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10. 已知关于$x$的分式方程$\dfrac{3x}{x-3}=\dfrac{a}{3-x}+1$.
（1）若此方程无解，则$a$的值为
（2）若此方程的解为正数，则$a$的取值范围为
（1）若此方程无解，则$a$的值为
-9
；（2）若此方程的解为正数，则$a$的取值范围为
a＜-3 且 a≠-9
.答案
10.(1)-9 (2)a＜-3 且 a≠-9
解析
【分析】
解决这类分式方程问题，首先要将分式方程去分母转化为整式方程，再结合题目要求分别讨论：
（1）分式方程无解包含两种情况：一是转化后的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。本题整式方程是一元一次方程，必然有解，所以只需考虑增根的情况即可。
（2）分式方程的解为正数时，首先要保证整式方程的解是正数，同时还要排除解为增根的情况，避免出现原分式方程无意义的情况。
【解析】
先将原分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$(x-3)$，注意$3-x=-(x-3)$，得：
$3x = -a + (x - 3)$
整理整式方程：
$3x - x = -a - 3$
$2x = -a - 3$
解得：$x = \dfrac{-a - 3}{2}$
（1）若方程无解，说明$x=3$是原方程的增根（原方程分母为0时$x=3$），将$x=3$代入$x = \dfrac{-a - 3}{2}$：
$3 = \dfrac{-a - 3}{2}$
两边同乘2得：$6 = -a - 3$
解得：$a = -9$
（2）若方程的解为正数，首先满足$x＞0$，即：
$\dfrac{-a - 3}{2} ＞ 0$
两边同乘2得：$-a - 3 ＞ 0$
解得：$a ＜ -3$
同时解不能为增根，即$x ≠ 3$，也就是$\dfrac{-a - 3}{2} ≠ 3$，解得$a ≠ -9$
综上，$a$的取值范围是$a ＜ -3$且$a ≠ -9$
【答案】
（1）$\boldsymbol{-9}$；（2）$\boldsymbol{a ＜ -3}$且$\boldsymbol{a ≠ -9}$
【知识点】
分式方程的解法，增根的意义，一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程的经典题型，解题的关键是明确分式方程求解的步骤，尤其要注意增根的情况，讨论解的范围时必须排除增根，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
解决这类分式方程问题，首先要将分式方程去分母转化为整式方程，再结合题目要求分别讨论：
（1）分式方程无解包含两种情况：一是转化后的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。本题整式方程是一元一次方程，必然有解，所以只需考虑增根的情况即可。
（2）分式方程的解为正数时，首先要保证整式方程的解是正数，同时还要排除解为增根的情况，避免出现原分式方程无意义的情况。
【解析】
先将原分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$(x-3)$，注意$3-x=-(x-3)$，得：
$3x = -a + (x - 3)$
整理整式方程：
$3x - x = -a - 3$
$2x = -a - 3$
解得：$x = \dfrac{-a - 3}{2}$
（1）若方程无解，说明$x=3$是原方程的增根（原方程分母为0时$x=3$），将$x=3$代入$x = \dfrac{-a - 3}{2}$：
$3 = \dfrac{-a - 3}{2}$
两边同乘2得：$6 = -a - 3$
解得：$a = -9$
（2）若方程的解为正数，首先满足$x＞0$，即：
$\dfrac{-a - 3}{2} ＞ 0$
两边同乘2得：$-a - 3 ＞ 0$
解得：$a ＜ -3$
同时解不能为增根，即$x ≠ 3$，也就是$\dfrac{-a - 3}{2} ≠ 3$，解得$a ≠ -9$
综上，$a$的取值范围是$a ＜ -3$且$a ≠ -9$
【答案】
（1）$\boldsymbol{-9}$；（2）$\boldsymbol{a ＜ -3}$且$\boldsymbol{a ≠ -9}$
【知识点】
分式方程的解法，增根的意义，一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程的经典题型，解题的关键是明确分式方程求解的步骤，尤其要注意增根的情况，讨论解的范围时必须排除增根，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
11. 解方程：
(1) $\frac{1}{x+1} + 1 = \frac{3}{2x+2}$；
(2) $\frac{5-x}{x-4} + \frac{1}{4-x} = 1$。
(1) $\frac{1}{x+1} + 1 = \frac{3}{2x+2}$；
(2) $\frac{5-x}{x-4} + \frac{1}{4-x} = 1$。
答案
11.解:(1)$x=-\frac{1}{2}$。(2)原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①找各分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；②解得到的整式方程；③验根：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0，则该解为增根，原分式方程无解，若不为0，则该解是原方程的解。
