类讨论，避免因忽略点的位置差异导致漏解。
【难度系数】
0.7
9.如图,请根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)交点 P 的坐标$(1,1)$是二元一次方程组________的解;
(2)不等式$kx+b＜0$的解集是________;
(3)当$x$______时,$kx+b≥ mx-n$;
(4)若直线$l_1$分别交$x$轴、$y$轴于点$M,A$,直线$l_2$分别交$x$轴,$y$轴于点$B,N$,求点$M$的坐标和四边形$OMPN$的面积.
(1)交点 P 的坐标$(1,1)$是二元一次方程组________的解;
(2)不等式$kx+b＜0$的解集是________;
(3)当$x$______时,$kx+b≥ mx-n$;
(4)若直线$l_1$分别交$x$轴、$y$轴于点$M,A$,直线$l_2$分别交$x$轴,$y$轴于点$B,N$,求点$M$的坐标和四边形$OMPN$的面积.
答案
9.(1)$\begin{cases} y=2x-1 \\ y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2} \end{cases}$
(2)$x＞3$
(3)$≤ 1$
(4)当$y=0$时,$2x-1=0$,解得$x=\frac{1}{2}$,则$M$点的坐标为$(\frac{1}{2},0)$;当$x=0$时,$y=-\frac{1}{2} × 0+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$,则$N$点坐标为$(0,\frac{3}{2})$,所以$S_{\mathrm{四边形}OMPN}=S_{△ ONB}-S_{△ PMB}=\frac{1}{2} × 3 × \frac{3}{2}-\frac{1}{2} × (3-\frac{1}{2}) × 1=1$
(2)$x＞3$
(3)$≤ 1$
(4)当$y=0$时,$2x-1=0$,解得$x=\frac{1}{2}$,则$M$点的坐标为$(\frac{1}{2},0)$;当$x=0$时,$y=-\frac{1}{2} × 0+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$,则$N$点坐标为$(0,\frac{3}{2})$,所以$S_{\mathrm{四边形}OMPN}=S_{△ ONB}-S_{△ PMB}=\frac{1}{2} × 3 × \frac{3}{2}-\frac{1}{2} × (3-\frac{1}{2}) × 1=1$
解析
【分析】
本题核心解题思路是结合一次函数图像与方程、不等式的关联，用待定系数法先求出两条直线解析式，再根据几何意义求解各问：
1. 两个一次函数的交点坐标就是对应两个解析式组成的二元一次方程组的解，先通过已知点求l₁、l₂的解析式即可得到对应方程组；
2. 不等式$kx+b＜0$对应直线$l_2$位于x轴下方的部分，结合$l_2$与x轴的交点即可得到解集；
3. 不等式$kx+b≥ mx-n$对应直线$l_2$位于$l_1$上方（含交点）的部分，结合两直线交点横坐标即可得到取值范围；
4. 求M点坐标即求$l_1$与x轴的交点，令y=0解方程即可；求四边形OMPN面积用割补法，用$△ ONB$的面积减去$△ PMB$的面积计算更简便。
【解析】
先用待定系数法求两条直线的解析式：
①求$l_1:y=mx-n$：由图可知$l_1$过$A(0,-1)$和$P(1,1)$，代入得$x=0$时，$-n=-1$，得$n=1$；将$P(1,1)$、$n=1$代入得$m-1=1$，得$m=2$，故$l_1:y=2x-1$。
②求$l_2:y=kx+b$：由图可知$l_2$过$B(3,0)$和$P(1,1)$，代入得方程组$\begin{cases}3k+b=0 \\ k+b=1\end{cases}$，解得$k=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{3}{2}$，故$l_2:y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。
(1) 一次函数交点为对应二元一次方程组的解，因此$P(1,1)$是两解析式组成的方程组的解；
(2) $kx+b＜0$对应$l_2$在x轴下方的部分，$l_2$与x轴交于$B(3,0)$，故解集为$x＞3$；
(3) $kx+b≥ mx-n$对应$l_2$在$l_1$上方（含交点）的部分，两直线交点横坐标为1，故$x≤1$时不等式成立；
(4) 求M点：M是$l_1$与x轴交点，令$y=0$，得$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，即$M(\frac{1}{2},0)$；
求N点：N是$l_2$与y轴交点，令$x=0$，得$y=\frac{3}{2}$，即$N(0,\frac{3}{2})$；
计算面积：$S_{四边形OMPN}=S_{△ ONB}-S_{△ PMB}=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×(3-\frac{1}{2})×1=\frac{9}{4}-\frac{5}{4}=1$。
【答案】
(1)$\begin{cases} y=2x-1 \\ y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2} \end{cases}$
