11. 已知一次函数$y=(1-a)x+4a-1$.
(1)若函数图象经过原点,求$a$的值;
(2)若函数图象经过第一、二、四象限,求$a$的取值范围;
(3)若函数图象与$y$轴交于正半轴,且$y$随$x$的增大而增大,求$a$的取值范围.

解：
(1) ∵函数图象经过原点$(0,0)$，
将$x=0$，$y=0$代入解析式得：$4a-1=0$，且一次项系数$1-a≠0$，
解得$a=\frac{1}{4}$，此时$1-a=\frac{3}{4}≠0$，符合一次函数定义。
即$a$的值为$\frac{1}{4}$。
(2) ∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴一次项系数小于0，常数项大于0，列不等式组：
$\begin{cases}1-a＜0 \\4a-1＞0\end{cases}$
解不等式$1-a＜0$，得$a＞1$，
解不等式$4a-1＞0$，得$a＞\frac{1}{4}$，
∴不等式组的解集为$a＞1$，
即$a$的取值范围是$a＞1$。
(3) ∵函数图象与$y$轴交于正半轴，且$y$随$x$的增大而增大，
列不等式组：
$\begin{cases}1-a＞0 \\4a-1＞0\end{cases}$
解不等式$1-a＞0$，得$a＜1$，
解不等式$4a-1＞0$，得$a＞\frac{1}{4}$，
∴不等式组的解集为$\frac{1}{4}＜a＜1$，
即$a$的取值范围是$\frac{1}{4}＜a＜1$。

12. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=4,AC=5，动点 P 从点 A 出发，沿着折线 A→B→C 匀速运动，到达 C 点时停止，设点 P 的运动路程为 x，△PAC 的面积为 y(动点 P 在点 A 和点 C 时，△PAC 的面积记为 0)。

(1)请直接写出 y 关于 x 的函数表达式，并注明自变量 x 的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出 y 与 x 的函数图象，并写出它的一条性质；
(3)根据图象直接写出当 y≤2 时 x 的取值范围。

解：
(1) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
分两种情况：
① 当点P在AB上运动，即$0≤ x≤4$时，$AP=x$，
$y=\frac{1}{2}· AP· BC=\frac{1}{2}· x·3=\frac{3}{2}x$；
② 当点P在BC上运动，即$4＜x≤7$时，$PC=AB+BC-x=7-x$，
$y=\frac{1}{2}· PC· AB=\frac{1}{2}·(7-x)·4=14-2x$。
综上，函数表达式为：
$y=\begin{cases}\frac{3}{2}x & (0≤ x≤4) \\14-2x & (4＜x≤7)\end{cases}$
(2) 函数图象：连接点$(0,0)$和$(4,6)$得到第一段线段，连接点$(4,6)$和$(7,0)$得到第二段线段。
函数的一条性质：当$0≤ x≤4$时，$y$随$x$的增大而增大；当$4＜x≤7$时，$y$随$x$的增大而减小（或函数最大值为6，在$x=4$处取得，合理即可）。
(3) 当$y≤2$时，$x$的取值范围是$0≤ x≤\frac{4}{3}$或$6≤ x≤7$。