登录
13.在数轴上有A,B两点,其中点A所对应的数是a,点B所对应的数是1.已知A,B两点的距离小于3,请你利用数轴.
(1)写出a所满足的不等式;
(2)数−3,0,4所对应的点到点B的距离小于3吗?
(1)写出a所满足的不等式;
(2)数−3,0,4所对应的点到点B的距离小于3吗?
答案
解:(1)根据题意,得$|a-1|＜3$,解得$-2＜a＜4$.
(2)由(1),得到点B的距离小于3的数在$-2$和$4$之间,
故在$-3,0,4$三个数中,只有0所对应的点到点B的距离小于3.
(2)由(1),得到点B的距离小于3的数在$-2$和$4$之间,
故在$-3,0,4$三个数中,只有0所对应的点到点B的距离小于3.
解析
【分析】
解题思路：首先明确数轴上两点之间的距离计算规则：两点对应数的差的绝对值即为两点的距离。针对第(1)问，先根据A、B两点距离小于3的条件列出含绝对值的不等式，再依据绝对值的含义去掉绝对值符号，解出a的取值范围。针对第(2)问，直接利用第(1)问得到的取值范围，判断给出的三个数是否在该范围内，即可得出结论。
【解析】
(1) 已知点A对应的数是a，点B对应的数是1，数轴上A、B两点的距离为$|a-1|$，根据两点距离小于3的条件，可列不等式：
$|a - 1| ＜ 3$
根据绝对值的性质，绝对值小于3的数大于-3且小于3，因此不等式转化为：
$-3 ＜ a - 1 ＜ 3$
不等式三边同时加1，解得：
$-2 ＜ a ＜ 4$
(2) 由(1)可知，到点B的距离小于3的数的取值范围是$-2 ＜ a ＜ 4$。分别判断三个数：
$-3 ＜ -2$，不在取值范围内，对应的距离为$|-3-1|=4＞3$，不满足条件；
$-2 ＜ 0 ＜ 4$，在取值范围内，对应的距离为$|0-1|=1＜3$，满足条件；
$4$为取值范围端点，对应的距离为$|4-1|=3$，不满足小于3的要求。
【答案】
(1) $|a-1| ＜ 3$，解得$-2 ＜ a ＜ 4$；
(2) 只有0所对应的点到点B的距离小于3。
【知识点】
数轴两点距离计算、解绝对值不等式、不等式解集应用
【点评】
本题结合数轴考查绝对值的几何意义，解题核心是将两点距离的描述转化为绝对值不等式，再利用绝对值的性质求解，能有效强化数轴与代数表达式的对应思维。
【难度系数】
0.75
解题思路：首先明确数轴上两点之间的距离计算规则：两点对应数的差的绝对值即为两点的距离。针对第(1)问，先根据A、B两点距离小于3的条件列出含绝对值的不等式，再依据绝对值的含义去掉绝对值符号，解出a的取值范围。针对第(2)问，直接利用第(1)问得到的取值范围，判断给出的三个数是否在该范围内，即可得出结论。
【解析】
(1) 已知点A对应的数是a，点B对应的数是1，数轴上A、B两点的距离为$|a-1|$，根据两点距离小于3的条件，可列不等式：
$|a - 1| ＜ 3$
根据绝对值的性质，绝对值小于3的数大于-3且小于3，因此不等式转化为：
$-3 ＜ a - 1 ＜ 3$
不等式三边同时加1，解得：
$-2 ＜ a ＜ 4$
(2) 由(1)可知，到点B的距离小于3的数的取值范围是$-2 ＜ a ＜ 4$。分别判断三个数：
$-3 ＜ -2$，不在取值范围内，对应的距离为$|-3-1|=4＞3$，不满足条件；
$-2 ＜ 0 ＜ 4$，在取值范围内，对应的距离为$|0-1|=1＜3$，满足条件；
$4$为取值范围端点，对应的距离为$|4-1|=3$，不满足小于3的要求。
【答案】
(1) $|a-1| ＜ 3$，解得$-2 ＜ a ＜ 4$；
(2) 只有0所对应的点到点B的距离小于3。
【知识点】
数轴两点距离计算、解绝对值不等式、不等式解集应用
【点评】
本题结合数轴考查绝对值的几何意义，解题核心是将两点距离的描述转化为绝对值不等式，再利用绝对值的性质求解，能有效强化数轴与代数表达式的对应思维。
【难度系数】
0.75
14.阅读材料,解决问题:
解答“已知$ x - y = 7 $,且$ x＞1,y＜0 $,试确定$ x + y $的取值范围”有如下解法:
【解】因为$ x - y = 7 $,所以$ x = y + 7 $.
因为$ x＞1 $,
所以$ y + 7＞1 $,所以$ y＞-6 $.
又因为$ y＜0 $,所以$ -6＜y＜0 $①.
同理,得$ 1＜x＜7 $②.
由①+②,得$ -6 + 1＜y + x＜0 + 7 $.
所以$ x + y $的取值范围是$ -5＜x + y＜7 $.
请按照上述方法,回答下列问题:
(1)已知$ x - y = 3 $,且$ x＞2,y＜1 $,求$ x + y $的取值范围;
(2)已知$ x＞-1,y＜1 $,若$ x - y = m(m＞0) $成立,求$ x + y $的取值范围(用含$ m $的式子表示).
解答“已知$ x - y = 7 $,且$ x＞1,y＜0 $,试确定$ x + y $的取值范围”有如下解法:
【解】因为$ x - y = 7 $,所以$ x = y + 7 $.
