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4.已知$x=2-\sqrt{3}$，则代数式$(7+4\sqrt{3})x^2+(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}$的值是 （
A.$0$
B.$\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$2-\sqrt{3}$
C
）A.$0$
B.$\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$2-\sqrt{3}$
答案
C
解析
【分析】
拿到本题不要直接将x代入计算，直接计算带根号的x²运算繁琐易出错。首先观察二次项系数7+4√3，可判断它是完全平方式(2+√3)²，由此可将二次项变形为[(2+√3)x]²，再结合x=2-√3，(2+√3)与(2-√3)相乘可利用平方差公式得到整数1，能大幅简化运算，后续只需计算一次项再加常数项即可得到结果。
【解析】
第一步：先化简二次项系数
∵ $7+4\sqrt{3}=2^2+2×2×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=(2+\sqrt{3})^2$
∴ 原式可变形为：
$(2+\sqrt{3})^2x^2+(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}=[(2+\sqrt{3})x]^2+(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}$
第二步：代入$x=2-\sqrt{3}$，利用平方差公式计算
先算$(2+\sqrt{3})x=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$
第三步：代入化简后的式子计算
原式=$1^2+1+\sqrt{3}=1+1+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简求值；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的运算技巧，解题时优先观察代数式的结构特征，灵活运用乘法公式简化运算，可有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.7
拿到本题不要直接将x代入计算，直接计算带根号的x²运算繁琐易出错。首先观察二次项系数7+4√3，可判断它是完全平方式(2+√3)²，由此可将二次项变形为[(2+√3)x]²，再结合x=2-√3，(2+√3)与(2-√3)相乘可利用平方差公式得到整数1，能大幅简化运算，后续只需计算一次项再加常数项即可得到结果。
【解析】
第一步：先化简二次项系数
∵ $7+4\sqrt{3}=2^2+2×2×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=(2+\sqrt{3})^2$
∴ 原式可变形为：
$(2+\sqrt{3})^2x^2+(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}=[(2+\sqrt{3})x]^2+(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}$
第二步：代入$x=2-\sqrt{3}$，利用平方差公式计算
先算$(2+\sqrt{3})x=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$
第三步：代入化简后的式子计算
原式=$1^2+1+\sqrt{3}=1+1+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简求值；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的运算技巧，解题时优先观察代数式的结构特征，灵活运用乘法公式简化运算，可有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.7
5.已知$a=\sqrt{5}+2$,$b=2-\sqrt{5}$,则$a^{2\,025}b^{2\,024}$的值为
$\sqrt{5}+2$
.答案
$\sqrt{5}+2$
解析
【分析】
观察所求式子是高次幂相乘的形式，首先想到逆用积的乘方公式简化计算：先计算a与b的乘积，发现a、b的结构符合平方差公式，可快速算出ab为整数；再将原式拆分为a与$a^{2024}b^{2024}$的乘积，转化为a乘$(ab)^{2024}$的形式，代入数值即可求出结果。
【解析】
第一步，计算$ab$的值，利用平方差公式：
$ab=(\sqrt{5}+2)(2-\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5})^2=4-5=-1$
第二步，逆用积的乘方公式$a^nb^n=(ab)^n$变形所求式子：
$a^{2025}b^{2024}=a· a^{2024}· b^{2024}=a· (ab)^{2024}$
第三步，代入数值计算：
将$ab=-1$、$a=\sqrt{5}+2$代入得：
原式$=(\sqrt{5}+2)× (-1)^{2024}=(\sqrt{5}+2)×1=\sqrt{5}+2$
【答案】
$\sqrt{5}+2$
【知识点】
积的乘方逆运算，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式巧算的典型题型，核心是通过逆用积的乘方公式将高次幂运算简化，结合平方差公式快速求出底数的乘积，避免了直接计算高次幂的繁琐，是二次根式运算中非常实用的技巧。
【难度系数】
0.7
观察所求式子是高次幂相乘的形式，首先想到逆用积的乘方公式简化计算：先计算a与b的乘积，发现a、b的结构符合平方差公式，可快速算出ab为整数；再将原式拆分为a与$a^{2024}b^{2024}$的乘积，转化为a乘$(ab)^{2024}$的形式，代入数值即可求出结果。