(2)$x＞3$
(3)$≤ 1$
(4)M点坐标为$(\frac{1}{2},0)$，四边形OMPN的面积为1。
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组
2. 一次函数与一元一次不等式
3. 割补法求面积
【点评】
本题是一次函数章节的典型题型，综合考查一次函数的图像性质、待定系数法求解析式、一次函数与方程不等式的关联，以及不规则图形面积的计算，数形结合是解题的核心思路，要求学生能熟练将代数问题和几何图像转化求解。
【难度系数】
0.7
本题核心解题思路是结合一次函数图像与方程、不等式的关联，用待定系数法先求出两条直线解析式，再根据几何意义求解各问：
1. 两个一次函数的交点坐标就是对应两个解析式组成的二元一次方程组的解，先通过已知点求l₁、l₂的解析式即可得到对应方程组；
2. 不等式$kx+b＜0$对应直线$l_2$位于x轴下方的部分，结合$l_2$与x轴的交点即可得到解集；
3. 不等式$kx+b≥ mx-n$对应直线$l_2$位于$l_1$上方（含交点）的部分，结合两直线交点横坐标即可得到取值范围；
4. 求M点坐标即求$l_1$与x轴的交点，令y=0解方程即可；求四边形OMPN面积用割补法，用$△ ONB$的面积减去$△ PMB$的面积计算更简便。
【解析】
先用待定系数法求两条直线的解析式：
①求$l_1:y=mx-n$：由图可知$l_1$过$A(0,-1)$和$P(1,1)$，代入得$x=0$时，$-n=-1$，得$n=1$；将$P(1,1)$、$n=1$代入得$m-1=1$，得$m=2$，故$l_1:y=2x-1$。
②求$l_2:y=kx+b$：由图可知$l_2$过$B(3,0)$和$P(1,1)$，代入得方程组$\begin{cases}3k+b=0 \\ k+b=1\end{cases}$，解得$k=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{3}{2}$，故$l_2:y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。
(1) 一次函数交点为对应二元一次方程组的解，因此$P(1,1)$是两解析式组成的方程组的解；
(2) $kx+b＜0$对应$l_2$在x轴下方的部分，$l_2$与x轴交于$B(3,0)$，故解集为$x＞3$；
(3) $kx+b≥ mx-n$对应$l_2$在$l_1$上方（含交点）的部分，两直线交点横坐标为1，故$x≤1$时不等式成立；
(4) 求M点：M是$l_1$与x轴交点，令$y=0$，得$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，即$M(\frac{1}{2},0)$；
求N点：N是$l_2$与y轴交点，令$x=0$，得$y=\frac{3}{2}$，即$N(0,\frac{3}{2})$；
计算面积：$S_{四边形OMPN}=S_{△ ONB}-S_{△ PMB}=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×(3-\frac{1}{2})×1=\frac{9}{4}-\frac{5}{4}=1$。
【答案】
(1)$\begin{cases} y=2x-1 \\ y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2} \end{cases}$
(2)$x＞3$
(3)$≤ 1$
(4)M点坐标为$(\frac{1}{2},0)$，四边形OMPN的面积为1。
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组
2. 一次函数与一元一次不等式
3. 割补法求面积
【点评】
本题是一次函数章节的典型题型，综合考查一次函数的图像性质、待定系数法求解析式、一次函数与方程不等式的关联，以及不规则图形面积的计算，数形结合是解题的核心思路，要求学生能熟练将代数问题和几何图像转化求解。
【难度系数】
0.7
10.在平面直角坐标系中，点 $ A_1,A_2,A_3,A_4··· $ 在 $ x $ 轴的正半轴上，点 $ B_1,B_2,B_3··· $ 在直线 $ y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x(x≥ 0) $ 上，若点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (2,0) $，且 $ △ A_1B_1A_2,△ A_2B_2A_3,△ A_3B_3A_4··· $ 均为等边三角形，则点 $ B_{2025} $ 的纵坐标为 ______。
答案
10.$\sqrt{3} × 2^{2024}$
解析
【分析】
首先确定直线$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$与x轴正半轴的夹角为$30°$，结合等边三角形内角为$60°$的性质，利用三角形外角关系可推出每个等边三角形的边长是前一个等边三角形边长的2倍，再通过等边三角形的高等于边长乘$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，计算前几个$B$点的纵坐标归纳出通用规律，最后代入$n=2025$即可求解。
【解析】
1. 求直线与x轴的夹角：
