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10.已知$a^2 + b^2 - 4a - 2b + 5 = 0$，求$\dfrac{\sqrt{a} + b}{3b - 2\sqrt{a}}$的值.
答案
$\because a^2 + b^2 - 4a - 2b + 5 = 0, \therefore (a - 2)^2 + (b - 1)^2 = 0, \therefore a = 2, b = 1, \therefore \frac{\sqrt{a} + b}{3b - 2\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{3 - 2\sqrt{2}} = 7 + 5\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的结构，等式左边是含a、b的二次项、一次项和常数项，可通过配方法将其变形为两个完全平方式的和，再利用平方数的非负性，即几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，求出a、b的值；最后将a、b代入所求分式，通过分母有理化计算得到最终结果。
【解析】
解：对已知等式进行配方：
∵$a^2 + b^2 - 4a - 2b + 5 = 0$，
将常数项5拆分为4+1，分组得：
$(a^2 - 4a + 4) + (b^2 - 2b + 1) = 0$，
即$(a - 2)^2 + (b - 1)^2 = 0$，
∵平方数具有非负性，即$(a-2)^2≥0$，$(b-1)^2≥0$，
∴只有当$a-2=0$且$b-1=0$时，等式成立，
解得$a=2$，$b=1$。
将$a=2$，$b=1$代入$\dfrac{\sqrt{a} + b}{3b - 2\sqrt{a}}$得：
原式$=\dfrac{\sqrt{2} + 1}{3×1 - 2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{3-2\sqrt{2}}$，
对分母进行有理化，分子分母同乘分母的有理化因式$3+2\sqrt{2}$：
$=\dfrac{(\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}$
$=\dfrac{3\sqrt{2} + (\sqrt{2})×2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2}$
$=\dfrac{3\sqrt{2} + 4 + 3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8}$
$=7 + 5\sqrt{2}$
【答案】
$7+5\sqrt{2}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；二次根式的运算
【点评】
本题是二次根式运算的典型综合题，解题核心是先通过配方求出字母的值，再代入化简计算，需要熟练掌握完全平方公式和分母有理化的方法，计算时注意符号和乘法公式的正确使用。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察已知等式的结构，等式左边是含a、b的二次项、一次项和常数项，可通过配方法将其变形为两个完全平方式的和，再利用平方数的非负性，即几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，求出a、b的值；最后将a、b代入所求分式，通过分母有理化计算得到最终结果。
【解析】
解：对已知等式进行配方：
∵$a^2 + b^2 - 4a - 2b + 5 = 0$，
将常数项5拆分为4+1，分组得：
$(a^2 - 4a + 4) + (b^2 - 2b + 1) = 0$，
即$(a - 2)^2 + (b - 1)^2 = 0$，
∵平方数具有非负性，即$(a-2)^2≥0$，$(b-1)^2≥0$，
∴只有当$a-2=0$且$b-1=0$时，等式成立，
解得$a=2$，$b=1$。
将$a=2$，$b=1$代入$\dfrac{\sqrt{a} + b}{3b - 2\sqrt{a}}$得：
原式$=\dfrac{\sqrt{2} + 1}{3×1 - 2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{3-2\sqrt{2}}$，
对分母进行有理化，分子分母同乘分母的有理化因式$3+2\sqrt{2}$：
$=\dfrac{(\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}$
$=\dfrac{3\sqrt{2} + (\sqrt{2})×2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2}$
$=\dfrac{3\sqrt{2} + 4 + 3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8}$
$=7 + 5\sqrt{2}$
【答案】
$7+5\sqrt{2}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；二次根式的运算
【点评】
本题是二次根式运算的典型综合题，解题核心是先通过配方求出字母的值，再代入化简计算，需要熟练掌握完全平方公式和分母有理化的方法，计算时注意符号和乘法公式的正确使用。
【难度系数】
0.6
11.已知 $ x = \frac{1}{2+\sqrt{3}}, y = \frac{1}{2-\sqrt{3}} $，求代数式 $ x^2 - 2xy + y^2 $ 的值.