【解析】
第一步，计算$ab$的值，利用平方差公式：
$ab=(\sqrt{5}+2)(2-\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5})^2=4-5=-1$
第二步，逆用积的乘方公式$a^nb^n=(ab)^n$变形所求式子：
$a^{2025}b^{2024}=a· a^{2024}· b^{2024}=a· (ab)^{2024}$
第三步，代入数值计算：
将$ab=-1$、$a=\sqrt{5}+2$代入得：
原式$=(\sqrt{5}+2)× (-1)^{2024}=(\sqrt{5}+2)×1=\sqrt{5}+2$
【答案】
$\sqrt{5}+2$
【知识点】
积的乘方逆运算，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式巧算的典型题型，核心是通过逆用积的乘方公式将高次幂运算简化，结合平方差公式快速求出底数的乘积，避免了直接计算高次幂的繁琐，是二次根式运算中非常实用的技巧。
【难度系数】
0.7
6.计算:
(1)$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}$；
(2)$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$。
(1)$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}$；
(2)$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$。
答案
(1)$-4\sqrt{6}$ (2)$-2+2\sqrt{6}$
解析
【分析】
这两道题均为二次根式的混合运算，可结合整式乘法公式简化计算：
(1) 题是两个平方的差，既可以先分别用完全平方公式展开两个式子，再合并同类项求解；也可以直接用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$因式分解后计算，后者计算更简便。
(2) 题前半部分符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，后半部分是完全平方形式，分别用对应公式展开后合并同类项即可，注意去括号时要正确处理符号。
【解析】
(1) 我们可以用平方差公式简化计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{3}+\sqrt{2})][(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})]\\&=(-2\sqrt{2}) × 2\sqrt{3}\\&=-4\sqrt{6}\end{aligned}$
(2) 分别用平方差公式、完全平方公式展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2] - [(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2]\\&=(5 - 2) - (3 - 2\sqrt{6} + 2)\\&=3 - (5 - 2\sqrt{6})\\&=3 - 5 + 2\sqrt{6}\\&=-2 + 2\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4\sqrt{6}}$；(2) $\boldsymbol{-2+2\sqrt{6}}$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题重点考查乘法公式在二次根式运算中的应用，合理选择公式可简化计算步骤，计算时要注意完全平方的中间项符号、去括号的符号变化，避免低级错误。
【难度系数】
0.75
这两道题均为二次根式的混合运算，可结合整式乘法公式简化计算：
(1) 题是两个平方的差，既可以先分别用完全平方公式展开两个式子，再合并同类项求解；也可以直接用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$因式分解后计算，后者计算更简便。
(2) 题前半部分符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，后半部分是完全平方形式，分别用对应公式展开后合并同类项即可，注意去括号时要正确处理符号。
【解析】
(1) 我们可以用平方差公式简化计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{3}+\sqrt{2})][(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})]\\&=(-2\sqrt{2}) × 2\sqrt{3}\\&=-4\sqrt{6}\end{aligned}$
(2) 分别用平方差公式、完全平方公式展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2] - [(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2]\\&=(5 - 2) - (3 - 2\sqrt{6} + 2)\\&=3 - (5 - 2\sqrt{6})\\&=3 - 5 + 2\sqrt{6}\\&=-2 + 2\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4\sqrt{6}}$；(2) $\boldsymbol{-2+2\sqrt{6}}$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题重点考查乘法公式在二次根式运算中的应用，合理选择公式可简化计算步骤，计算时要注意完全平方的中间项符号、去括号的符号变化，避免低级错误。
【难度系数】
0.75
7.已知$a^2 - \sqrt{13}a + 1 = 0$，求$a - \frac{1}{a}$的值.
