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8 某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的第25百分位数和第75百分位数分别为 （
A.290，250
B.295，240
C.300，240
D.250，295
D
）A.290，250
B.295，240
C.300，240
D.250，295
答案
8. D
解析
【分析】
求解本题的核心是掌握百分位数的计算步骤：首先将所有数据按从小到大的顺序排列，再计算索引值$i=n× p\%$（$n$为数据总个数，$p\%$为对应百分位），最后根据$i$的取值确定百分位数：若$i$为整数，则对应百分位数是第$i$个和第$i+1$个数据的平均数；若$i$不是整数，将$i$向上取整，取该位置对应的数据即可。我们按此步骤分别计算第25、75百分位数即可。
【解析】
第一步：将8个快递收件点的快递个数从小到大排序：$188,240,260,284,288,290,300,360$，数据总个数$n=8$。
第二步：计算第25百分位数：
$i=8×25\%=2$，$i$为整数，因此第25百分位数为第2个和第3个数据的平均数，即$\frac{240+260}{2}=250$。
第三步：计算第75百分位数：
$i=8×75\%=6$，$i$为整数，因此第75百分位数为第6个和第7个数据的平均数，即$\frac{290+300}{2}=295$。
综上，这组数据的第25百分位数是250，第75百分位数是295，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
百分位数计算，数据排序
【点评】
本题属于统计类基础题型，主要考查百分位数的计算方法，解题的关键是排序准确，牢记不同索引值下百分位数的取值规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
求解本题的核心是掌握百分位数的计算步骤：首先将所有数据按从小到大的顺序排列，再计算索引值$i=n× p\%$（$n$为数据总个数，$p\%$为对应百分位），最后根据$i$的取值确定百分位数：若$i$为整数，则对应百分位数是第$i$个和第$i+1$个数据的平均数；若$i$不是整数，将$i$向上取整，取该位置对应的数据即可。我们按此步骤分别计算第25、75百分位数即可。
【解析】
第一步：将8个快递收件点的快递个数从小到大排序：$188,240,260,284,288,290,300,360$，数据总个数$n=8$。
第二步：计算第25百分位数：
$i=8×25\%=2$，$i$为整数，因此第25百分位数为第2个和第3个数据的平均数，即$\frac{240+260}{2}=250$。
第三步：计算第75百分位数：
$i=8×75\%=6$，$i$为整数，因此第75百分位数为第6个和第7个数据的平均数，即$\frac{290+300}{2}=295$。
综上，这组数据的第25百分位数是250，第75百分位数是295，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
百分位数计算，数据排序
【点评】
本题属于统计类基础题型，主要考查百分位数的计算方法，解题的关键是排序准确，牢记不同索引值下百分位数的取值规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
9 已知100个数据的第三四分位数是93，则下列说法中正确的是 （
A.将这100个数据从小到大排列后，第25个数据是93
B.将这100个数据从小到大排列后，第75个数据是93
C.将这100个数据从小到大排列后，第25个数据和第26个数据的平均数是93
D.将这100个数据从小到大排列后，第75个数据和第76个数据的平均数是93
D
）A.将这100个数据从小到大排列后，第25个数据是93
B.将这100个数据从小到大排列后，第75个数据是93
C.将这100个数据从小到大排列后，第25个数据和第26个数据的平均数是93
D.将这100个数据从小到大排列后，第75个数据和第76个数据的平均数是93
答案
9. D
解析
【分析】
首先明确第三四分位数的含义，第三四分位数也叫上四分位数，对应数据的75%分位数，即至少75%的数据小于或等于该值，至少25%的数据大于或等于该值。解题时先计算75%分位数的位置，再根据位置是否为整数确定分位数的取值方式，最后逐一判断选项即可。
【解析】
解：第三四分位数即75%分位数，解题步骤如下：
1. 计算分位数位置：已知数据总数$n=100$，分位数对应百分比$p=75\%$，则位置$i=n× p=100×75\%=75$。
2. 根据百分位数计算规则：当计算得到的位置$i$为整数时，$p\%$分位数是第$i$个数据和第$i+1$个数据的平均数。
因此这100个数据的第三四分位数是从小到大排列后第75个和第76个数据的平均数，已知第三四分位数为93，即第75个和第76个数据的平均数是93。
逐一判断选项：
A. 第25个数据对应25%分位数相关位置，与第三四分位数无关，错误；
B. $i=75$为整数，需取第75、76个数据的平均值，不是仅第75个数据，错误；
C. 第25、26个数据的平均数是第一四分位数（25%分位数），错误；
D. 符合计算结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
四分位数的概念；百分位数的计算
【点评】
本题重点考查统计中百分位数、四分位数的计算规则，易错点是当计算得到的分位数位置为整数时，容易误将对应位置的数值直接当作分位数，忽略需要取相邻两个数的平均数的要求。
【难度系数】
0.7
首先明确第三四分位数的含义，第三四分位数也叫上四分位数，对应数据的75%分位数，即至少75%的数据小于或等于该值，至少25%的数据大于或等于该值。解题时先计算75%分位数的位置，再根据位置是否为整数确定分位数的取值方式，最后逐一判断选项即可。
【解析】
解：第三四分位数即75%分位数，解题步骤如下：
