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7.有下列式子:①$2＞0$;②$4x+y≤1$;③$x+3=0$;④$y-7$;⑤$m-2.5＞3$.其中是不等式的有
3
个.答案
3
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确不等式的判定依据：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接、表示不等关系的式子就是不等式。接下来我们只需要逐个核对给出的式子，判断是否符合上述特征，最后统计符合要求的式子数量即可。
【解析】
根据不等式的定义，逐个分析式子：
①式子$2＞0$用大于号连接，属于不等式；
②式子$4x+y≤1$用小于等于号连接，属于不等式；
③式子$x+3=0$用等号连接，是等式，不属于不等式；
④式子$y-7$是单独的代数式，没有不等号连接，不属于不等式；
⑤式子$m-2.5＞3$用大于号连接，属于不等式。
综上，是不等式的有①②⑤，共3个。
【答案】
3
【知识点】
不等式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是抓住“式子中含有不等号”这一不等式的典型特征，注意区分不等式、等式、代数式的差异，避免粗心数错个数。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确不等式的判定依据：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接、表示不等关系的式子就是不等式。接下来我们只需要逐个核对给出的式子，判断是否符合上述特征，最后统计符合要求的式子数量即可。
【解析】
根据不等式的定义，逐个分析式子：
①式子$2＞0$用大于号连接，属于不等式；
②式子$4x+y≤1$用小于等于号连接，属于不等式；
③式子$x+3=0$用等号连接，是等式，不属于不等式；
④式子$y-7$是单独的代数式，没有不等号连接，不属于不等式；
⑤式子$m-2.5＞3$用大于号连接，属于不等式。
综上，是不等式的有①②⑤，共3个。
【答案】
3
【知识点】
不等式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是抓住“式子中含有不等号”这一不等式的典型特征，注意区分不等式、等式、代数式的差异，避免粗心数错个数。
【难度系数】
0.9
8.若$a＜b$,则$a+3$
＜
$b+3$.（填“＞”“＜”或“=”）答案
＜
解析
【分析】
首先明确已知条件为$a ＜ b$，需要比较两边同时加3后的大小关系，解题时应联想到不等式的基本性质：不等式两边同时加或减同一个数，不等号的方向不会发生改变，直接套用该性质即可得出结果。
【解析】
根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
已知$a ＜ b$，在不等式两边同时加上3，可得$a + 3 ＜ b + 3$。
【答案】
＜
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对不等式基本性质的理解与应用，熟练掌握不等式的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
首先明确已知条件为$a ＜ b$，需要比较两边同时加3后的大小关系，解题时应联想到不等式的基本性质：不等式两边同时加或减同一个数，不等号的方向不会发生改变，直接套用该性质即可得出结果。
【解析】
根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
已知$a ＜ b$，在不等式两边同时加上3，可得$a + 3 ＜ b + 3$。
【答案】
＜
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对不等式基本性质的理解与应用，熟练掌握不等式的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
9.若$-1＜x≤2$且$3x+y=2$，则$y$的取值范围是
$-4≤y＜5$
。答案
$-4≤y＜5$
解析
【分析】
解题时首先结合给出的x与y的等量关系，将y变形为用含x的代数式表示，再代入x的取值范围，利用不等式的性质对不等式进行变形，最终得到y的取值范围。变形时要注意：不等式两边同时乘负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
第一步，对等式$3x+y=2$进行移项变形，可得：$y=2-3x$。
第二步，已知x的取值范围是$-1＜x≤2$，根据不等式的性质，给不等式三边同时乘以-3，不等号方向改变，可得：
$(-1)×(-3)＞x×(-3)≥2×(-3)$，即$3＞-3x≥-6$，整理为$-6≤-3x＜3$。
第三步，给上述不等式三边同时加2，可得：
$-6+2≤-3x+2＜3+2$，即$-4≤2-3x＜5$。
结合$y=2-3x$，即可得到y的取值范围。
【答案】
$-4≤y＜5$
【知识点】
不等式的性质；等式的变形；取值范围计算
【点评】
本题是不等式应用的基础常见题型，重点考查对不等式性质的掌握，解题的易错点是不等式两边乘负数时忘记改变不等号方向，或者端点取值判断错误，平时练习要注意夯实基础，避免这类失误。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合给出的x与y的等量关系，将y变形为用含x的代数式表示，再代入x的取值范围，利用不等式的性质对不等式进行变形，最终得到y的取值范围。变形时要注意：不等式两边同时乘负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
第一步，对等式$3x+y=2$进行移项变形，可得：$y=2-3x$。
第二步，已知x的取值范围是$-1＜x≤2$，根据不等式的性质，给不等式三边同时乘以-3，不等号方向改变，可得：
$(-1)×(-3)＞x×(-3)≥2×(-3)$，即$3＞-3x≥-6$，整理为$-6≤-3x＜3$。
第三步，给上述不等式三边同时加2，可得：
$-6+2≤-3x+2＜3+2$，即$-4≤2-3x＜5$。
结合$y=2-3x$，即可得到y的取值范围。
【答案】
$-4≤y＜5$
【知识点】
不等式的性质；等式的变形；取值范围计算
【点评】
本题是不等式应用的基础常见题型，重点考查对不等式性质的掌握，解题的易错点是不等式两边乘负数时忘记改变不等号方向，或者端点取值判断错误，平时练习要注意夯实基础，避免这类失误。
【难度系数】
0.8
10.如果$\begin{cases}a ＜ b, \\ c ＜ d,\end{cases}$那么$a + c ＜ b + d$，我们将这一性质称为不等式的“同向相加符号不变性”.若$3 ＜ a ＜ 5, -2 ＜ b ＜ 4$,则$a - b$的取值范围是 ______ .
