1. 下列方程中,是分式方程的是 ()

A.$\frac{1}{3}+\frac{x}{2}=1$
B.$x+\frac{1}{x}=2$
C.$2x=x-5$
D.$x-4y=1$

1.B

【分析】
解决这道题的核心是牢记分式方程的判定标准，解题思路如下：首先回忆分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断时只需核查每个选项的方程分母是否包含未知数，逐一排查即可得出正确答案。
【解析】
解：根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，逐一分析选项：
A. 方程$\frac{1}{3}+\frac{x}{2}=1$的分母为3和2，均是常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
B. 方程$x+\frac{1}{x}=2$的分母为$x$，$x$是未知数，满足分式方程的定义，符合要求；
C. 方程$2x=x-5$没有分母，属于整式方程中的一元一次方程，不符合要求；
D. 方程$x-4y=1$没有分母，属于整式方程中的二元一次方程，不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义、整式方程的识别
【点评】
本题是基础概念类考题，难度很低，解题关键是抓住分式方程的核心判定特征：分母含有未知数，只要准确掌握概念即可快速得分，注意不要和分母仅含常数的整式方程混淆。
【难度系数】
0.9

2. 解分式方程$\frac{2}{x-1}+\frac{x+2}{1-x}=3$时，去分母后方程变形为 （）

A.$2-(x+2)=3$
B.$2+(x+2)=3$
C.$2+(x+2)=3(x-1)$
D.$2-(x+2)=3(x-1)$

2.D

【分析】
解这道题首先要明确分式方程去分母的思路：第一步先观察方程中各分式的分母，找到分母之间的关系，本题中x-1和1-x互为相反数，可先对第二个分式做符号变形，再确定最简公分母；第二步方程两边同时乘以最简公分母，注意每一项都要乘，包括不含分母的常数项，避免漏乘，同时注意符号变化，最后整理即可得到去分母后的变形结果。
【解析】
首先对原方程的第二个分式进行变形：
∵ $1-x=-(x-1)$，
∴ 原方程$\frac{2}{x-1}+\frac{x+2}{1-x}=3$可化为：$\frac{2}{x-1}-\frac{x+2}{x-1}=3$。
该方程的最简公分母为$x-1$，给方程两边同时乘以$x-1$（注意右边的常数项3也要乘以$x-1$，避免漏乘），去分母后得：
$2-(x+2)=3(x-1)$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程去分母、分式符号法则、等式的基本性质
【点评】
本题考查分式方程去分母的基本操作，易错点有两个：一是忽略分母互为相反数的关系，弄错第二个分式的符号；二是去分母时漏乘不含分母的常数项，做题时要规避这两个易错点，严格按照去分母的步骤计算。
【难度系数】
0.7

3. 若分式$\frac{2-x}{3x-1}$与分式$\frac{7}{1-3x}$的和为1，则x的值为（）

A.-1
B.-3
C.1
D.2

3.A

【分析】
首先根据“两个分式的和为1”的等量关系列出分式方程；观察到两个分式的分母3x-1和1-3x互为相反数，可先统一分母，再通过去分母将分式方程转化为整式方程求解；最后要代入原方程分母检验，排除使分母为0的增根，得到正确的x值。
【解析】
根据题意列方程得：
$\frac{2-x}{3x-1} + \frac{7}{1-3x} =1$
∵ $1-3x=-(3x-1)$，方程可变形为：
$\frac{2-x}{3x-1} - \frac{7}{3x-1} =1$
同分母分式相减，分子相减、分母不变：
$\frac{2-x-7}{3x-1}=1$
整理分子得：
$\frac{-x-5}{3x-1}=1$
方程两边同时乘以$(3x-1)$（此时要求$3x-1≠0$，即$x≠\frac{1}{3}$）去分母得：
$-x -5 = 3x -1$
移项得：$-x -3x = -1 +5$
合并同类项得：$-4x=4$
系数化为1得：$x=-1$
检验：将$x=-1$代入$3x-1$，得$3×(-1)-1=-4≠0$，所以$x=-1$是原方程的解。
【答案】A
【知识点】分式方程的解法，分式的基本性质，增根的检验
【点评】本题属于分式方程的基础考察题，解题的关键是正确梳理题意列出方程，处理互为相反数的分母时要注意符号变化，牢记解分式方程必须检验的步骤，掌握好常规解法就能顺利得分。
【难度系数】0.7

