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11.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,直线AC的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+4$.
(1)求点B的坐标;
(2)求直线AB的解析式.
(1)求点B的坐标;
(2)求直线AB的解析式.
答案
11.(1)$\because$直线AC的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$,令$y=0$,得$x=8$,则$C(8,0)$,令$x=0$,得$y=4$,则$A(0,4)$,设$B$的坐标为$(m,0)$,$\because$四边形ABCD是菱形,$\therefore AB=BC$,即$\sqrt{m^2+4^2}=8-m$,解得$m=3$,即$B(3,0)$
(2)设直线AB的解析式为$y=kx+b$,$\because$直线AB经过点$A(0,4)$,$B(3,0)$,$\therefore \begin{cases} 3k+b=0,\\ b=4, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\dfrac{4}{3},\\ b=4, \end{cases} \therefore$直线AB的解析式为$y=-\frac{4}{3}x+4$
(2)设直线AB的解析式为$y=kx+b$,$\because$直线AB经过点$A(0,4)$,$B(3,0)$,$\therefore \begin{cases} 3k+b=0,\\ b=4, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\dfrac{4}{3},\\ b=4, \end{cases} \therefore$直线AB的解析式为$y=-\frac{4}{3}x+4$
解析
【分析】
(1) 求点B坐标首先需要先求出直线AC与坐标轴的交点A、C的坐标：分别令直线AC解析式中x=0、y=0即可得到A、C的坐标。已知四边形ABCD是菱形，根据菱形四边相等的性质可得AB=BC，B在x轴上，设其坐标为$(m,0)$，利用勾股定理表示AB的长度，结合BC的长度列方程求解即可得到m的值，即得到B点坐标。
(2) 求直线AB的解析式使用待定系数法：设解析式为$y=kx+b$，将已经求出的A、B两点坐标代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到直线AB的解析式。
【解析】
(1) 已知直线AC的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+4$：
令$y=0$，代入得$0=-\dfrac{1}{2}x+4$，解得$x=8$，即点C坐标为$(8,0)$；
令$x=0$，代入得$y=4$，即点A坐标为$(0,4)$。
设点B的坐标为$(m,0)$，$\because$四边形ABCD是菱形，$\therefore AB=BC$。
其中BC的长度为$8-m$，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OB^2+OA^2}=\sqrt{m^2+4^2}$，因此列方程：
$\sqrt{m^2+4^2}=8-m$
两边平方得$m^2+16=64-16m+m^2$，化简得$16m=48$，解得$m=3$，即$B(3,0)$。
(2) 设直线AB的解析式为$y=kx+b$，$\because$直线AB经过点$A(0,4)$和$B(3,0)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} b=4 \\ 3k+b=0 \end{cases}$
将$b=4$代入第二个方程得$3k+4=0$，解得$k=-\dfrac{4}{3}$。
因此直线AB的解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x+4$。
【答案】
(1) $B(3,0)$；(2) $y=-\dfrac{4}{3}x+4$
【知识点】
一次函数点的坐标特征；菱形的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数与菱形性质结合的基础综合题，解题核心是先利用一次函数与坐标轴的交点特征求出A、C坐标，再借助菱形边长相等的性质建立方程求出B点坐标，最后用待定系数法求解一次函数解析式，用到的勾股定理、二元一次方程组解法都是基础常用方法，掌握相关基础知识点就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 求点B坐标首先需要先求出直线AC与坐标轴的交点A、C的坐标：分别令直线AC解析式中x=0、y=0即可得到A、C的坐标。已知四边形ABCD是菱形，根据菱形四边相等的性质可得AB=BC，B在x轴上，设其坐标为$(m,0)$，利用勾股定理表示AB的长度，结合BC的长度列方程求解即可得到m的值，即得到B点坐标。
(2) 求直线AB的解析式使用待定系数法：设解析式为$y=kx+b$，将已经求出的A、B两点坐标代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到直线AB的解析式。