答案
$\because a ≠ 0, \therefore$ 在已知等式两边都除以 $a$, 得 $a - \sqrt{13} + \frac{1}{a} = 0, \therefore a + \frac{1}{a} = \sqrt{13}, \therefore (a - \frac{1}{a})^2 = (a + \frac{1}{a})^2 - 4 = (\sqrt{13})^2 - 4 = 13 - 4 = 9, \therefore a - \frac{1}{a} = \pm 3$
解析
【分析】
首先判断a的取值：将a=0代入已知方程，左边为1≠0，因此a≠0，可对等式两边同时除以a，将等式变形为含有$a + \frac{1}{a}$的形式；再利用完全平方公式的变形关系：$(a - \frac{1}{a})^2 = (a + \frac{1}{a})^2 - 4$，代入已知数据计算后开平方，即可得到所求代数式的值，注意正数开平方有正负两个结果。
【解析】
解：
∵$a≠0$，将等式$a^2 - \sqrt{13}a + 1 = 0$两边同时除以$a$，得：
$a - \sqrt{13} + \frac{1}{a} = 0$
整理得：$a + \frac{1}{a} = \sqrt{13}$
由完全平方公式变形可得：
$(a - \frac{1}{a})^2 = (a + \frac{1}{a})^2 - 4$
将$a + \frac{1}{a} = \sqrt{13}$代入上式得：
$(a - \frac{1}{a})^2 = (\sqrt{13})^2 - 4 = 13 - 4 = 9$
∴$a - \frac{1}{a} = ±3$
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
完全平方公式，等式的性质，二次根式运算
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题关键是通过对已知等式变形得到$a+\frac{1}{a}$的值，再灵活运用完全平方公式的变形求解，注意开平方时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
首先判断a的取值：将a=0代入已知方程，左边为1≠0，因此a≠0，可对等式两边同时除以a，将等式变形为含有$a + \frac{1}{a}$的形式；再利用完全平方公式的变形关系：$(a - \frac{1}{a})^2 = (a + \frac{1}{a})^2 - 4$，代入已知数据计算后开平方，即可得到所求代数式的值，注意正数开平方有正负两个结果。
【解析】
解：
∵$a≠0$，将等式$a^2 - \sqrt{13}a + 1 = 0$两边同时除以$a$，得：
$a - \sqrt{13} + \frac{1}{a} = 0$
整理得：$a + \frac{1}{a} = \sqrt{13}$
由完全平方公式变形可得：
$(a - \frac{1}{a})^2 = (a + \frac{1}{a})^2 - 4$
将$a + \frac{1}{a} = \sqrt{13}$代入上式得：
$(a - \frac{1}{a})^2 = (\sqrt{13})^2 - 4 = 13 - 4 = 9$
∴$a - \frac{1}{a} = ±3$
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
完全平方公式，等式的性质，二次根式运算
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题关键是通过对已知等式变形得到$a+\frac{1}{a}$的值，再灵活运用完全平方公式的变形求解，注意开平方时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
8.已知$a+b=-8$，$ab=8$，则$b\sqrt{\dfrac{a}{b}}+a\sqrt{\dfrac{b}{a}}$的值为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
$-4\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题前首先要确定a、b的符号，这是二次根式化简的前提：由a+b=-8＜0，ab=8＞0，可判断a、b均为负数。接下来利用二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{xy}}{|y|}$（$y≠0$，$xy≥0$）对所求式子的每一项进行化简，注意负数的绝对值等于它的相反数，避免出现符号错误，最后代入ab的值计算即可。
【解析】
解：
∵$a+b=-8＜0$，$ab=8＞0$，
∴$a＜0$，$b＜0$。
对原式进行化简：
$\begin{aligned}b\sqrt{\dfrac{a}{b}}+a\sqrt{\dfrac{b}{a}}&=b·\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}+a·\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}\\&=b·\dfrac{\sqrt{ab}}{|b|}+a·\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}\\&=b·\dfrac{\sqrt{ab}}{-b}+a·\dfrac{\sqrt{ab}}{-a}\\&=-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}\\&=-2\sqrt{ab}\end{aligned}$
将$ab=8$代入得：
原式$=-2\sqrt{8}=-2×2\sqrt{2}=-4\sqrt{2}$
【答案】
$-4\sqrt{2}$
【知识点】
1.二次根式的性质 2.二次根式的化简 3.代数式求值
【点评】
本题是二次根式化简求值的常见题型，解题的核心是先根据已知条件判断字母的正负性，规避二次根式化简过程中的符号错误，再结合二次根式的性质逐步化简计算即可。
【难度系数】
0.6
解题前首先要确定a、b的符号，这是二次根式化简的前提：由a+b=-8＜0，ab=8＞0，可判断a、b均为负数。接下来利用二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{xy}}{|y|}$（$y≠0$，$xy≥0$）对所求式子的每一项进行化简，注意负数的绝对值等于它的相反数，避免出现符号错误，最后代入ab的值计算即可。
【解析】
解：
∵$a+b=-8＜0$，$ab=8＞0$，
∴$a＜0$，$b＜0$。
对原式进行化简：
$\begin{aligned}b\sqrt{\dfrac{a}{b}}+a\sqrt{\dfrac{b}{a}}&=b·\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}+a·\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}\\&=b·\dfrac{\sqrt{ab}}{|b|}+a·\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}\\&=b·\dfrac{\sqrt{ab}}{-b}+a·\dfrac{\sqrt{ab}}{-a}\\&=-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}\\&=-2\sqrt{ab}\end{aligned}$
将$ab=8$代入得：
原式$=-2\sqrt{8}=-2×2\sqrt{2}=-4\sqrt{2}$
【答案】
$-4\sqrt{2}$
【知识点】
1.二次根式的性质 2.二次根式的化简 3.代数式求值
【点评】
本题是二次根式化简求值的常见题型，解题的核心是先根据已知条件判断字母的正负性，规避二次根式化简过程中的符号错误，再结合二次根式的性质逐步化简计算即可。