4. 如图，点A，B在数轴上对应的数分别为$\frac{2}{3-x}$，$\frac{3}{x+1}$，且点A，B关于原点对称，则x的值是 （）


A.$\frac{7}{5}$
B.5
C.7
D.11

4.D

【分析】
数轴上关于原点对称的两个点对应的数互为相反数，即两数之和为0。我们可以先根据这个性质列出关于x的分式方程，再按照解分式方程的步骤：去分母将分式方程转化为整式方程、求解整式方程、检验解是否使原分式分母不为0，最终得到x的正确值。
【解析】
∵点A，B关于原点对称，
∴点A、B对应的数互为相反数，即$\frac{2}{3-x} + \frac{3}{x+1} = 0$，
方程两边同时乘最简公分母$(3-x)(x+1)$去分母，得：
$2(x+1) + 3(3-x) = 0$，
展开括号：$2x + 2 + 9 - 3x = 0$，
合并同类项：$-x + 11 = 0$，
解得：$x=11$。
检验：当$x=11$时，$(3-x)(x+1)=(3-11)×(11+1)=-96≠0$，因此$x=11$是原分式方程的解。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的特征；解分式方程；相反数的性质
【点评】
本题结合数轴性质考查分式方程的求解，解题的突破口是利用对称点的性质建立方程，需要注意解分式方程时必须检验根是否使原分式有意义，避免出现增根。
【难度系数】
0.7

5. 在物理学中,物质的密度ρ等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比,即ρ=$\frac{m}{V}$.已知A,B两个物体的密度之比为2:1,当物体A的质量是100 g,物体B的质量是200 g时,物体B的体积比物体A的体积大27 cm³.如果设物体A的体积是x cm³,那么根据题意列方程为 ()

A.$\frac{100}{x}=2×\frac{200}{x+27}$
B.$2×\frac{100}{x}=\frac{200}{x+27}$
C.$\frac{100}{x}=2×\frac{200}{x-27}$
D.$2×\frac{100}{x}=\frac{200}{x-27}$

5.A

【分析】
解题时首先梳理题目已知条件：①密度公式为$\rho=\frac{m}{V}$；②A、B的密度之比为2:1，即$\rho_A=2\rho_B$；③A质量为100g，B质量为200g；④B的体积比A大27$cm^3$，设A体积为$x\ cm^3$。解题思路为：先用含$x$的式子表示出A、B的体积，再分别写出A、B的密度表达式，最后根据密度的比例关系列出方程即可。
【解析】
解：设物体A的体积是$x\ cm^3$，
∵物体B的体积比物体A的体积大27$cm^3$，
∴物体B的体积为$(x+27)\ cm^3$。
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得：
物体A的密度$\rho_A=\frac{m_A}{V_A}=\frac{100}{x}\ g/cm^3$，
物体B的密度$\rho_B=\frac{m_B}{V_B}=\frac{200}{x+27}\ g/cm^3$。
又
∵A、B两个物体的密度之比为2:1，即$\rho_A=2\rho_B$，
将上述密度表达式代入等量关系得：
$\frac{100}{x}=2×\frac{200}{x+27}$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
列分式方程，比例的应用，密度公式应用
【点评】
本题是跨学科的分式方程应用题，解题核心是找准等量关系，注意不要混淆两个物体的密度比例关系和体积大小关系，代入公式时要对应好每个物理量的数值。
【难度系数】
0.7

6. 对于两个不相等的实数$p,q$,我们规定符号$\max\{p,q\}$表示$p,q$中的较大值,如:$\max\{2,5\}=5$,按照这个规定,方程$\max\{\dfrac{2}{x},-\dfrac{2}{x}\}=\dfrac{1}{3-x}$的解为 ()