【解析】
(1) 已知直线AC的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+4$：
令$y=0$，代入得$0=-\dfrac{1}{2}x+4$，解得$x=8$，即点C坐标为$(8,0)$；
令$x=0$，代入得$y=4$，即点A坐标为$(0,4)$。
设点B的坐标为$(m,0)$，$\because$四边形ABCD是菱形，$\therefore AB=BC$。
其中BC的长度为$8-m$，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OB^2+OA^2}=\sqrt{m^2+4^2}$，因此列方程：
$\sqrt{m^2+4^2}=8-m$
两边平方得$m^2+16=64-16m+m^2$，化简得$16m=48$，解得$m=3$，即$B(3,0)$。
(2) 设直线AB的解析式为$y=kx+b$，$\because$直线AB经过点$A(0,4)$和$B(3,0)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} b=4 \\ 3k+b=0 \end{cases}$
将$b=4$代入第二个方程得$3k+4=0$，解得$k=-\dfrac{4}{3}$。
因此直线AB的解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x+4$。
【答案】
(1) $B(3,0)$；(2) $y=-\dfrac{4}{3}x+4$
【知识点】
一次函数点的坐标特征；菱形的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数与菱形性质结合的基础综合题，解题核心是先利用一次函数与坐标轴的交点特征求出A、C坐标，再借助菱形边长相等的性质建立方程求出B点坐标，最后用待定系数法求解一次函数解析式，用到的勾股定理、二元一次方程组解法都是基础常用方法，掌握相关基础知识点就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
12.如图，$\mathrm{Rt}△ AOB$ 的顶点 $O$ 与原点重合，直角顶点 $A$ 在 $x$ 轴上，顶点 $B$ 的坐标为 $(4,3)$，直线 $y=-\dfrac{4}{3}x+4$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $D,E$，交 $OB$ 于点 $F$.
(1)写出图中的全等三角形并给出理由；
(2)求 $OF$ 的长.
(1)写出图中的全等三角形并给出理由；
(2)求 $OF$ 的长.
答案
12.(1)$△ AOB ≌ △ OED$.理由:$\because y=-\frac{4}{3}x+4$与$x$轴、$y$轴分别交于点$D,E$,$\therefore D(3,0)$,$E(0,4)$,$\therefore OD=3$,$OE=4$.$\because B(4,3)$,$\therefore OA=4$,$AB=3$.在$△ AOB$与$△ OED$中,
$\begin{cases} AB=OD,\\ ∠ OAB=∠ EOD=90°,\\ OA=EO, \end{cases} \therefore △ AOB ≌ △ OED$(SAS)
(2)$\because △ AOB ≌ △ OED$,$\therefore ∠ AOB=∠ OED$.$\because ∠ AOB+∠ EOF=90°$,$\therefore ∠ OED+∠ EOF=90°$,$\therefore ∠ OFE=90°$,$\therefore OF ⊥ ED$.在$\mathrm{Rt}△ ODE$中,$ED=\sqrt{OE^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$,
$\because S_{△ ODE}=\frac{1}{2}OD · OE=\frac{1}{2}DE · OF=6$,$\therefore OF=\frac{12}{5}$
$\begin{cases} AB=OD,\\ ∠ OAB=∠ EOD=90°,\\ OA=EO, \end{cases} \therefore △ AOB ≌ △ OED$(SAS)
(2)$\because △ AOB ≌ △ OED$,$\therefore ∠ AOB=∠ OED$.$\because ∠ AOB+∠ EOF=90°$,$\therefore ∠ OED+∠ EOF=90°$,$\therefore ∠ OFE=90°$,$\therefore OF ⊥ ED$.在$\mathrm{Rt}△ ODE$中,$ED=\sqrt{OE^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$,
$\because S_{△ ODE}=\frac{1}{2}OD · OE=\frac{1}{2}DE · OF=6$,$\therefore OF=\frac{12}{5}$
解析
【分析】
