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1.计算:
(1)$(\sqrt{18}-\sqrt{8})×\sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{6}×\sqrt{2}+\sqrt{24}÷\sqrt{3}-|-2\sqrt{3}|$；
(3)$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}$；
(4)$\sqrt{18}-4\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{24}÷\sqrt{3}$。
(1)$(\sqrt{18}-\sqrt{8})×\sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{6}×\sqrt{2}+\sqrt{24}÷\sqrt{3}-|-2\sqrt{3}|$；
(3)$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}$；
(4)$\sqrt{18}-4\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{24}÷\sqrt{3}$。
答案
(1)2 (2)$2\sqrt{2}$ (3)$4+\sqrt{6}$ (4)$3\sqrt{2}$
解析
【分析】
这几道题均为二次根式的混合运算，解题遵循整式混合运算的顺序：有括号先算括号内，无括号则先算乘除、后算加减，最后合并同类二次根式。计算时可运用二次根式乘除公式$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可先运算再化简，也可先化简每个二次根式再运算，最终结果需化为最简二次根式。
【解析】
(1) 方法一：先化简括号内的二次根式，再计算乘法
原式$=(3\sqrt{2}-2\sqrt{2})×\sqrt{2}$
$=\sqrt{2}×\sqrt{2}$
$=2$
方法二：利用乘法分配律计算
原式$=\sqrt{18}×\sqrt{2}-\sqrt{8}×\sqrt{2}$
$=\sqrt{36}-\sqrt{16}$
$=6-4=2$
(2) 先计算乘除和绝对值，再合并同类二次根式
原式$=\sqrt{6×2}+\sqrt{24÷3}-2\sqrt{3}$
$=\sqrt{12}+\sqrt{8}-2\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}$
$=2\sqrt{2}$
(3) 先计算乘除，再化简合并同类二次根式
原式$=\sqrt{48÷3}-\sqrt{\frac{1}{2}×12}+2\sqrt{6}$
$=\sqrt{16}-\sqrt{6}+2\sqrt{6}$
$=4+\sqrt{6}$
(4) 先化简各项、计算除法，再合并同类二次根式
原式$=3\sqrt{2}-4×\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{24÷3}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{8}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}$
【答案】
(1)$2$；(2)$2\sqrt{2}$；(3)$4+\sqrt{6}$；(4)$3\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式混合运算，最简二次根式，同类二次根式合并
【点评】
这组题目是二次根式运算的基础常规题，主要考察二次根式运算法则和化简规则的掌握程度，计算时注意遵循运算顺序，化简结果要符合最简二次根式的要求，合并同类二次根式时注意系数运算的准确性，熟练掌握基础规则后即可轻松解答。
【难度系数】
0.75
这几道题均为二次根式的混合运算，解题遵循整式混合运算的顺序：有括号先算括号内，无括号则先算乘除、后算加减，最后合并同类二次根式。计算时可运用二次根式乘除公式$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可先运算再化简，也可先化简每个二次根式再运算，最终结果需化为最简二次根式。
【解析】
(1) 方法一：先化简括号内的二次根式，再计算乘法
原式$=(3\sqrt{2}-2\sqrt{2})×\sqrt{2}$
$=\sqrt{2}×\sqrt{2}$
$=2$
方法二：利用乘法分配律计算
原式$=\sqrt{18}×\sqrt{2}-\sqrt{8}×\sqrt{2}$
$=\sqrt{36}-\sqrt{16}$
$=6-4=2$
(2) 先计算乘除和绝对值，再合并同类二次根式
原式$=\sqrt{6×2}+\sqrt{24÷3}-2\sqrt{3}$
$=\sqrt{12}+\sqrt{8}-2\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}$
$=2\sqrt{2}$
(3) 先计算乘除，再化简合并同类二次根式
原式$=\sqrt{48÷3}-\sqrt{\frac{1}{2}×12}+2\sqrt{6}$
$=\sqrt{16}-\sqrt{6}+2\sqrt{6}$
$=4+\sqrt{6}$
(4) 先化简各项、计算除法，再合并同类二次根式
原式$=3\sqrt{2}-4×\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{24÷3}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{8}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}$
【答案】
(1)$2$；(2)$2\sqrt{2}$；(3)$4+\sqrt{6}$；(4)$3\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式混合运算，最简二次根式，同类二次根式合并
【点评】
这组题目是二次根式运算的基础常规题，主要考察二次根式运算法则和化简规则的掌握程度，计算时注意遵循运算顺序，化简结果要符合最简二次根式的要求，合并同类二次根式时注意系数运算的准确性，熟练掌握基础规则后即可轻松解答。
【难度系数】
0.75
2.计算:
(1)$(\sqrt{12}-\sqrt{8})×\sqrt{6}-\sqrt{72}$；
(2)$(2\sqrt{12}-\sqrt{3}+\sqrt{27})×\sqrt{3}$；
(3)$(\sqrt{12}+\frac{1}{4}\sqrt{48}-9\sqrt{\frac{1}{3}})÷\sqrt{18}$；
(4)$(10\sqrt{48}-6\sqrt{27}+4\sqrt{12})÷\sqrt{6}$.
