1. 下列根式中，最简二次根式是()

A.$\sqrt{\dfrac{x}{2}}$
B.$\sqrt{x^2+y^2}$
C.$\sqrt{200}$
D.$\sqrt{xy^2}$

B

根据最简二次根式的定义：1.被开方数的因数是整数，因式是整式（不含分母）；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断：
选项A：$\sqrt{\frac{x}{2}}$的被开方数含分母，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{x^2+y^2}$的被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{200}=\sqrt{100×2}=10\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数100，不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{xy^2}=|y|\sqrt{x}$，被开方数含能开得尽方的因式$y^2$，不是最简二次根式。

2. 下列函数关系式:①$y=2x+1$；②$y=\frac{1}{x}$；③$y=\frac{x+1}{2}-\frac{1}{2}$；④$s=60t$；⑤$y=100-25x$。其中，表示正比例函数的有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数，逐个分析：
1. ①$y=2x+1$，存在常数项1，是一次函数，不是正比例函数；
2. ②$y=\frac{1}{x}$，是反比例函数，不符合正比例函数形式；
3. ③化简得$y=\frac{x+1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x$，符合$y=kx$的形式，是正比例函数；
4. ④$s=60t$，符合$y=kx$的形式，是正比例函数；
5. ⑤$y=100-25x$，存在常数项100，是一次函数，不是正比例函数。
综上，正比例函数共2个。

3. 下列二次根式中$x$的取值范围是$x≥3$的是()

A.$\sqrt{3-x}$
B.$\sqrt{6+2x}$
C.$\sqrt{2x-6}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{x-3}}$

C

根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，若根式内含有分式还需满足分母不为0，分别计算各选项的x取值范围：
1. 选项A：由$3-x\ge0$，解得$x\le3$，不符合要求；
2. 选项B：由$6+2x\ge0$，解得$x\ge-3$，不符合要求；
3. 选项C：由$2x-6\ge0$，解得$x\ge3$，符合要求；
4. 选项D：由$\frac{1}{x-3}＞0$，解得$x＞3$，不符合要求。
综上，取值范围是$x\ge3$的是选项C。

4. 已知点$(-2,y_1),(-1,y_2),(1,y_3)$都在直线$y=-\dfrac{1}{3}x+b$上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是()

A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＜y_2＜y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_1＞y_3＞y_2$

A

对于直线$y=-\dfrac{1}{3}x+b$，其斜率$k=-\dfrac{1}{3}＜0$，根据一次函数的性质，$y$随$x$的增大而减小。
已知三个点的横坐标分别为$-2$、$-1$、$1$，比较得$-2＜-1＜1$，因此对应的函数值满足$y_1＞y_2＞y_3$。

5. 如图，在平面直角坐标系中，长为2，宽为1的矩形ABCD的边上有一动点P沿A→B→C→D→A运动一周，则点P到x轴的距离s
与点P走过的路程m之间的函数关系用图象表示大致是()

解：
由图可得矩形顶点坐标为$A(1,2)$，$B(3,2)$，$C(3,3)$，$D(1,3)$，分四段分析运动过程：
1. 当点$P$沿$A\to B$运动时，$0≤ m≤2$，点$P$纵坐标恒为2，因此点$P$到$x$轴的距离$s=2$，对应图象为平行于$m$轴的水平线段；
2. 当点$P$沿$B\to C$运动时，$2＜ m≤3$，点$P$纵坐标从2匀速增大到3，因此$s$从2匀速增大到3，对应图象为上升线段；
3. 当点$P$沿$C\to D$运动时，$3＜ m≤5$，点$P$纵坐标恒为3，因此$s=3$，对应图象为平行于$m$轴的水平线段；
4. 当点$P$沿$D\to A$运动时，$5＜ m≤6$，点$P$纵坐标从3匀速减小到2，因此$s$从3匀速减小到2，对应图象为下降线段。
综上，符合该变化规律的是选项A。
答：选A。

6. 若最简二次根式$\sqrt{2023 - m}$与$\sqrt{2}$是同类二次根式，则$m=$。

解：
∵最简二次根式$\sqrt{2023 - m}$与$\sqrt{2}$是同类二次根式，
∴它们的被开方数相等，即$2023 - m = 2$，
解得$m = 2021$。

7. 当$k＜0$时,函数$y=-kx-1$的图象不经过第象限.