第(1)题可先把2x+2因式分解为2(x+1)，确定最简公分母为2(x+1)后去分母求解；第(2)题注意4-x=-(x-4)，先统一分母形式，确定最简公分母为x-4后去分母，最后必须验根。
【解析】
(1) 原方程变形为：$\frac{1}{x+1} + 1 = \frac{3}{2(x+1)}$
方程两边同时乘最简公分母$2(x+1)$（隐含$x\ne-1$），得：
$2 + 2(x+1) = 3$
去括号：$2 + 2x + 2 = 3$
合并同类项：$2x + 4 = 3$
移项、系数化为1：$x=-\frac{1}{2}$
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$2(x+1)=1\ne0$，故$x=-\frac{1}{2}$是原方程的解。
(2) 原方程变形为：$\frac{5-x}{x-4} - \frac{1}{x-4} = 1$
方程两边同时乘最简公分母$x-4$（隐含$x\ne4$），得：
$5 - x - 1 = x - 4$
合并同类项：$4 - x = x - 4$
移项、合并同类项：$-2x=-8$
系数化为1：$x=4$
检验：当$x=4$时，最简公分母$x-4=0$，因此$x=4$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=-\frac{1}{2}$；(2)原分式方程无解。
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 增根的判定
【点评】
本题是分式方程的基础计算题，重点考查分式方程的标准解题步骤，要注意解分式方程必须验根，处理互为相反数的分母时要先统一形式，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①找各分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；②解得到的整式方程；③验根：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0，则该解为增根，原分式方程无解，若不为0，则该解是原方程的解。
第(1)题可先把2x+2因式分解为2(x+1)，确定最简公分母为2(x+1)后去分母求解；第(2)题注意4-x=-(x-4)，先统一分母形式，确定最简公分母为x-4后去分母，最后必须验根。
【解析】
(1) 原方程变形为：$\frac{1}{x+1} + 1 = \frac{3}{2(x+1)}$
方程两边同时乘最简公分母$2(x+1)$（隐含$x\ne-1$），得：
$2 + 2(x+1) = 3$
去括号：$2 + 2x + 2 = 3$
合并同类项：$2x + 4 = 3$
移项、系数化为1：$x=-\frac{1}{2}$
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$2(x+1)=1\ne0$，故$x=-\frac{1}{2}$是原方程的解。
(2) 原方程变形为：$\frac{5-x}{x-4} - \frac{1}{x-4} = 1$
方程两边同时乘最简公分母$x-4$（隐含$x\ne4$），得：
$5 - x - 1 = x - 4$
合并同类项：$4 - x = x - 4$
移项、合并同类项：$-2x=-8$
系数化为1：$x=4$
检验：当$x=4$时，最简公分母$x-4=0$，因此$x=4$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=-\frac{1}{2}$；(2)原分式方程无解。
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 增根的判定
【点评】
本题是分式方程的基础计算题，重点考查分式方程的标准解题步骤，要注意解分式方程必须验根，处理互为相反数的分母时要先统一形式，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
12. 阅读下面解方程的过程,完成后面的问题:
解方程:$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x+1}-\frac{4}{x^2-1}$.
解:$x+1=2(x-1)-4···$ 第一步
$x+1=2x-1-4·········$ 第二步
$x-2x=-1-1-4·········$ 第三步
$-x=-6··················$ 第四步
$x=6.·····················$ 第五步
检验:当$x=6$时,$x^2-1=35≠0$,所以,$x=6$是原方程的根.
(1)①以上解题过程中,第一步是依据
A.等式的基本性质 B.不等式的基本性质 C.分式的基本性质
②从第
(2)该方程的正确解是
(3)除纠正上述错误外,请你根据平时的学习经验,就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
解方程:$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x+1}-\frac{4}{x^2-1}$.
解:$x+1=2(x-1)-4···$ 第一步
$x+1=2x-1-4·········$ 第二步
$x-2x=-1-1-4·········$ 第三步
$-x=-6··················$ 第四步
$x=6.·····················$ 第五步
检验:当$x=6$时,$x^2-1=35≠0$,所以,$x=6$是原方程的根.