因为$ x＞1 $,
所以$ y + 7＞1 $,所以$ y＞-6 $.
又因为$ y＜0 $,所以$ -6＜y＜0 $①.
同理,得$ 1＜x＜7 $②.
由①+②,得$ -6 + 1＜y + x＜0 + 7 $.
所以$ x + y $的取值范围是$ -5＜x + y＜7 $.
请按照上述方法,回答下列问题:
(1)已知$ x - y = 3 $,且$ x＞2,y＜1 $,求$ x + y $的取值范围;
(2)已知$ x＞-1,y＜1 $,若$ x - y = m(m＞0) $成立,求$ x + y $的取值范围(用含$ m $的式子表示).
答案
解:(1)因为$x-y=3$,
所以$x=y+3,y=x-3$.
又因为$x＞2,y＜1$,
所以$y+3＞2,x-3＜1$,
所以$y＞-1,x＜4$,
所以$2＜x＜4,-1＜y＜1$.
所以$1＜x+y＜5$.
(2)因为$x-y=m$,
所以$x=y+m,y=x-m$.
因为$x＞-1,y＜1$,
所以$y+m＞-1,x-m＜1$,
所以$y＞-m-1,x＜m+1$,
所以$-1＜x＜m+1,-m-1＜y＜1$.
所以$-m-2＜x+y＜m+2$.
所以$x=y+3,y=x-3$.
又因为$x＞2,y＜1$,
所以$y+3＞2,x-3＜1$,
所以$y＞-1,x＜4$,
所以$2＜x＜4,-1＜y＜1$.
所以$1＜x+y＜5$.
(2)因为$x-y=m$,
所以$x=y+m,y=x-m$.
因为$x＞-1,y＜1$,
所以$y+m＞-1,x-m＜1$,
所以$y＞-m-1,x＜m+1$,
所以$-1＜x＜m+1,-m-1＜y＜1$.
所以$-m-2＜x+y＜m+2$.
解析
【分析】
本题属于方法迁移类题目，解题思路可完全参照材料给出的步骤：①先根据已知的x与y的差的等式，将x用含y的式子表示、y用含x的式子表示；②将上述表达式代入给出的x、y的取值限制，分别求出x、y各自的取值范围；③将x和y的取值范围对应相加，即可得到x+y的取值范围。两小问的解题思路完全一致，仅第二问将具体数值替换为字母m，计算时把m当作常数处理即可。
【解析】
(1) 因为$x-y=3$，所以$x=y+3$，$y=x-3$。
又因为$x＞2$，$y＜1$，
所以$y+3＞2$，$x-3＜1$，
解得$y＞-1$，$x＜4$，
结合已知限制可得$2＜x＜4$，$-1＜y＜1$。
将两个不等式相加得：$2+(-1)＜x+y＜4+1$，即$1＜x+y＜5$。
(2) 因为$x-y=m$（$m＞0$），所以$x=y+m$，$y=x-m$。
又因为$x＞-1$，$y＜1$，
所以$y+m＞-1$，$x-m＜1$，
解得$y＞-m-1$，$x＜m+1$，
结合已知限制可得$-1＜x＜m+1$，$-m-1＜y＜1$。
将两个不等式相加得：$-1+(-m-1)＜x+y＜m+1+1$，即$-m-2＜x+y＜m+2$。
【答案】
(1) $\boxed{1＜x+y＜5}$
(2) $\boxed{-m-2＜x+y＜m+2}$
【知识点】
不等式的性质，代数式取值范围求解
【点评】
本题为阅读理解迁移题型，核心是读懂材料给出的解题逻辑，再将方法套用至新的问题中，考查学生的知识迁移能力和不等式的基本运算能力，严格按照步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
本题属于方法迁移类题目，解题思路可完全参照材料给出的步骤：①先根据已知的x与y的差的等式，将x用含y的式子表示、y用含x的式子表示；②将上述表达式代入给出的x、y的取值限制，分别求出x、y各自的取值范围；③将x和y的取值范围对应相加，即可得到x+y的取值范围。两小问的解题思路完全一致，仅第二问将具体数值替换为字母m，计算时把m当作常数处理即可。
【解析】
(1) 因为$x-y=3$，所以$x=y+3$，$y=x-3$。
又因为$x＞2$，$y＜1$，
所以$y+3＞2$，$x-3＜1$，
解得$y＞-1$，$x＜4$，
结合已知限制可得$2＜x＜4$，$-1＜y＜1$。
将两个不等式相加得：$2+(-1)＜x+y＜4+1$，即$1＜x+y＜5$。
(2) 因为$x-y=m$（$m＞0$），所以$x=y+m$，$y=x-m$。
又因为$x＞-1$，$y＜1$，
所以$y+m＞-1$，$x-m＜1$，
解得$y＞-m-1$，$x＜m+1$，
结合已知限制可得$-1＜x＜m+1$，$-m-1＜y＜1$。
将两个不等式相加得：$-1+(-m-1)＜x+y＜m+1+1$，即$-m-2＜x+y＜m+2$。
【答案】
(1) $\boxed{1＜x+y＜5}$
(2) $\boxed{-m-2＜x+y＜m+2}$
【知识点】
不等式的性质，代数式取值范围求解
【点评】
本题为阅读理解迁移题型，核心是读懂材料给出的解题逻辑，再将方法套用至新的问题中，考查学生的知识迁移能力和不等式的基本运算能力，严格按照步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
