23.如图,点M,N分别代表两个村庄,直线l代表两个村庄之间的一条燃气管道,根据村民们对燃气的需求,计划在管道l上某处修建一座燃气管理站,向两个村庄接入管道.

(1)若计划修建一个离村庄M最近的燃气管理站,请画出燃气管理站的位置(用点P表示),这样做的依据是;
(2)若考虑到管道铺设费用问题,希望燃气管理站的位置到村庄M、村庄N的距离之和最小,画出燃气管理站的位置(用点Q表示),这样做的依据是.

23.解:(1)如图,点 P 即为所求.

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
(2)如图所示,点 Q 即为所求.

两点之间,线段最短

【分析】
(1)要在直线l上找到距离点M最近的点，需结合点到直线的距离性质思考：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段长度最短，因此只需过点M作直线l的垂线，垂足就是所求的管理站位置。
(2)要找到直线l上到M、N两点距离之和最小的点，结合线段的性质思考：两点之间的所有连线中线段最短，因此直接连接M、N两点，线段与直线l的交点就是所求位置，此时该点到M、N的距离之和等于线段MN的长度，是最小值。
【解析】
(1) 作图步骤：使三角板的一条直角边与直线l重合，平移三角板让另一条直角边经过点M，沿该直角边画垂线，与直线l的交点即为点P。
依据：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
(2) 作图步骤：用直尺连接点M和点N，线段MN与直线l的交点即为点Q。
依据：两点之间，线段最短。
【答案】
(1) 点P位置见图，依据：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
(2) 点Q位置见图，依据：两点之间，线段最短。
【知识点】
垂线段的性质；线段的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何最短路径的基础应用，需要同学们区分点到直线的最短距离、两点间最短距离的适用场景，掌握基础几何作图方法，属于几何应用类基础题。
【难度系数】
0.8

24.已知O是直线AB上一点，OC⊥OD，垂足为O，OE平分∠BOC。
(1)如图①，若∠AOC=25°，求∠DOE的度数；
(2)将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，猜想∠AOC与∠DOE之间的数量关系，并说明理由。

24.解:(1)
∵OC⊥OD，
∴∠COE+∠DOE=90°.
∵∠AOC=25°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−25°=155°.
又OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×155°=77.5°.
∴∠DOE=90°−∠COE=90°−77.5°=12.5°.
(2)∠AOC=2∠DOE.理由如下：
∵OE平分∠BOC，
∴设∠COE=∠BOE=α，
∴∠BOC=2α.
∴ ∠AOC = 180° − ∠BOC = 180°−2α.
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°.
∴∠DOE = ∠COD − ∠COE = 90°−α.
∵∠AOC=180°−2α=2(90°−α).
∴∠AOC=2∠DOE.

【分析】
(1) 首先利用平角的性质，由直线AB上的点O可得∠AOC与∠BOC互补，已知∠AOC的度数即可求出∠BOC；再根据角平分线的定义，由OE平分∠BOC求出∠COE的度数；最后结合OC⊥OD得到∠COD=90°，用∠COD减去∠COE即可算出∠DOE的度数。
(2) 要推导∠AOC和∠DOE的数量关系，可先借助角平分线的性质设参数，设∠COE=∠BOE=α，分别用含α的代数式表示出∠AOC和∠DOE，整理两个代数式即可得出二者的数量关系。
【解析】
(1)
∵OC⊥OD，
∴∠COE+∠DOE=90°.
∵∠AOC=25°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−25°=155°.
又OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×155°=77.5°.
∴∠DOE=90°−∠COE=90°−77.5°=12.5°.
(2)∠AOC=2∠DOE.理由如下：
∵OE平分∠BOC，
∴设∠COE=∠BOE=α，
∴∠BOC=2α.
∴ ∠AOC = 180° − ∠BOC = 180°−2α.
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°.
∴∠DOE = ∠COD − ∠COE = 90°−α.
∵∠AOC=180°−2α=2(90°−α)，
∴∠AOC=2∠DOE.
【答案】
(1) $\boldsymbol{12.5°}$；(2) $\boldsymbol{∠ AOC=2∠ DOE}$
【知识点】
角平分线的定义，垂直的性质，平角的定义
【点评】
本题属于角的运算的基础综合题，结合了角平分线、垂直、平角三类核心性质，解题关键是理清各角之间的和差关系，第二问用设参数的方法推导数量关系，逻辑更清晰，也能减少计算错误。
【难度系数】
0.7