答案
$\because x = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}, y = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}, \therefore x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 = [(2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3})]^2 = (-2\sqrt{3})^2 = 12$
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，$x^2 - 2xy + y^2$符合完全平方差公式的形式，可先因式分解为$(x-y)^2$，能大幅简化运算，避免分别计算各项的繁琐。接下来处理已知的x、y，二者都是分母含二次根式的分式，需要先通过分母有理化化简x和y的取值，最后将化简后的x、y代入因式分解后的式子计算即可。
【解析】
第一步，先对x、y进行分母有理化：
$x = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2 - \sqrt{3}$
$y = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2 + \sqrt{3}$
第二步，对所求代数式因式分解：
$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$
第三步，代入化简后的x、y计算：
原式$=[(2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3})]^2 = (-2\sqrt{3})^2 = 4×3 = 12$
【答案】
$12$
【知识点】
1. 分母有理化
2. 完全平方公式
3. 二次根式运算
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心解题思路是“先化简再计算”，一方面利用乘法公式对所求代数式因式分解，另一方面对已知的分式进行分母有理化，二者结合能有效降低运算量，减少计算错误，这类解题技巧在二次根式的化简求值类题目中非常常用。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式的结构，$x^2 - 2xy + y^2$符合完全平方差公式的形式，可先因式分解为$(x-y)^2$，能大幅简化运算，避免分别计算各项的繁琐。接下来处理已知的x、y，二者都是分母含二次根式的分式，需要先通过分母有理化化简x和y的取值，最后将化简后的x、y代入因式分解后的式子计算即可。
【解析】
第一步，先对x、y进行分母有理化：
$x = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2 - \sqrt{3}$
$y = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2 + \sqrt{3}$
第二步，对所求代数式因式分解：
$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$
第三步，代入化简后的x、y计算：
原式$=[(2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3})]^2 = (-2\sqrt{3})^2 = 4×3 = 12$
【答案】
$12$
【知识点】
1. 分母有理化
2. 完全平方公式
3. 二次根式运算
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心解题思路是“先化简再计算”，一方面利用乘法公式对所求代数式因式分解，另一方面对已知的分式进行分母有理化，二者结合能有效降低运算量，减少计算错误，这类解题技巧在二次根式的化简求值类题目中非常常用。
【难度系数】
0.7
12.已知$\sqrt{x}=\frac{1}{2-\sqrt{3}},\sqrt{y}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$,求$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$的值.
答案
原式$=\frac{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}, \because \sqrt{x} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}, \sqrt{y} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}, \therefore$ 原式$= 2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4$
解析
【分析】
观察所求代数式$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$，分子$x-y$可改写为$(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2$，符合平方差公式的结构，因此可以先对分子因式分解，约分后将原式化简为更简便的形式，避免直接计算$x$、$y$的复杂运算。化简后可得原式等于$\sqrt{x}+\sqrt{y}$，接下来只需将已知的$\sqrt{x}$和$\sqrt{y}$进行分母有理化，再代入相加即可得到结果，分母有理化时只需给分子分母同乘分母的有理化因式，即可将分母化为整数。
【解析】
第一步：化简所求代数式
$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解分子：
$=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$
$\sqrt{x}≠\sqrt{y}$，满足约分条件，约分得：
$=\sqrt{x}+\sqrt{y}$
第二步：对已知的$\sqrt{x}$、$\sqrt{y}$分母有理化
$\sqrt{x}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
$\sqrt{y}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1×(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
第三步：代入化简后的代数式计算
原式$=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4$
【答案】
$4$
【知识点】
平方差公式、分母有理化、二次根式化简求值
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心解题技巧是先化简所求代数式再代入求值，可有效减少计算量、降低出错概率，解题时需要熟练掌握因式分解在二次根式运算中的应用，以及分母有理化的操作方法。
【难度系数】
0.7
观察所求代数式$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$，分子$x-y$可改写为$(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2$，符合平方差公式的结构，因此可以先对分子因式分解，约分后将原式化简为更简便的形式，避免直接计算$x$、$y$的复杂运算。化简后可得原式等于$\sqrt{x}+\sqrt{y}$，接下来只需将已知的$\sqrt{x}$和$\sqrt{y}$进行分母有理化，再代入相加即可得到结果，分母有理化时只需给分子分母同乘分母的有理化因式，即可将分母化为整数。
【解析】
第一步：化简所求代数式
$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解分子：
$=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$
$\sqrt{x}≠\sqrt{y}$，满足约分条件，约分得：
$=\sqrt{x}+\sqrt{y}$
第二步：对已知的$\sqrt{x}$、$\sqrt{y}$分母有理化
$\sqrt{x}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
$\sqrt{y}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1×(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
第三步：代入化简后的代数式计算
原式$=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4$
【答案】
$4$
【知识点】
平方差公式、分母有理化、二次根式化简求值
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心解题技巧是先化简所求代数式再代入求值，可有效减少计算量、降低出错概率，解题时需要熟练掌握因式分解在二次根式运算中的应用，以及分母有理化的操作方法。
【难度系数】
0.7
13.已知 $x=\sqrt{5}+3$，求代数式 $x^3 - x^2 - 26x + 5$ 的值.