(1)$(\sqrt{12}-\sqrt{8})×\sqrt{6}-\sqrt{72}$；
(2)$(2\sqrt{12}-\sqrt{3}+\sqrt{27})×\sqrt{3}$；
(3)$(\sqrt{12}+\frac{1}{4}\sqrt{48}-9\sqrt{\frac{1}{3}})÷\sqrt{18}$；
(4)$(10\sqrt{48}-6\sqrt{27}+4\sqrt{12})÷\sqrt{6}$.
答案
(1)$-4\sqrt{3}$ (2)18 (3)0 (4)$15\sqrt{2}$
解析
【分析】
二次根式的混合运算遵循整式的运算顺序，解题时可以先把所有二次根式化为最简二次根式，有括号的可以先合并括号内的同类二次根式再进行乘除运算，也可以结合乘法分配律简化计算，最终结果要化为最简二次根式。按照该思路逐个计算各小题即可。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{12}×\sqrt{6}-\sqrt{8}×\sqrt{6}-\sqrt{72}\\&=\sqrt{12×6}-\sqrt{8×6}-6\sqrt{2}\\&=6\sqrt{2}-4\sqrt{3}-6\sqrt{2}\\&=-4\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 先化简括号内的二次根式再计算：
$\begin{aligned}原式&=(2×2\sqrt{3}-\sqrt{3}+3\sqrt{3})×\sqrt{3}\\&=(4\sqrt{3}-\sqrt{3}+3\sqrt{3})×\sqrt{3}\\&=6\sqrt{3}×\sqrt{3}\\&=6×3\\&=18\end{aligned}$
(3) 先化简括号内各项再计算：
$\begin{aligned}原式&=(2\sqrt{3}+\frac{1}{4}×4\sqrt{3}-9×\frac{\sqrt{3}}{3})÷\sqrt{18}\\&=(2\sqrt{3}+\sqrt{3}-3\sqrt{3})÷3\sqrt{2}\\&=0÷3\sqrt{2}\\&=0\end{aligned}$
(4) 先化简括号内各项再计算除法：
$\begin{aligned}原式&=(10×4\sqrt{3}-6×3\sqrt{3}+4×2\sqrt{3})÷\sqrt{6}\\&=(40\sqrt{3}-18\sqrt{3}+8\sqrt{3})÷\sqrt{6}\\&=30\sqrt{3}÷\sqrt{6}\\&=30×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\\&=30×\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=15\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-4\sqrt{3}$；(2)$18$；(3)$0$；(4)$15\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的混合运算，最简二次根式，同类二次根式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，解题时优先将二次根式化为最简，灵活运用运算律可有效减少计算量，要注意牢记二次根式的化简规则，避免化简失误。
【难度系数】
0.8
二次根式的混合运算遵循整式的运算顺序，解题时可以先把所有二次根式化为最简二次根式，有括号的可以先合并括号内的同类二次根式再进行乘除运算，也可以结合乘法分配律简化计算，最终结果要化为最简二次根式。按照该思路逐个计算各小题即可。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{12}×\sqrt{6}-\sqrt{8}×\sqrt{6}-\sqrt{72}\\&=\sqrt{12×6}-\sqrt{8×6}-6\sqrt{2}\\&=6\sqrt{2}-4\sqrt{3}-6\sqrt{2}\\&=-4\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 先化简括号内的二次根式再计算：
$\begin{aligned}原式&=(2×2\sqrt{3}-\sqrt{3}+3\sqrt{3})×\sqrt{3}\\&=(4\sqrt{3}-\sqrt{3}+3\sqrt{3})×\sqrt{3}\\&=6\sqrt{3}×\sqrt{3}\\&=6×3\\&=18\end{aligned}$
(3) 先化简括号内各项再计算：
$\begin{aligned}原式&=(2\sqrt{3}+\frac{1}{4}×4\sqrt{3}-9×\frac{\sqrt{3}}{3})÷\sqrt{18}\\&=(2\sqrt{3}+\sqrt{3}-3\sqrt{3})÷3\sqrt{2}\\&=0÷3\sqrt{2}\\&=0\end{aligned}$
(4) 先化简括号内各项再计算除法：
