14. 观察下列等式:
第1个等式: $\frac{1}{x(x+1)} = ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} ) × 1$;第2个等式: $\frac{1}{x(x+2)} = ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} ) × \frac{1}{2}$;
第3个等式: $\frac{1}{x(x+3)} = ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+3} ) × \frac{1}{3}$;第4个等式: $\frac{1}{x(x+4)} = ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+4} ) × \frac{1}{4}$;…
按照以上规律,解决问题;
(1) 写出第5个等式: ;
(2) 写出第n个等式(用含n的式子表示,n为正整数);
(3) 利用上述规律计算: $\frac{1}{m(m+3)} + \frac{1}{(m+3)(m+6)} + \frac{1}{$$(m+6)(m+9)} + \dots + \frac{1}{(m+18)(m+21)}$.

14. (1)$\frac{1}{x(x+5)}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5})×\frac{1}{5}$
(2)根据题意,得第n个等式为$\frac{1}{x(x+n)}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+n})×\frac{1}{n}$.
(3)原式=$(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+3})×\frac{1}{3}+(\frac{1}{m+3}-\frac{1}{m+6})×\frac{1}{3}+(\frac{1}{m+6}-\frac{1}{m+9})×\frac{1}{3}+…+(\frac{1}{m+18}-\frac{1}{m+21})×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+3}+\frac{1}{m+3}-\frac{1}{m+6}+\frac{1}{m+6}-\frac{1}{m+9}+…+\frac{1}{m+18}-\frac{1}{m+21})=\frac{1}{3}(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+21})=\frac{1}{3}×\frac{21}{m(m+21)}=\frac{7}{m(m+21)}$.

【分析】
本题属于规律探究与分式运算结合的题型，解题思路如下：
1. 解决前两小问时，先观察已知等式的结构：第k个等式左边的分式分母是两个相差为k的整式乘积，等式右边是这两个整式的倒数差乘以$\frac{1}{k}$，按照这个规律即可写出第5个和第n个等式。
2. 解决第(3)小问时，首先观察每个分式的分母两个因式的差都是3，符合上述裂项规律，先把每个分式拆成对应倒数差乘以$\frac{1}{3}$的形式，再提取公因式$\frac{1}{3}$，此时中间的项互为相反数可以相互抵消，仅剩下首尾两项，最后通分化简即可得到结果。
【解析】
(1) 观察前4个等式的规律，第5个等式中分母两因式的差为5，右边系数为$\frac{1}{5}$，因此第5个等式为：$\frac{1}{x(x+5)}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5})×\frac{1}{5}$。
(2) 类推到第n个等式，分母两因式的差为n，因此第n个等式为：$\frac{1}{x(x+n)}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+n})×\frac{1}{n}$（n为正整数）。
(3) 根据上述规律，每个分式的分母两因式差为3，逐个裂项得：
原式=$(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+3})×\frac{1}{3}+(\frac{1}{m+3}-\frac{1}{m+6})×\frac{1}{3}+(\frac{1}{m+6}-\frac{1}{m+9})×\frac{1}{3}+…+(\frac{1}{m+18}-\frac{1}{m+21})×\frac{1}{3}$
提取公因式$\frac{1}{3}$：
=$\frac{1}{3}(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+3}+\frac{1}{m+3}-\frac{1}{m+6}+\frac{1}{m+6}-\frac{1}{m+9}+…+\frac{1}{m+18}-\frac{1}{m+21})$
中间项全部抵消，仅剩首尾两项：
=$\frac{1}{3}(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+21})$
通分计算：
=$\frac{1}{3}×\frac{(m+21)-m}{m(m+21)}=\frac{1}{3}×\frac{21}{m(m+21)}=\frac{7}{m(m+21)}$
【答案】
(1) $\frac{1}{x(x+5)}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5})×\frac{1}{5}$
(2) $\frac{1}{x(x+n)}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+n})×\frac{1}{n}$（n为正整数）
(3) $\frac{7}{m(m+21)}$
【知识点】
规律探究、分式裂项相消、分式加减运算
【点评】
本题是分式运算的典型应用题型，重点考查对规律的归纳总结能力和裂项相消法的运用，解题关键是准确找到裂项的规律，抵消中间项时要注意不要遗漏首尾项，最后计算时要做好通分化简，避免计算错误。
【难度系数】
0.7