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25. 问题情境:如图①,AB//CD,点 E 在直线 AB 上,点 F 在直线 CD 上,点 P 在直线 AB,CD 之间,连接 PE,PF.勤奋小组的同学们对该图形进行了研究.
(1)观察猜想:小明猜想∠AEP+∠CFP=∠EPF,他过点 P 作 PQ//AB,如图②,请帮他完成证明过程;
(2)深入探究:小华在帮助小明完善解题过程时,发现用同样的辅助线还可以得到∠BEP,∠EPF,∠PFD 之间的关系,请写出这三个角度间满足的关系并完成证明;
(3)问题解决:如图③是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面,绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为 A,B,C,D,E,F,G,并连接 AB,BC,CD,DE,EF,FG.绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线 AB 与天玑、天璇所在的直线 EF 几乎平行(如图④)(因为距离地球很远,所以近似看作 AB//EF).结合上面的探究过程,若∠HBC=36°,∠BCD=168°,∠DEF=103°,则∠CDE=
(1)观察猜想:小明猜想∠AEP+∠CFP=∠EPF,他过点 P 作 PQ//AB,如图②,请帮他完成证明过程;
(2)深入探究:小华在帮助小明完善解题过程时,发现用同样的辅助线还可以得到∠BEP,∠EPF,∠PFD 之间的关系,请写出这三个角度间满足的关系并完成证明;
(3)问题解决:如图③是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面,绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为 A,B,C,D,E,F,G,并连接 AB,BC,CD,DE,EF,FG.绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线 AB 与天玑、天璇所在的直线 EF 几乎平行(如图④)(因为距离地球很远,所以近似看作 AB//EF).结合上面的探究过程,若∠HBC=36°,∠BCD=168°,∠DEF=103°,则∠CDE=
127°
.答案
25.(1)证明:
∵AB//CD,AB//PQ,
∴PQ//CD.
∴∠AEP=∠EPQ,∠CFP=∠FPQ.
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP.
(2)解:∠BEP+∠EPF+∠PFD=360°.
证明:
∵AB//CD,AB//PQ,
∴PQ//CD.
∴∠BEP+∠EPQ=180°,
∠PFD+∠FPQ=180°.
∴∠BEP+∠EPF+∠PFD=∠BEP+∠EPQ+∠FPQ+∠DFP=360°.
(3)127°
∵AB//CD,AB//PQ,
∴PQ//CD.
∴∠AEP=∠EPQ,∠CFP=∠FPQ.
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP.
(2)解:∠BEP+∠EPF+∠PFD=360°.
证明:
∵AB//CD,AB//PQ,
∴PQ//CD.
∴∠BEP+∠EPQ=180°,
∠PFD+∠FPQ=180°.
∴∠BEP+∠EPF+∠PFD=∠BEP+∠EPQ+∠FPQ+∠DFP=360°.
(3)127°
解析
【分析】
(1) 要证明∠AEP+∠CFP=∠EPF，已知AB//CD，过P作PQ//AB，首先根据平行公理的推论可得PQ//CD，再利用两直线平行内错角相等的性质，将∠AEP转化为∠EPQ，∠CFP转化为∠FPQ，两角相加即可得到结论。
(2) 探究∠BEP、∠EPF、∠PFD的关系，同样利用PQ//AB//CD，根据两直线平行同旁内角互补，可得∠BEP与∠EPQ互补、∠PFD与∠FPQ互补，两个等式相加整理即可得到三个角的数量关系。
(3) 本题是前两问拐点模型的实际应用，已知AB//EF，要求∠CDE，可分别过点C、D作AB的平行线，根据平行公理的推论可得所作的两条线与AB、EF都平行，再结合平行线的性质，利用已知角度逐步推导即可求出∠CDE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵AB//CD，AB//PQ，
∴PQ//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠AEP=∠EPQ（两直线平行，内错角相等），∠CFP=∠FPQ（两直线平行，内错角相等），
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP。
(2) 三个角满足的关系：$\boldsymbol{∠BEP+∠EPF+∠PFD=360°}$，证明如下：
∵AB//CD，AB//PQ，
∴PQ//CD，
∴∠BEP+∠EPQ=180°（两直线平行，同旁内角互补），∠PFD+∠FPQ=180°（两直线平行，同旁内角互补），
将两个等式相加得：$∠ BEP+∠ EPQ+∠ FPQ+∠ PFD=180°+180°=360°$，
又
∵$∠ EPF=∠ EPQ+∠ FPQ$，