(1)要找全等三角形，首先先求出直线与x轴、y轴交点D、E的坐标，得到△OED的边长，再结合B点坐标得到Rt△AOB的边长，对比两个直角三角形的边和直角，就能找到全等的判定条件。(2)求OF的长时，先利用第一问全等的结论得到对应角相等，推导得出OF垂直DE，再用勾股定理求出DE的长度，最后借助直角三角形面积的两种计算方法即可算出OF的长度。
【解析】
(1) 全等三角形为$△ AOB ≌ △ OED$，理由如下：
对于直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$，令$y=0$，解得$x=3$，即$D(3,0)$；令$x=0$，解得$y=4$，即$E(0,4)$，因此$OD=3$，$OE=4$。
已知$B(4,3)$，$∠ OAB=90°$，可得$OA=4$，$AB=3$。
在$△ AOB$和$△ OED$中：
$\begin{cases}AB=OD=3,\\∠ OAB=∠ EOD=90°,\\OA=EO=4\end{cases}$
根据SAS判定定理，可得$△ AOB ≌ △ OED$。
(2) 由$△ AOB ≌ △ OED$，可得$∠ AOB=∠ OED$。
因为$∠ AOB+∠ EOF=90°$，等量代换得$∠ OED+∠ EOF=90°$，因此$∠ OFE=180°-(∠ OED+∠ EOF)=90°$，即$OF⊥ ED$。
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得$ED=\sqrt{OE^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$△ ODE$的面积可表示为$S_{△ ODE}=\dfrac{1}{2}· OD· OE=\dfrac{1}{2}×3×4=6$，也可表示为$S_{△ ODE}=\dfrac{1}{2}· DE· OF$，因此：
$\dfrac{1}{2}×5× OF=6$，解得$OF=\dfrac{12}{5}$。
【答案】
(1) $△ AOB ≌ △ OED$，理由见解析；
(2) $OF=\dfrac{12}{5}$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点求解；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何的基础综合题，解题核心是先通过一次函数解析式获取交点坐标得到对应线段长度，再结合全等性质推导垂直关系，最后用面积法求线段长，很好地考察了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
(1)要找全等三角形，首先先求出直线与x轴、y轴交点D、E的坐标，得到△OED的边长，再结合B点坐标得到Rt△AOB的边长，对比两个直角三角形的边和直角，就能找到全等的判定条件。(2)求OF的长时，先利用第一问全等的结论得到对应角相等，推导得出OF垂直DE，再用勾股定理求出DE的长度，最后借助直角三角形面积的两种计算方法即可算出OF的长度。
【解析】
(1) 全等三角形为$△ AOB ≌ △ OED$，理由如下：
对于直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$，令$y=0$，解得$x=3$，即$D(3,0)$；令$x=0$，解得$y=4$，即$E(0,4)$，因此$OD=3$，$OE=4$。
已知$B(4,3)$，$∠ OAB=90°$，可得$OA=4$，$AB=3$。
在$△ AOB$和$△ OED$中：
$\begin{cases}AB=OD=3,\\∠ OAB=∠ EOD=90°,\\OA=EO=4\end{cases}$
根据SAS判定定理，可得$△ AOB ≌ △ OED$。
(2) 由$△ AOB ≌ △ OED$，可得$∠ AOB=∠ OED$。
因为$∠ AOB+∠ EOF=90°$，等量代换得$∠ OED+∠ EOF=90°$，因此$∠ OFE=180°-(∠ OED+∠ EOF)=90°$，即$OF⊥ ED$。
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得$ED=\sqrt{OE^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$△ ODE$的面积可表示为$S_{△ ODE}=\dfrac{1}{2}· OD· OE=\dfrac{1}{2}×3×4=6$，也可表示为$S_{△ ODE}=\dfrac{1}{2}· DE· OF$，因此：
$\dfrac{1}{2}×5× OF=6$，解得$OF=\dfrac{12}{5}$。
【答案】
(1) $△ AOB ≌ △ OED$，理由见解析；
(2) $OF=\dfrac{12}{5}$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点求解；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何的基础综合题，解题核心是先通过一次函数解析式获取交点坐标得到对应线段长度，再结合全等性质推导垂直关系，最后用面积法求线段长，很好地考察了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
13.已知一次函数 $ y=-2x+b $ 的图象过点 $ (2,1) $。
(1)求一次函数的解析式,并判断点 $ P(1,3) $ 是否在该函数的图象上?