二

解：
∵ k ＜ 0，
∴ -k ＞ 0，
∴ 一次函数y=-kx-1的斜率大于0，函数图象与y轴交于点(0,-1)，交点在y轴负半轴上，
∴ 该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。

8. 已知$y=\sqrt{x-5}+2\sqrt{5-x}+6$，则$(x-y)^{2026}=$

解：
由二次根式有意义的条件可得：
$\begin{cases}x-5≥0 \\5-x≥0\end{cases}$
解得$x=5$。
将$x=5$代入$y=\sqrt{x-5}+2\sqrt{5-x}+6$，得$y=0+0+6=6$。
所以$x-y=5-6=-1$，
则$(x-y)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。

9. 实数$a,b,c$在数轴上的对应点如图所示，化简$\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}-|a+b-c|=$。

$\boldsymbol{2a - b - c}$

解：由数轴可知，$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，且$|a|＞|b|＞|c|$，
因此可得：$b＜0$，$a-b＜0$，$a+b-c＜0$。
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简：
$\begin{aligned}\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}-|a+b-c|&=|b|-|a-b|-|a+b-c|\\&=-b-(b-a)-[-(a+b-c)]\\&=-b -b +a +a +b -c\\&=2a - b - c\end{aligned}$
最终

10. 如图，一次函数$y=-\dfrac{3}{4}x+3$的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D，E分别在线段AB，AO上，连接DE，将$△ ADE$沿DE折叠，点A的对应点C恰好在y轴上，且CD平分$∠ BCE$，则点D的坐标是。

解：
1. 求点A、B的坐标：
在一次函数$y=-\dfrac{3}{4}x+3$中，
令$y=0$，得$0=-\dfrac{3}{4}x+3$，解得$x=4$，即$A(4,0)$；
令$x=0$，得$y=3$，即$B(0,3)$。
由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
2. 利用折叠和角平分线性质推导角度关系：
由折叠性质得$△ ADE ≌ △ CDE$，因此$AD=CD$，$∠ DCE=∠ A$。
已知$CD$平分$∠ BCE$，故$∠ BCD=∠ DCE$，可得$∠ BCD=∠ DCE=∠ A$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ A+∠ CBD=90°$，因此在$△ BCD$中：
$∠ BDC=180°-∠ BCD-∠ CBD=180°-∠ A-∠ CBD=90°$，即$CD⊥ AB$。
3. 利用相似三角形列方程求解：
$\because ∠ BDC=∠ BOA=90°$，$∠ B$为公共角，
$\therefore △ BDC ∽ △ BOA$，得$\dfrac{CD}{OA}=\dfrac{BD}{OB}$。
设$AD=CD=x$，则$BD=AB-AD=5-x$，代入得：
$\dfrac{x}{4}=\dfrac{5-x}{3}$
解得$x=\dfrac{20}{7}$，即$AD=\dfrac{20}{7}$。
4. 求点D的坐标：
设$D(x,-\dfrac{3}{4}x+3)$，由$AD=\dfrac{20}{7}$得：
$\sqrt{(x-4)^2+(-\dfrac{3}{4}x+3)^2}=\dfrac{20}{7}$
化简得$(x-4)^2·\dfrac{25}{16}=\dfrac{400}{49}$，解得$x=\dfrac{12}{7}$，
代入函数解析式得$y=-\dfrac{3}{4}×\dfrac{12}{7}+3=\dfrac{12}{7}$。
点D的坐标是$\boldsymbol{(\dfrac{12}{7},\dfrac{12}{7})}$。