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1. 下列给出的四组数中,是勾股数的一组是()
A.1,2,3
B.2,3,4
C.2,4,5
D.6,8,10
A.1,2,3
B.2,3,4
C.2,4,5
D.6,8,10
答案
D
解析
根据勾股数的定义：满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数称为勾股数，逐一验证：
A. $1^2 + 2^2 = 1+4=5$，$3^2=9$，$5≠9$，不符合；
B. $2^2 + 3^2 = 4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不符合；
C. $2^2 + 4^2 = 4+16=20$，$5^2=25$，$20≠25$，不符合；
D. $6^2 + 8^2 = 36+64=100$，$10^2=100$，满足勾股数要求。
A. $1^2 + 2^2 = 1+4=5$，$3^2=9$，$5≠9$，不符合；
B. $2^2 + 3^2 = 4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不符合；
C. $2^2 + 4^2 = 4+16=20$，$5^2=25$，$20≠25$，不符合；
D. $6^2 + 8^2 = 36+64=100$，$10^2=100$，满足勾股数要求。
2. 在$□ ABCD$中，如果$∠ B=100°$，那么$∠ A$，$∠ D$的度数分别是()
A.$∠ A=80°$，$∠ D=100°$
B.$∠ A=100°$，$∠ D=80°$
C.$∠ A=80°$，$∠ D=80°$
D.$∠ A=100°$，$∠ D=100°$
A.$∠ A=80°$，$∠ D=100°$
B.$∠ A=100°$，$∠ D=80°$
C.$∠ A=80°$，$∠ D=80°$
D.$∠ A=100°$，$∠ D=100°$
答案
A
解析
根据平行四边形的性质：平行四边形邻角互补，对角相等。在□ABCD中，∠A与∠B是邻角，因此∠A+∠B=180°，代入∠B=100°，可得∠A=180°-100°=80°；∠D与∠B是对角，因此∠D=∠B=100°。
3. 如图,甲轮船以 16 n mile/h 的速度离开港口 O 向东南方向航行,乙轮船同时从港口 O 向西南方向航行. 已知它们离开港口 1.5 h 后分别到达 B,A 两点,且知 AB=30 n mile,则乙轮船每小时航行()
A.30 n mile
B.24 n mile
C.18 n mile
D.12 n mile
A.30 n mile
B.24 n mile
C.18 n mile
D.12 n mile
答案
D
解析
由题意可知，甲向东南航行、乙向西南航行，因此∠AOB=90°，△AOB是直角三角形。
1. 计算OB的长度：甲轮船速度为16 n mile/h，航行1.5h，得OB=16×1.5=24 n mile。
2. 在Rt△AOB中，根据勾股定理OA²+OB²=AB²，代入AB=30 n mile、OB=24 n mile，得OA=√(30²-24²)=√324=18 n mile。
3. 计算乙轮船速度：乙航行1.5h的路程为OA=18 n mile，因此速度为18÷1.5=12 n mile/h。
1. 计算OB的长度：甲轮船速度为16 n mile/h，航行1.5h，得OB=16×1.5=24 n mile。
2. 在Rt△AOB中，根据勾股定理OA²+OB²=AB²，代入AB=30 n mile、OB=24 n mile，得OA=√(30²-24²)=√324=18 n mile。
3. 计算乙轮船速度：乙航行1.5h的路程为OA=18 n mile，因此速度为18÷1.5=12 n mile/h。
4. 如果一个正多边形的内角和是外角和的4倍,那么这个正多边形的边数为()
A.7
B.8
C.9
D.10
A.7
B.8
C.9
D.10
答案
D
解析
任意多边形的外角和为360°，设该正多边形的边数为n，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，结合题意列方程：
$(n-2)×180° = 4×360°$
解得$n-2=8$，即$n=10$。
$(n-2)×180° = 4×360°$
解得$n-2=8$，即$n=10$。
5. 如果一个三角形的三边之比为 5:12:13,且周长为 60 cm,那么这个三角形的面积为.
答案
$\boldsymbol{120\ \mathrm{cm}^2}$
解析
解：设这个三角形的三边长分别为$5x\ \mathrm{cm}$，$12x\ \mathrm{cm}$，$13x\ \mathrm{cm}$。
由周长为$60\ \mathrm{cm}$，可得：
$5x + 12x + 13x = 60$
$30x = 60$
$x=2$
因此三角形三边长分别为$10\ \mathrm{cm}$，$24\ \mathrm{cm}$，$26\ \mathrm{cm}$。
验证得：$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$，满足勾股定理，该三角形是直角三角形，两条直角边为$10\ \mathrm{cm}$和$24\ \mathrm{cm}$。
其面积为：
$S=\frac{1}{2} × 10 × 24 = 120\ \mathrm{cm}^2$
由周长为$60\ \mathrm{cm}$，可得：
$5x + 12x + 13x = 60$
$30x = 60$
$x=2$
因此三角形三边长分别为$10\ \mathrm{cm}$，$24\ \mathrm{cm}$，$26\ \mathrm{cm}$。
验证得：$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$，满足勾股定理，该三角形是直角三角形，两条直角边为$10\ \mathrm{cm}$和$24\ \mathrm{cm}$。
其面积为：
$S=\frac{1}{2} × 10 × 24 = 120\ \mathrm{cm}^2$
6. 如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若AC=8,OH=3,则DH的长为.