A.$x=2$
B.$x=6$
C.$x=2$或$x=6$
D.$x=2$或$x=-6$

6.A

【分析】
首先理解新定义符号$\max\{p,q\}$的含义：取$p,q$中的较大值。观察$\max$中的两个数$\frac{2}{x}$和$-\frac{2}{x}$互为相反数，且$x≠0$（分母不为0），因此两数一正一负，较大值一定为正数，由此可推出等号右侧的$\frac{1}{3-x}$也为正数，即$3-x＞0$，得$x＜3$。接下来分$x＞0$和$x＜0$两种情况，分别写出$\max\{\frac{2}{x},-\frac{2}{x}\}$的表达式，转化为普通分式方程求解，最后检验解是否符合分类前提和分式有意义的条件。
【解析】
步骤1：确定取值限制
根据分式有意义的条件，得$x≠0$，$3-x≠0$即$x≠3$；
由$\max\{\frac{2}{x},-\frac{2}{x}\}$为正数，得$\frac{1}{3-x}＞0$，即$3-x＞0$，解得$x＜3$。
步骤2：分情况列方程求解
①当$x＞0$时，$\frac{2}{x}＞0$，$-\frac{2}{x}＜0$，因此$\max\{\frac{2}{x},-\frac{2}{x}\}=\frac{2}{x}$，方程为：
$\frac{2}{x}=\frac{1}{3-x}$
交叉相乘得：$2(3-x)=x$
展开：$6-2x=x$
移项合并：$3x=6$，解得$x=2$
检验：$x=2$满足$x＞0$且$x＜3$，代入原方程左边$\max\{\frac{2}{2},-\frac{2}{2}\}=\max\{1,-1\}=1$，右边$\frac{1}{3-2}=1$，左边=右边，是原方程的解。
②当$x＜0$时，$\frac{2}{x}＜0$，$-\frac{2}{x}＞0$，因此$\max\{\frac{2}{x},-\frac{2}{x}\}=-\frac{2}{x}$，方程为：
$-\frac{2}{x}=\frac{1}{3-x}$
交叉相乘得：$-2(3-x)=x$
展开：$-6+2x=x$
解得：$x=6$
检验：$x=6$不满足$x＜0$且不满足$x＜3$，不符合前提，舍去该解。
综上，原方程的解为$x=2$。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，分式方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义运算考查分式方程的应用，解题的关键是准确理解新定义的含义，合理分类讨论转化为常规分式方程，求解后要注意检验解是否符合分类前提和分式有意义的条件，避免未检验导致错选。
【难度系数】
0.6

7. 若关于$x$的分式方程$\frac{1}{x-4} - \frac{m}{4-x} = 1$（$m$为常数）有增根，则增根是。

7.x=4

【分析】
要确定分式方程的增根，首先回忆增根的定义：增根是分式方程化为整式方程后，产生的使原分式方程的分母为0的根。解题时先找原分式方程的最简公分母，令最简公分母等于0，求出的x值就是可能的增根，题目已知方程有增根，该值即为所求增根。
【解析】
观察原分式方程的分母：分别为$x-4$和$4-x$，因此最简公分母为$x-4$。
根据分式方程增根的性质，增根会使最简公分母为0，即：
$x-4=0$
解得$x=4$。
验证：将原方程去分母，两边同乘$(x-4)$得$1+m=x-4$，把$x=4$代入整式方程，等式成立，因此$x=4$是该分式方程的增根。
【答案】
$x=4$
【知识点】
1. 分式方程增根的定义
2. 最简公分母的确定
【点评】
本题主要考查对分式方程增根概念的理解，解题核心是明确增根满足“使原分式方程分母为0”的核心特征，属于基础考点，熟练掌握增根的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9

8. 若关于$x$的分式方程$\dfrac{3}{x+m}=\dfrac{2}{x+2}$的解为$x=2$，则$m$的值为。

8.4

【分析】
解题思路：首先明确方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值。本题已知分式方程的解为x=2，因此我们可以直接将x=2代入原分式方程，将原方程转化为只含有未知数m的一元一次方程，再解这个一元一次方程即可求出m的值，最后要验证代入后原分式方程的分母不为0，保证方程有意义。
【解析】
解：
∵x=2是分式方程$\dfrac{3}{x+m}=\dfrac{2}{x+2}$的解
∴将x=2代入原方程，得：
$\dfrac{3}{2+m}=\dfrac{2}{2+2}$
化简右边得：$\dfrac{3}{2+m}=\dfrac{1}{2}$
交叉相乘得：$1×(2+m)=3×2$
即$2+m=6$
解得：$m=4$
检验：当$m=4$，$x=2$时，分母$x+m=2+4=6≠0$，$x+2=4≠0$，符合分式方程分母不为0的要求
故m的值为4。
【答案】
4
【知识点】
分式方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程解的性质将含参数的分式方程转化为普通的一元一次方程求解，解题时注意要验证分式分母不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.8

9. 随着科技的发展,机器人参与了采茶工作,已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1 kg,且每台机器人采摘25 kg茶叶与一名熟练采茶工采摘10 kg茶叶所需要的时间相同,则每台机器人每小时采茶量为 kg.

9.5