答案
$-1＜a-b＜7$
解析
【分析】
要求$a-b$的取值范围，可将$a-b$转化为$a+(-b)$，即可利用题目给出的“同向相加符号不变性”求解。首先需要根据不等式的基本性质求出$-b$的取值范围，再将$a$的取值范围与$-b$的取值范围同向相加，就能得到$a-b$的取值范围。
【解析】
1. 求$-b$的取值范围：
已知$-2 ＜ b ＜ 4$，根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，给不等式三边同时乘$-1$，可得$2 ＞ -b ＞ -4$，整理为$-4 ＜ -b ＜ 2$。
2. 利用同向不等式相加性质计算$a-b$的范围：
已知$3 ＜ a ＜ 5$，与$-4 ＜ -b ＜ 2$为同向不等式，将两个不等式对应边相加：
$3+(-4) ＜ a+(-b) ＜ 5+2$
计算得$-1 ＜ a-b ＜7$。
【答案】
$-1＜a-b＜7$
【知识点】
不等式的基本性质；不等式同向相加性质
【点评】
本题考查不等式性质的灵活应用，解题核心是将减法转化为加法，结合题目给出的同向相加性质求解，需注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
要求$a-b$的取值范围，可将$a-b$转化为$a+(-b)$，即可利用题目给出的“同向相加符号不变性”求解。首先需要根据不等式的基本性质求出$-b$的取值范围，再将$a$的取值范围与$-b$的取值范围同向相加，就能得到$a-b$的取值范围。
【解析】
1. 求$-b$的取值范围：
已知$-2 ＜ b ＜ 4$，根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，给不等式三边同时乘$-1$，可得$2 ＞ -b ＞ -4$，整理为$-4 ＜ -b ＜ 2$。
2. 利用同向不等式相加性质计算$a-b$的范围：
已知$3 ＜ a ＜ 5$，与$-4 ＜ -b ＜ 2$为同向不等式，将两个不等式对应边相加：
$3+(-4) ＜ a+(-b) ＜ 5+2$
计算得$-1 ＜ a-b ＜7$。
【答案】
$-1＜a-b＜7$
【知识点】
不等式的基本性质；不等式同向相加性质
【点评】
本题考查不等式性质的灵活应用，解题核心是将减法转化为加法，结合题目给出的同向相加性质求解，需注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 将下列不等式化为“$x＞a$”或“$x＜a$”的形式.
(1) $-\dfrac{3}{2}x＞60$；
(2) $-2x+3＜3x+2$.
11. 将下列不等式化为“$x＞a$”或“$x＜a$”的形式.
(1) $-\dfrac{3}{2}x＞60$；
(2) $-2x+3＜3x+2$.
答案
(1) $-\frac{3}{2}x＞60$,
不等式两边同时乘$-\frac{2}{3}$,
解得 $x＜-40$.
(2) $-2x+3＜3x+2$,
不等式两边同时减$3x$,得$-5x+3＜2$,
不等式两边同时减$3$,得$-5x＜-1$,
不等式两边同时除以$-5$,得$x＞\frac{1}{5}$.
不等式两边同时乘$-\frac{2}{3}$,
解得 $x＜-40$.
(2) $-2x+3＜3x+2$,
不等式两边同时减$3x$,得$-5x+3＜2$,
不等式两边同时减$3$,得$-5x＜-1$,
不等式两边同时除以$-5$,得$x＞\frac{1}{5}$.