(2)作出该函数图象,观察图象直接回答:
$ x $ 取何值时,$ -2x+b＜0 $? $ x $ 取何值时,$ -2x+b＞3 $?
(3)在坐标轴上是否存在一点 $ Q $,使 $ △ OPQ $ 的面积等于 6? 若存在,请写出 $ Q $ 点的坐标.若不存在,请说明理由.
(1)求一次函数的解析式,并判断点 $ P(1,3) $ 是否在该函数的图象上?
(2)作出该函数图象,观察图象直接回答:
$ x $ 取何值时,$ -2x+b＜0 $? $ x $ 取何值时,$ -2x+b＞3 $?
(3)在坐标轴上是否存在一点 $ Q $,使 $ △ OPQ $ 的面积等于 6? 若存在,请写出 $ Q $ 点的坐标.若不存在,请说明理由.
答案
13.(1)把$(2,1)$代入$y=-2x+b$得$-2 × 2+b=1$,解得$b=5$,所以一次函数的解析式为$y=-2x+5$,当$x=1$时,$y=-2x+5=-2+5=3$,所以点$P(1,3)$在该函数的图象上
(2)如图,直线$y=-2x+5$与$x$轴的交点坐标为$(2.5,0)$,当$x＞2.5$时,$-2x+b＜0$;当$x＜1$时,$-2x+b＞3$
(3)存在.当$Q$在$x$轴上,设$Q(t,0)$,$\because △ OPQ$的面积等于6,$\therefore \frac{1}{2} · |t| · 3=6$,解得$t= \pm 4$,$\therefore$此时$Q$点坐标为$(4,0)$或$(-4,0)$;当$Q$在$y$轴上,设$Q(0,m)$,$\because △ OPQ$的面积等于6,$\therefore \frac{1}{2} · |m| · 1=6$,解得$m= \pm 12$,$\therefore$此时$Q$点坐标为$(0,12)$或$(0,-12)$;综上所述,点$Q$的坐标为$(4,0)$或$(-4,0)$或$(0,12)$或$(0,-12)$
解析
【分析】
(1) 求一次函数解析式采用待定系数法，将已知点$(2,1)$代入$y=-2x+b$即可解出$b$的值，得到解析式；判断点$P$是否在图象上，只需将$P$的横坐标代入解析式，对比计算出的$y$值和$P$的纵坐标即可。
(2) 不等式$-2x+b＜0$对应一次函数$y＜0$的情况，找到函数图象与$x$轴交点即可得到对应$x$的范围；不等式$-2x+b＞3$对应$y＞3$的情况，结合点$P$的坐标和函数增减性即可得到对应$x$的范围。
(3) 分$Q$在$x$轴、$y$轴两种情况讨论，设出对应坐标轴上$Q$的坐标，利用三角形面积公式列方程求解，注意坐标正负需用绝对值处理，避免漏解。
【解析】
(1) 将点$(2,1)$代入$y=-2x+b$，得$-2× 2+b=1$，解得$b=5$，因此一次函数的解析式为$y=-2x+5$。
将$x=1$代入解析式，得$y=-2×1+5=3$，与点$P(1,3)$的纵坐标相等，因此点$P(1,3)$在该函数的图象上。
(2) 令$y=0$，代入$y=-2x+5$，解得$x=2.5$，即直线与$x$轴交点为$(2.5,0)$。
该一次函数$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＞2.5$时，$y＜0$，即$-2x+b＜0$；
当$y=3$时对应$x=1$，因此当$x＜1$时，$y＞3$，即$-2x+b＞3$。
(3) 存在，分两种情况讨论：
① 当$Q$在$x$轴上时，设$Q(t,0)$，$△ OPQ$的底为$|t|$，高为点$P$的纵坐标3，由面积为6得：$\frac{1}{2}·|t|·3=6$，解得$t=\pm4$，此时$Q$为$(4,0)$或$(-4,0)$；