$\begin{aligned}原式&=(10×4\sqrt{3}-6×3\sqrt{3}+4×2\sqrt{3})÷\sqrt{6}\\&=(40\sqrt{3}-18\sqrt{3}+8\sqrt{3})÷\sqrt{6}\\&=30\sqrt{3}÷\sqrt{6}\\&=30×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\\&=30×\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=15\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-4\sqrt{3}$；(2)$18$；(3)$0$；(4)$15\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的混合运算，最简二次根式，同类二次根式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，解题时优先将二次根式化为最简，灵活运用运算律可有效减少计算量，要注意牢记二次根式的化简规则，避免化简失误。
【难度系数】
0.8
3.计算:
(1)$\frac{\sqrt{32}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(2)$\frac{\sqrt{40}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{24} × \sqrt{\frac{1}{2}}$；
(3)$\frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$；
(4)$\frac{x - 2 + \sqrt{x^2 - 4}}{x + 2 + \sqrt{x^2 - 4}}(x＞2)$。
(1)$\frac{\sqrt{32}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(2)$\frac{\sqrt{40}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{24} × \sqrt{\frac{1}{2}}$；
(3)$\frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$；
(4)$\frac{x - 2 + \sqrt{x^2 - 4}}{x + 2 + \sqrt{x^2 - 4}}(x＞2)$。
答案
(1)2 (2)$2\sqrt{2}+1-2\sqrt{3}$ (3)$\sqrt{x}-\sqrt{y}$ (4)$\frac{\sqrt{x^2-4}}{x+2}$
解析
【分析】
这是一组二次根式的运算题，解题思路可按题型分类选择：① 对于分子为多个二次根式和差、分母为单个二次根式的题型（如(1)(2)），可优先拆分分数，利用“$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$”的性质分别计算，也可先化简分子再做除法，避免复杂运算；② 含字母的二次根式分式（如(3)(4)），优先观察分子是否可因式分解，若分子是平方差形式可直接分解后约分，若无法直接约分则利用平方差公式做分母有理化计算，题干给出的$x＞2$的取值范围可保证根式有意义、分母不为0。
【解析】
(1) 方法1：拆分分式计算
$\frac{\sqrt{32}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{32}{2}}-\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$
方法2：先化简分子再计算
$\frac{\sqrt{32}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$
(2) 拆分分式结合二次根式乘法法则计算
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{40}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{24} × \sqrt{\frac{1}{2}}&=\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\sqrt{24×\frac{1}{2}}\\&=\sqrt{8}+1-\sqrt{12}\\&=2\sqrt{2}+1-2\sqrt{3}\end{aligned}$
(3) 利用平方差公式因式分解约分
分子$x-y=(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$，代入原式（$\sqrt{x}+\sqrt{y}≠0$）：
$\frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$
(4) 利用平方差公式做分母有理化计算（$x＞2$，分母不为0，根式有意义）
分子分母同乘分母的有理化因式$x+2-\sqrt{x^2-4}$：