【难度系数】
0.6
9.已知 $x=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})$，求下列各式的值：
(1)$x^2 - xy + y^2$；
(2)$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$。
(1)$x^2 - xy + y^2$；
(2)$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$。
答案
$x + y = \frac{1}{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \frac{1}{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \sqrt{5}, xy = \frac{1}{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3}) × \frac{1}{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \frac{1}{2}$
(1)原式$=(x + y)^2 - 3xy = (\sqrt{5})^2 - \frac{3}{2} = 5 - \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$
(2)原式$=\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{(x + y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{5 - 1}{\frac{1}{2}} = 8$
(1)原式$=(x + y)^2 - 3xy = (\sqrt{5})^2 - \frac{3}{2} = 5 - \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$
(2)原式$=\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{(x + y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{5 - 1}{\frac{1}{2}} = 8$
解析
【分析】
观察已知的x、y为共轭二次根式，若直接将x、y代入所求式子计算，运算量较大容易出错。因此优先计算x+y与xy的值，再利用完全平方公式将所求的代数式变形为含有x+y和xy的形式，最后整体代入数值计算即可，能大幅简化运算过程。
【解析】
首先计算x+y与xy的值：
$x + y = \frac{1}{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \frac{1}{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \sqrt{5}$
$xy = \frac{1}{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3}) × \frac{1}{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \frac{1}{4}×[(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2]=\frac{1}{2}$
(1) 对$x^2 - xy + y^2$变形：
由完全平方公式可得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，因此
原式$=(x+y)^2 - 2xy - xy=(x+y)^2 - 3xy$
代入$x+y=\sqrt{5}$，$xy=\frac{1}{2}$得：
$=(\sqrt{5})^2 - 3×\frac{1}{2}=5 - \frac{3}{2}=\frac{7}{2}$
(2) 对$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$变形：
先通分得原式$=\frac{x^2 + y^2}{xy}$，再将$x^2+y^2$替换为$(x+y)^2 - 2xy$，得：
原式$=\frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy}$
代入数值计算：
$=\frac{(\sqrt{5})^2 - 2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{5 - 1}{\frac{1}{2}}=8$
【答案】
(1)$\frac{7}{2}$；(2)$8$
【知识点】
二次根式的运算，完全平方公式，分式化简
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，无需直接代入x、y的数值计算，通过先求和与积再变形代入的方式，能有效降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
观察已知的x、y为共轭二次根式，若直接将x、y代入所求式子计算，运算量较大容易出错。因此优先计算x+y与xy的值，再利用完全平方公式将所求的代数式变形为含有x+y和xy的形式，最后整体代入数值计算即可，能大幅简化运算过程。
【解析】
首先计算x+y与xy的值：
$x + y = \frac{1}{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \frac{1}{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \sqrt{5}$
$xy = \frac{1}{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3}) × \frac{1}{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \frac{1}{4}×[(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2]=\frac{1}{2}$
(1) 对$x^2 - xy + y^2$变形：
由完全平方公式可得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，因此
原式$=(x+y)^2 - 2xy - xy=(x+y)^2 - 3xy$
代入$x+y=\sqrt{5}$，$xy=\frac{1}{2}$得：
$=(\sqrt{5})^2 - 3×\frac{1}{2}=5 - \frac{3}{2}=\frac{7}{2}$
(2) 对$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$变形：
先通分得原式$=\frac{x^2 + y^2}{xy}$，再将$x^2+y^2$替换为$(x+y)^2 - 2xy$，得：
原式$=\frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy}$
代入数值计算：
$=\frac{(\sqrt{5})^2 - 2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{5 - 1}{\frac{1}{2}}=8$
【答案】
(1)$\frac{7}{2}$；(2)$8$
【知识点】
二次根式的运算，完全平方公式，分式化简
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，无需直接代入x、y的数值计算，通过先求和与积再变形代入的方式，能有效降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