答案
$\frac{24}{5}$
解析
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=OD。
∵ DH⊥AB，
∴ ∠DHB=90°，在Rt△DHB中，O为BD中点，
∴ OH=$\frac{1}{2}$BD。
∵ OH=3，
∴ BD=6。
在Rt△AOD中，OA=4，OD=$\frac{1}{2}$BD=3，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴ AB=AD=5。
菱形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}×8×6=24$，
又∵ $S=AB· DH$，
∴ $5DH=24$，
解得$DH=\frac{24}{5}$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=OD。
∵ DH⊥AB，
∴ ∠DHB=90°，在Rt△DHB中，O为BD中点，
∴ OH=$\frac{1}{2}$BD。
∵ OH=3，
∴ BD=6。
在Rt△AOD中，OA=4，OD=$\frac{1}{2}$BD=3，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴ AB=AD=5。
菱形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}×8×6=24$，
又∵ $S=AB· DH$，
∴ $5DH=24$，
解得$DH=\frac{24}{5}$。
7. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC于点E,∠EDC:∠EDA=1:2,且AC=10,则EC的长是.
答案
$\boldsymbol{2.5}$（或$\frac{5}{2}$）
解析
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADC=90°，AC=BD=10，OC=OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，
∴ OC=OD=5。
∵ ∠EDC:∠EDA=1:2，且∠EDC+∠EDA=∠ADC=90°，
∴ ∠EDC=30°，∠EDA=60°。
∵ DE⊥AC，
∴ ∠DEC=90°，
∴ ∠ACD=90°-∠EDC=60°。
又∵ OC=OD，
∴ △OCD是等边三角形，
∴ CD=OC=5。
在Rt△DEC中，∠EDC=30°，
∴ EC=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}×5=2.5$。
最终
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADC=90°，AC=BD=10，OC=OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，
∴ OC=OD=5。
∵ ∠EDC:∠EDA=1:2，且∠EDC+∠EDA=∠ADC=90°，
∴ ∠EDC=30°，∠EDA=60°。
∵ DE⊥AC，
∴ ∠DEC=90°，
∴ ∠ACD=90°-∠EDC=60°。
又∵ OC=OD，
∴ △OCD是等边三角形，
∴ CD=OC=5。
在Rt△DEC中，∠EDC=30°，
∴ EC=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}×5=2.5$。
最终
8. 如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地AB=2.6 m,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.7 m的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2 m的地方时(BC=1.2 m),感应门自动打开,则AD=m.
答案
$\boldsymbol{1.5}$
解析
解：
过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由题意可知：DE = BC = 1.2 m，BE = CD = 1.7 m，
则AE = AB - BE = 2.6 - 1.7 = 0.9 m，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AE^2 + DE^2}=\sqrt{0.9^2 + 1.2^2}=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$
最终
过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由题意可知：DE = BC = 1.2 m，BE = CD = 1.7 m，
则AE = AB - BE = 2.6 - 1.7 = 0.9 m，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AE^2 + DE^2}=\sqrt{0.9^2 + 1.2^2}=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$
最终
9. 如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫作格点,以格点为顶点按下列要求画图.
(1)画一个$△ ABC$,使它的三边长分别为$\sqrt{8},\sqrt{5},3$.
(2)求方格图中所画的$△ ABC$的面积.
(1)画一个$△ ABC$,使它的三边长分别为$\sqrt{8},\sqrt{5},3$.
(2)求方格图中所画的$△ ABC$的面积.
答案
解：
(1) 取格点A，向右数3个格点得到格点C，使$AC=3$；取格点B，使点B相对于点A横向偏移2、纵向偏移2，此时$AB=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$；连接BC，可得点B相对于点C横向偏移1、纵向偏移2，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，连接三点得到的$△ ABC$即为所求（画图位置不唯一，满足三边长要求即可）。
(2) 用割补法计算面积：
将$△ ABC$放在长为3、宽为2的矩形中，
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=3×2 - \frac{1}{2}×2×2 - \frac{1}{2}×1×2\\&=6-2-1\\&=3\end{aligned}$
答：$△ ABC$的面积为3。
(1) 取格点A，向右数3个格点得到格点C，使$AC=3$；取格点B，使点B相对于点A横向偏移2、纵向偏移2，此时$AB=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$；连接BC，可得点B相对于点C横向偏移1、纵向偏移2，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，连接三点得到的$△ ABC$即为所求（画图位置不唯一，满足三边长要求即可）。
(2) 用割补法计算面积：
将$△ ABC$放在长为3、宽为2的矩形中，
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=3×2 - \frac{1}{2}×2×2 - \frac{1}{2}×1×2\\&=6-2-1\\&=3\end{aligned}$
答：$△ ABC$的面积为3。