分母：$(x+2+\sqrt{x^2-4})(x+2-\sqrt{x^2-4})=(x+2)^2-(\sqrt{x^2-4})^2=x^2+4x+4-x^2+4=4x+8=4(x+2)$
分子：$\begin{aligned}&(x-2+\sqrt{x^2-4})(x+2-\sqrt{x^2-4})\\=&(x-2)(x+2)-(x-2)\sqrt{x^2-4}+(x+2)\sqrt{x^2-4}-(\sqrt{x^2-4})^2\\=&x^2-4+4\sqrt{x^2-4}-x^2+4=4\sqrt{x^2-4}\end{aligned}$
则原式=$\frac{4\sqrt{x^2-4}}{4(x+2)}=\frac{\sqrt{x^2-4}}{x+2}$
【答案】
(1)$2$；(2)$2\sqrt{2}+1-2\sqrt{3}$；(3)$\sqrt{x}-\sqrt{y}$；(4)$\frac{\sqrt{x^2-4}}{x+2}$
【知识点】
二次根式混合运算；分母有理化；平方差公式应用
【点评】
本组题是二次根式运算的典型习题，聚焦二次根式运算的实用技巧，通过拆分分式、因式分解约分等方法可以简化运算步骤，规避直接硬算带来的错误，掌握解法可有效提升同类题的解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
这是一组二次根式的运算题，解题思路可按题型分类选择：① 对于分子为多个二次根式和差、分母为单个二次根式的题型（如(1)(2)），可优先拆分分数，利用“$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$”的性质分别计算，也可先化简分子再做除法，避免复杂运算；② 含字母的二次根式分式（如(3)(4)），优先观察分子是否可因式分解，若分子是平方差形式可直接分解后约分，若无法直接约分则利用平方差公式做分母有理化计算，题干给出的$x＞2$的取值范围可保证根式有意义、分母不为0。
【解析】
(1) 方法1：拆分分式计算
$\frac{\sqrt{32}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{32}{2}}-\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$
方法2：先化简分子再计算
$\frac{\sqrt{32}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$
(2) 拆分分式结合二次根式乘法法则计算
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{40}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{24} × \sqrt{\frac{1}{2}}&=\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\sqrt{24×\frac{1}{2}}\\&=\sqrt{8}+1-\sqrt{12}\\&=2\sqrt{2}+1-2\sqrt{3}\end{aligned}$
(3) 利用平方差公式因式分解约分
分子$x-y=(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$，代入原式（$\sqrt{x}+\sqrt{y}≠0$）：
$\frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$
(4) 利用平方差公式做分母有理化计算（$x＞2$，分母不为0，根式有意义）
分子分母同乘分母的有理化因式$x+2-\sqrt{x^2-4}$：
分母：$(x+2+\sqrt{x^2-4})(x+2-\sqrt{x^2-4})=(x+2)^2-(\sqrt{x^2-4})^2=x^2+4x+4-x^2+4=4x+8=4(x+2)$
分子：$\begin{aligned}&(x-2+\sqrt{x^2-4})(x+2-\sqrt{x^2-4})\\=&(x-2)(x+2)-(x-2)\sqrt{x^2-4}+(x+2)\sqrt{x^2-4}-(\sqrt{x^2-4})^2\\=&x^2-4+4\sqrt{x^2-4}-x^2+4=4\sqrt{x^2-4}\end{aligned}$
则原式=$\frac{4\sqrt{x^2-4}}{4(x+2)}=\frac{\sqrt{x^2-4}}{x+2}$
【答案】
(1)$2$；(2)$2\sqrt{2}+1-2\sqrt{3}$；(3)$\sqrt{x}-\sqrt{y}$；(4)$\frac{\sqrt{x^2-4}}{x+2}$
【知识点】
二次根式混合运算；分母有理化；平方差公式应用
【点评】
本组题是二次根式运算的典型习题，聚焦二次根式运算的实用技巧，通过拆分分式、因式分解约分等方法可以简化运算步骤，规避直接硬算带来的错误，掌握解法可有效提升同类题的解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