∴$∠ BEP+∠ EPF+∠ PFD=360°$。
(3) 解：过点C作$CM// AB$，过点D作$DN// AB$，
∵$AB// EF$，
∴$AB// CM// DN// EF$，
∵$CM// AB$，
∴$∠ HBC=∠ BCM=36°$（两直线平行，内错角相等），
∵$∠ BCD=168°$，
∴$∠ DCM=∠ BCD - ∠ BCM=168°-36°=132°$，
∵$CM// DN$，
∴$∠ DCM + ∠ CDN=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴$∠ CDN=180°-132°=48°$，
∵$DN// EF$，
∴$∠ DEF + ∠ EDN=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
已知$∠ DEF=103°$，
∴$∠ EDN=180°-103°=77°$，
∴$∠ CDE=∠ CDN + ∠ EDN=48°+77°=127°$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $∠ BEP+∠ EPF+∠ PFD=360°$，证明见解析；
(3) $\boldsymbol{127°}$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 平行公理推论
3. 角度和差计算
【点评】
本题围绕平行线的拐点模型展开，从基础证明到拓展探究再到实际应用，层层递进，核心解题方法是在拐点处作平行线，将折线角度问题转化为平行线的内错角、同旁内角问题求解，能有效考察对平行线性质的掌握程度和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明∠AEP+∠CFP=∠EPF，已知AB//CD，过P作PQ//AB，首先根据平行公理的推论可得PQ//CD，再利用两直线平行内错角相等的性质，将∠AEP转化为∠EPQ，∠CFP转化为∠FPQ，两角相加即可得到结论。
(2) 探究∠BEP、∠EPF、∠PFD的关系，同样利用PQ//AB//CD，根据两直线平行同旁内角互补，可得∠BEP与∠EPQ互补、∠PFD与∠FPQ互补，两个等式相加整理即可得到三个角的数量关系。
(3) 本题是前两问拐点模型的实际应用，已知AB//EF，要求∠CDE，可分别过点C、D作AB的平行线，根据平行公理的推论可得所作的两条线与AB、EF都平行，再结合平行线的性质，利用已知角度逐步推导即可求出∠CDE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵AB//CD，AB//PQ，
∴PQ//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠AEP=∠EPQ（两直线平行，内错角相等），∠CFP=∠FPQ（两直线平行，内错角相等），
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP。
(2) 三个角满足的关系：$\boldsymbol{∠BEP+∠EPF+∠PFD=360°}$，证明如下：
∵AB//CD，AB//PQ，
∴PQ//CD，
∴∠BEP+∠EPQ=180°（两直线平行，同旁内角互补），∠PFD+∠FPQ=180°（两直线平行，同旁内角互补），
将两个等式相加得：$∠ BEP+∠ EPQ+∠ FPQ+∠ PFD=180°+180°=360°$，
又
∵$∠ EPF=∠ EPQ+∠ FPQ$，
∴$∠ BEP+∠ EPF+∠ PFD=360°$。
(3) 解：过点C作$CM// AB$，过点D作$DN// AB$，
∵$AB// EF$，
∴$AB// CM// DN// EF$，
∵$CM// AB$，
∴$∠ HBC=∠ BCM=36°$（两直线平行，内错角相等），
∵$∠ BCD=168°$，
∴$∠ DCM=∠ BCD - ∠ BCM=168°-36°=132°$，
∵$CM// DN$，
∴$∠ DCM + ∠ CDN=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴$∠ CDN=180°-132°=48°$，
∵$DN// EF$，
∴$∠ DEF + ∠ EDN=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
已知$∠ DEF=103°$，
∴$∠ EDN=180°-103°=77°$，
∴$∠ CDE=∠ CDN + ∠ EDN=48°+77°=127°$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $∠ BEP+∠ EPF+∠ PFD=360°$，证明见解析；
(3) $\boldsymbol{127°}$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 平行公理推论
3. 角度和差计算
【点评】
本题围绕平行线的拐点模型展开，从基础证明到拓展探究再到实际应用，层层递进，核心解题方法是在拐点处作平行线，将折线角度问题转化为平行线的内错角、同旁内角问题求解，能有效考察对平行线性质的掌握程度和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.65