(1)①以上解题过程中,第一步是依据
A
进行变形的；A.等式的基本性质 B.不等式的基本性质 C.分式的基本性质
②从第
二
步开始出现错误,这一步错误的原因是去括号时第二项没有乘2
；(2)该方程的正确解是
x=7
；(3)除纠正上述错误外,请你根据平时的学习经验,就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
答案
12.解:(1)①A ②二 去括号时第二项没有乘2
(2)x=7
(3)解分式方程时还需要检验.(答案不唯一)
(2)x=7
(3)解分式方程时还需要检验.(答案不唯一)
解析
【分析】
逐问梳理解题思路：
(1)①第一步是给方程两边同乘最简公分母$(x^2-1)$消去分母，这种变形的依据是等式的基本性质：等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立，据此可选出正确选项。
②逐步骤核对运算规则：第一步去分母得到$x+1=2(x-1)-4$，第二步去括号时，$2(x-1)$展开应为$2x-2$，题中第二步写为$2x-1$，说明去括号时括号内的$-1$没有乘系数2，由此可确定错误步骤和原因。
(2)求正确解时，按照解分式方程的规范步骤：先去分母，再正确去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后检验即可得到正确结果。
(3)结合解分式方程的常见易错点提合理建议即可，比如去分母不要漏乘不含分母的项、解完必须检验等。
【解析】
(1)①解分式方程去分母的操作是对等式进行变形，依据是等式的基本性质，故选A。
②对比运算规则：第一步去分母得$x+1=2(x-1)-4$，第二步去括号时，$2(x-1)$应展开为$2x-2$，题中第二步错误写为$2x-1$，因此从第二步开始出错，错误原因为去括号时括号内的第二项没有乘2。
(2)正确解方程过程：
去分母，得：$x+1=2(x-1)-4$
正确去括号，得：$x+1=2x-2-4$
移项，得：$x-2x=-2-4-1$
合并同类项，得：$-x=-7$
系数化为1，得：$x=7$
检验：当$x=7$时，$x^2-1=48≠0$，因此$x=7$是原方程的解。
(3)建议示例：解分式方程去分母时不要漏乘没有分母的项（或解分式方程一定要检验是否为增根，合理即可）。
【答案】
(1)①A；②二，去括号时第二项没有乘2
(2)$x=7$
(3)解分式方程时还需要检验（答案不唯一）
【知识点】
等式的基本性质；解分式方程；去括号法则
【点评】
本题围绕解分式方程的步骤设题，重点考查运算过程中的易错点，要求学生熟练掌握整式运算规则和分式方程的求解规范，养成运算后检验的良好习惯。
【难度系数】
0.7
逐问梳理解题思路：
(1)①第一步是给方程两边同乘最简公分母$(x^2-1)$消去分母，这种变形的依据是等式的基本性质：等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立，据此可选出正确选项。
②逐步骤核对运算规则：第一步去分母得到$x+1=2(x-1)-4$，第二步去括号时，$2(x-1)$展开应为$2x-2$，题中第二步写为$2x-1$，说明去括号时括号内的$-1$没有乘系数2，由此可确定错误步骤和原因。
(2)求正确解时，按照解分式方程的规范步骤：先去分母，再正确去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后检验即可得到正确结果。
(3)结合解分式方程的常见易错点提合理建议即可，比如去分母不要漏乘不含分母的项、解完必须检验等。
【解析】
(1)①解分式方程去分母的操作是对等式进行变形，依据是等式的基本性质，故选A。
②对比运算规则：第一步去分母得$x+1=2(x-1)-4$，第二步去括号时，$2(x-1)$应展开为$2x-2$，题中第二步错误写为$2x-1$，因此从第二步开始出错，错误原因为去括号时括号内的第二项没有乘2。
(2)正确解方程过程：
去分母，得：$x+1=2(x-1)-4$
正确去括号，得：$x+1=2x-2-4$
移项，得：$x-2x=-2-4-1$
合并同类项，得：$-x=-7$
系数化为1，得：$x=7$
检验：当$x=7$时，$x^2-1=48≠0$，因此$x=7$是原方程的解。
(3)建议示例：解分式方程去分母时不要漏乘没有分母的项（或解分式方程一定要检验是否为增根，合理即可）。
【答案】
(1)①A；②二，去括号时第二项没有乘2
(2)$x=7$
(3)解分式方程时还需要检验（答案不唯一）
【知识点】
等式的基本性质；解分式方程；去括号法则
【点评】
本题围绕解分式方程的步骤设题，重点考查运算过程中的易错点，要求学生熟练掌握整式运算规则和分式方程的求解规范，养成运算后检验的良好习惯。
【难度系数】
0.7