答案
$\because x = \sqrt{5} + 3, \therefore x^3 - x^2 - 26x + 5 = x^3 - x^2 - 26x + 26 - 26 + 5 = x^2(x - 1) - 26(x - 1) - 21 = (x - 1)(x^2 - 26) - 21 = (\sqrt{5} + 2)[(\sqrt{5} + 3)^2 - 26] - 21 = (\sqrt{5} + 2)(6\sqrt{5} - 12) - 21 = 6 - 21 = -15$
解析
【分析】
如果直接将$x=\sqrt{5}+3$代入三次代数式计算，运算量较大，容易出错。因此我们优先考虑先对所求代数式进行因式分解、化简，通过分组提公因式的方式将高次式降次，再代入x的值计算，能大幅简化运算过程。
【解析】
已知$x=\sqrt{5}+3$，先对代数式变形化简：
$\begin{aligned}x^3 - x^2 - 26x + 5 &= x^3 - x^2 - 26x + 26 - 21 \\&= x^2(x - 1) - 26(x - 1) - 21 \\&= (x - 1)(x^2 - 26) - 21\end{aligned}$
将$x=\sqrt{5}+3$代入化简后的式子：
首先计算$x-1=\sqrt{5}+3-1=\sqrt{5}+2$，
再计算$x^2-26=(\sqrt{5}+3)^2 - 26=(5 + 6\sqrt{5} + 9) - 26=6\sqrt{5} - 12$，
代入得：
$\begin{aligned}原式&= (\sqrt{5}+2)(6\sqrt{5} - 12) - 21 \\&= (\sqrt{5}+2)×6×(\sqrt{5} - 2) - 21 \\&=6×[(\sqrt{5})^2 - 2^2] - 21 \\&=6×(5 - 4) - 21 \\&=6 - 21 \\&=-15\end{aligned}$
【答案】
$-15$
【知识点】
因式分解、二次根式运算、代数式化简求值
【点评】
本题考查二次根式背景下的代数式求值技巧，核心是通过因式分解对高次代数式降次，避免直接代入高次项的复杂计算，是二次根式运算中的典型技巧题，需要熟练掌握分组分解因式和平方差公式的灵活运用。
【难度系数】
0.6
如果直接将$x=\sqrt{5}+3$代入三次代数式计算，运算量较大，容易出错。因此我们优先考虑先对所求代数式进行因式分解、化简，通过分组提公因式的方式将高次式降次，再代入x的值计算，能大幅简化运算过程。
【解析】
已知$x=\sqrt{5}+3$，先对代数式变形化简：
$\begin{aligned}x^3 - x^2 - 26x + 5 &= x^3 - x^2 - 26x + 26 - 21 \\&= x^2(x - 1) - 26(x - 1) - 21 \\&= (x - 1)(x^2 - 26) - 21\end{aligned}$
将$x=\sqrt{5}+3$代入化简后的式子：
首先计算$x-1=\sqrt{5}+3-1=\sqrt{5}+2$，
再计算$x^2-26=(\sqrt{5}+3)^2 - 26=(5 + 6\sqrt{5} + 9) - 26=6\sqrt{5} - 12$，
代入得：
$\begin{aligned}原式&= (\sqrt{5}+2)(6\sqrt{5} - 12) - 21 \\&= (\sqrt{5}+2)×6×(\sqrt{5} - 2) - 21 \\&=6×[(\sqrt{5})^2 - 2^2] - 21 \\&=6×(5 - 4) - 21 \\&=6 - 21 \\&=-15\end{aligned}$
【答案】
$-15$
【知识点】
因式分解、二次根式运算、代数式化简求值
【点评】
本题考查二次根式背景下的代数式求值技巧，核心是通过因式分解对高次代数式降次，避免直接代入高次项的复杂计算，是二次根式运算中的典型技巧题，需要熟练掌握分组分解因式和平方差公式的灵活运用。
【难度系数】
0.6