② 当$Q$在$y$轴上时，设$Q(0,m)$，$△ OPQ$的底为$|m|$，高为点$P$的横坐标1，由面积为6得：$\frac{1}{2}·|m|·1=6$，解得$m=\pm12$，此时$Q$为$(0,12)$或$(0,-12)$。
综上可得所有符合条件的$Q$点坐标。
【答案】
(1) 一次函数的解析式为$y=-2x+5$，点$P(1,3)$在该函数的图象上；
(2) 当$x＞2.5$时，$-2x+b＜0$；当$x＜1$时，$-2x+b＞3$；
(3) 存在，$Q$点的坐标为$(4,0)$或$(-4,0)$或$(0,12)$或$(0,-12)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与不等式，一次函数面积问题
【点评】
本题综合考查一次函数的基础性质与应用，既包含基础的解析式求解、图象与不等式的对应关系，也需要用到分类讨论思想解决面积存在性问题，解题时注意坐标的正负性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数解析式采用待定系数法，将已知点$(2,1)$代入$y=-2x+b$即可解出$b$的值，得到解析式；判断点$P$是否在图象上，只需将$P$的横坐标代入解析式，对比计算出的$y$值和$P$的纵坐标即可。
(2) 不等式$-2x+b＜0$对应一次函数$y＜0$的情况，找到函数图象与$x$轴交点即可得到对应$x$的范围；不等式$-2x+b＞3$对应$y＞3$的情况，结合点$P$的坐标和函数增减性即可得到对应$x$的范围。
(3) 分$Q$在$x$轴、$y$轴两种情况讨论，设出对应坐标轴上$Q$的坐标，利用三角形面积公式列方程求解，注意坐标正负需用绝对值处理，避免漏解。
【解析】
(1) 将点$(2,1)$代入$y=-2x+b$，得$-2× 2+b=1$，解得$b=5$，因此一次函数的解析式为$y=-2x+5$。
将$x=1$代入解析式，得$y=-2×1+5=3$，与点$P(1,3)$的纵坐标相等，因此点$P(1,3)$在该函数的图象上。
(2) 令$y=0$，代入$y=-2x+5$，解得$x=2.5$，即直线与$x$轴交点为$(2.5,0)$。
该一次函数$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＞2.5$时，$y＜0$，即$-2x+b＜0$；
当$y=3$时对应$x=1$，因此当$x＜1$时，$y＞3$，即$-2x+b＞3$。
(3) 存在，分两种情况讨论：
① 当$Q$在$x$轴上时，设$Q(t,0)$，$△ OPQ$的底为$|t|$，高为点$P$的纵坐标3，由面积为6得：$\frac{1}{2}·|t|·3=6$，解得$t=\pm4$，此时$Q$为$(4,0)$或$(-4,0)$；
② 当$Q$在$y$轴上时，设$Q(0,m)$，$△ OPQ$的底为$|m|$，高为点$P$的横坐标1，由面积为6得：$\frac{1}{2}·|m|·1=6$，解得$m=\pm12$，此时$Q$为$(0,12)$或$(0,-12)$。
综上可得所有符合条件的$Q$点坐标。
【答案】
(1) 一次函数的解析式为$y=-2x+5$，点$P(1,3)$在该函数的图象上；
(2) 当$x＞2.5$时，$-2x+b＜0$；当$x＜1$时，$-2x+b＞3$；
(3) 存在，$Q$点的坐标为$(4,0)$或$(-4,0)$或$(0,12)$或$(0,-12)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与不等式，一次函数面积问题
【点评】
本题综合考查一次函数的基础性质与应用，既包含基础的解析式求解、图象与不等式的对应关系，也需要用到分类讨论思想解决面积存在性问题，解题时注意坐标的正负性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