取直线$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$上任意一点（横坐标$a＞0$），则纵坐标为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$，过该点作x轴的垂线，由锐角三角函数得$\tan∠ BOx=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}a}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，因此直线与x轴正半轴夹角$∠ BOx=30°$。
2. 求$B_1$的纵坐标：
已知$A_1(2,0)$，即$OA_1=2$。$△ A_1B_1A_2$是等边三角形，故$∠ B_1A_1A_2=60°$，由三角形外角性质得$∠ OB_1A_1=∠ B_1A_1A_2-∠ BOx=30°$，因此$∠ OB_1A_1=∠ BOx$，则$A_1B_1=OA_1=2$。
等边三角形的高就是$B_1$的纵坐标，为$2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}=\sqrt{3}×2^0$，此时$OA_2=OA_1+A_1A_2=2+2=4$。
3. 推导规律：
同理可得$△ A_2B_2A_3$的边长为$OA_2=4$，$B_2$的纵坐标为$4×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}=\sqrt{3}×2^1$；
$△ A_3B_3A_4$的边长为$OA_3=8$，$B_3$的纵坐标为$8×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}=\sqrt{3}×2^2$；
由此归纳得$B_n$的纵坐标为$\sqrt{3}×2^{n-1}$。
4. 计算$B_{2025}$的纵坐标：
当$n=2025$时，纵坐标为$\sqrt{3}×2^{2025-1}=\sqrt{3}×2^{2024}$。
【答案】
$\sqrt{3} × 2^{2024}$
【知识点】
一次函数图象性质；等边三角形的性质；规律探究
【点评】
本题结合一次函数与几何图形考查规律探究能力，解题核心是通过角度关系推导等边三角形边长的变化规律，再归纳点坐标的通用公式，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先确定直线$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$与x轴正半轴的夹角为$30°$，结合等边三角形内角为$60°$的性质，利用三角形外角关系可推出每个等边三角形的边长是前一个等边三角形边长的2倍，再通过等边三角形的高等于边长乘$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，计算前几个$B$点的纵坐标归纳出通用规律，最后代入$n=2025$即可求解。
【解析】
1. 求直线与x轴的夹角：
取直线$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$上任意一点（横坐标$a＞0$），则纵坐标为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$，过该点作x轴的垂线，由锐角三角函数得$\tan∠ BOx=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}a}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，因此直线与x轴正半轴夹角$∠ BOx=30°$。
2. 求$B_1$的纵坐标：
已知$A_1(2,0)$，即$OA_1=2$。$△ A_1B_1A_2$是等边三角形，故$∠ B_1A_1A_2=60°$，由三角形外角性质得$∠ OB_1A_1=∠ B_1A_1A_2-∠ BOx=30°$，因此$∠ OB_1A_1=∠ BOx$，则$A_1B_1=OA_1=2$。
等边三角形的高就是$B_1$的纵坐标，为$2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}=\sqrt{3}×2^0$，此时$OA_2=OA_1+A_1A_2=2+2=4$。
3. 推导规律：
同理可得$△ A_2B_2A_3$的边长为$OA_2=4$，$B_2$的纵坐标为$4×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}=\sqrt{3}×2^1$；
$△ A_3B_3A_4$的边长为$OA_3=8$，$B_3$的纵坐标为$8×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}=\sqrt{3}×2^2$；
由此归纳得$B_n$的纵坐标为$\sqrt{3}×2^{n-1}$。
4. 计算$B_{2025}$的纵坐标：
当$n=2025$时，纵坐标为$\sqrt{3}×2^{2025-1}=\sqrt{3}×2^{2024}$。
【答案】
$\sqrt{3} × 2^{2024}$
【知识点】
一次函数图象性质；等边三角形的性质；规律探究
【点评】
本题结合一次函数与几何图形考查规律探究能力，解题核心是通过角度关系推导等边三角形边长的变化规律，再归纳点坐标的通用公式，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