解析
【分析】
本题考查利用不等式的基本性质将不等式化为指定形式，解题思路如下：
1. 首先明确不等式的核心注意点：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向要发生改变，这是本题的易错点。
2. 第(1)题仅含x的项和常数项，直接将x的系数化为1即可，注意乘负数时要调整不等号方向。
3. 第(2)题先根据不等式性质1，通过加减运算将含x的项移到不等式一侧、常数项移到另一侧，再将x的系数化为1，系数为负时同样要调整不等号方向。
【解析】
(1) 对于不等式$-\dfrac{3}{2}x＞60$：
不等式两边同时乘$-\dfrac{2}{3}$，不等号方向改变，
计算得$x＜60×(-\dfrac{2}{3})$，即$x＜-40$。
(2) 对于不等式$-2x+3＜3x+2$：
第一步，不等式两边同时减$3x$，不等号方向不变，得$-5x+3＜2$；
第二步，不等式两边同时减$3$，不等号方向不变，得$-5x＜-1$；
第三步，不等式两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得$x＞\dfrac{1}{5}$。
【答案】
(1) $x＜-40$；(2) $x＞\dfrac{1}{5}$
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元一次不等式求解的基础题型，核心是熟练掌握不等式的基本性质，尤其要注意不等式两边同时乘或除以同一个负数时，必须改变不等号的方向，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查利用不等式的基本性质将不等式化为指定形式，解题思路如下：
1. 首先明确不等式的核心注意点：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向要发生改变，这是本题的易错点。
2. 第(1)题仅含x的项和常数项，直接将x的系数化为1即可，注意乘负数时要调整不等号方向。
3. 第(2)题先根据不等式性质1，通过加减运算将含x的项移到不等式一侧、常数项移到另一侧，再将x的系数化为1，系数为负时同样要调整不等号方向。
【解析】
(1) 对于不等式$-\dfrac{3}{2}x＞60$：
不等式两边同时乘$-\dfrac{2}{3}$，不等号方向改变，
计算得$x＜60×(-\dfrac{2}{3})$，即$x＜-40$。
(2) 对于不等式$-2x+3＜3x+2$：
第一步，不等式两边同时减$3x$，不等号方向不变，得$-5x+3＜2$；
第二步，不等式两边同时减$3$，不等号方向不变，得$-5x＜-1$；
第三步，不等式两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得$x＞\dfrac{1}{5}$。
【答案】
(1) $x＜-40$；(2) $x＞\dfrac{1}{5}$
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元一次不等式求解的基础题型，核心是熟练掌握不等式的基本性质，尤其要注意不等式两边同时乘或除以同一个负数时，必须改变不等号的方向，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
12.由不等式$(a-1)x＞2(a-1)$得到$x＜2$，试化简$|a-1|+|2-a|$.
答案
解:因为由不等式$(a-1)x＞2(a-1)$得到$x＜2$,
所以 $a-1＜0$,即 $a＜1$,
所以$|a-1|+|2-a|=1-a+2-a=3-2a$.
所以 $a-1＜0$,即 $a＜1$,
所以$|a-1|+|2-a|=1-a+2-a=3-2a$.
解析
【分析】
解题时首先利用不等式的基本性质分析：不等式两边同时除以同一个不为0的数，若不等号方向改变，说明除以的数是负数。本题中原不等式不等号为“＞”，变形后变为“＜”，可推出除数$a-1＜0$，得到$a$的取值范围$a＜1$。接下来判断绝对值内两个式子的正负：$a＜1$时，$a-1$是负数，$2-a$是正数，再根据绝对值的性质“负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身”去掉绝对值符号，最后合并同类项即可完成化简。
【解析】
解：
∵ 由不等式$(a-1)x＞2(a-1)$得到$x＜2$，不等号方向发生改变
∴ $a-1＜0$，解得$a＜1$
∴ $a-1＜0$，$2-a＞0$
∴ $|a-1|+|2-a|=-(a-1)+(2-a)=1-a+2-a=3-2a$
【答案】
$3-2a$
【知识点】
不等式的基本性质；绝对值的化简
【点评】
本题是基础类综合题，解题的关键是根据不等号的方向变化准确判断出参数$a$的取值范围，再结合绝对值的性质化简计算，这类题型是不等式和绝对值结合的常见考法，掌握基础规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用不等式的基本性质分析：不等式两边同时除以同一个不为0的数，若不等号方向改变，说明除以的数是负数。本题中原不等式不等号为“＞”，变形后变为“＜”，可推出除数$a-1＜0$，得到$a$的取值范围$a＜1$。接下来判断绝对值内两个式子的正负：$a＜1$时，$a-1$是负数，$2-a$是正数，再根据绝对值的性质“负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身”去掉绝对值符号，最后合并同类项即可完成化简。
【解析】
解：
∵ 由不等式$(a-1)x＞2(a-1)$得到$x＜2$，不等号方向发生改变
∴ $a-1＜0$，解得$a＜1$
∴ $a-1＜0$，$2-a＞0$
∴ $|a-1|+|2-a|=-(a-1)+(2-a)=1-a+2-a=3-2a$
【答案】
$3-2a$
【知识点】
不等式的基本性质；绝对值的化简
【点评】
本题是基础类综合题，解题的关键是根据不等号的方向变化准确判断出参数$a$的取值范围，再结合绝对值的性质化简计算，这类题型是不等式和绝对值结合的常见考法，掌握基础规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