1. 计算分位数位置：已知数据总数$n=100$，分位数对应百分比$p=75\%$，则位置$i=n× p=100×75\%=75$。
2. 根据百分位数计算规则：当计算得到的位置$i$为整数时，$p\%$分位数是第$i$个数据和第$i+1$个数据的平均数。
因此这100个数据的第三四分位数是从小到大排列后第75个和第76个数据的平均数，已知第三四分位数为93，即第75个和第76个数据的平均数是93。
逐一判断选项：
A. 第25个数据对应25%分位数相关位置，与第三四分位数无关，错误；
B. $i=75$为整数，需取第75、76个数据的平均值，不是仅第75个数据，错误；
C. 第25、26个数据的平均数是第一四分位数（25%分位数），错误；
D. 符合计算结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
四分位数的概念；百分位数的计算
【点评】
本题重点考查统计中百分位数、四分位数的计算规则，易错点是当计算得到的分位数位置为整数时，容易误将对应位置的数值直接当作分位数，忽略需要取相邻两个数的平均数的要求。
【难度系数】
0.7
10 已知甲班和乙班人数相等，在一次考试中两班成绩(分)的箱线图如图所示，则下列说法一定正确的是（
A.甲班成绩比乙班成绩集中
B.甲班成绩的第一四分位数是80分
C.甲班有同学的成绩超过140分
D.甲班的平均分高于乙班的平均分
B
）A.甲班成绩比乙班成绩集中
B.甲班成绩的第一四分位数是80分
C.甲班有同学的成绩超过140分
D.甲班的平均分高于乙班的平均分
答案
10. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确箱线图的各部分含义：箱线图中，矩形的下边缘是第一四分位数（下四分位数，代表有25%的数据小于等于该值），上边缘是第三四分位数（上四分位数，代表有75%的数据小于等于该值），矩形中间的横线是中位数，矩形两端向外延伸的竖线的端点分别对应这组数据的最小值和最大值。解题时我们结合这些含义，逐个分析选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
结合箱线图的含义逐一分析选项：
A选项：数据越集中，极差（最大值与最小值的差）、四分位距（第三四分位数与第一四分位数的差）越小。观察图可知甲班的极差、四分位距都比乙班大，说明甲班成绩更分散，故A错误。
B选项：甲班箱线图的矩形下边缘对应纵轴的80分，即甲班成绩的第一四分位数是80分，故B正确。
C选项：甲班箱线图上端竖线的端点对应纵轴140分，即甲班最高分为140分，不存在超过140分的同学，故C错误。
D选项：箱线图只能反映数据的最值、分位数、中位数和离散程度，无法体现数据的平均水平，因此无法判断两班平均分的高低，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 箱线图的认识
2. 四分位数的概念
3. 数据的离散程度
【点评】
本题核心是考查对箱线图统计意义的理解，需要熟练掌握箱线图各部分对应的数据特征，做题时注意区分“等于”和“超过”这类表述的差异，同时明确箱线图无法直接反映平均数大小。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确箱线图的各部分含义：箱线图中，矩形的下边缘是第一四分位数（下四分位数，代表有25%的数据小于等于该值），上边缘是第三四分位数（上四分位数，代表有75%的数据小于等于该值），矩形中间的横线是中位数，矩形两端向外延伸的竖线的端点分别对应这组数据的最小值和最大值。解题时我们结合这些含义，逐个分析选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
结合箱线图的含义逐一分析选项：
A选项：数据越集中，极差（最大值与最小值的差）、四分位距（第三四分位数与第一四分位数的差）越小。观察图可知甲班的极差、四分位距都比乙班大，说明甲班成绩更分散，故A错误。
B选项：甲班箱线图的矩形下边缘对应纵轴的80分，即甲班成绩的第一四分位数是80分，故B正确。
C选项：甲班箱线图上端竖线的端点对应纵轴140分，即甲班最高分为140分，不存在超过140分的同学，故C错误。
D选项：箱线图只能反映数据的最值、分位数、中位数和离散程度，无法体现数据的平均水平，因此无法判断两班平均分的高低，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 箱线图的认识
2. 四分位数的概念
3. 数据的离散程度
【点评】
本题核心是考查对箱线图统计意义的理解，需要熟练掌握箱线图各部分对应的数据特征，做题时注意区分“等于”和“超过”这类表述的差异，同时明确箱线图无法直接反映平均数大小。
【难度系数】
0.7
11 如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图(单位:岁),则该少年足球队全体队员年龄的第一四分位数是
11
岁.答案
11. 11
解析
【分析】
解题前首先回忆箱线图的结构：箱线图从数值从小到大依次对应五个关键统计量，分别是最小值、第一四分位数（下四分位数）、中位数、第三四分位数（上四分位数）、最大值；其中上下两根须的端点分别对应最小值和最大值，箱体的下边缘对应第一四分位数，箱体中间的横线对应中位数，箱体的上边缘对应第三四分位数。本题要求第一四分位数，只需找到箱体下边缘对应的年龄数值即可。
【解析】
观察箱线图可知：
1. 最下方须的端点为最小值10岁；
2. 箱体的下边缘对应第一四分位数，该位置对应的年龄为11岁；
3. 箱体中间横线为中位数13岁；
4. 箱体上边缘为第三四分位数14岁；
5. 最上方须的端点为最大值15岁。
因此该队队员年龄的第一四分位数是11岁。
【答案】
11
【知识点】
箱线图的识别，四分位数的概念
【点评】
本题属于基础题，核心考查箱线图各位置对应的统计量含义，熟练掌握相关概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题前首先回忆箱线图的结构：箱线图从数值从小到大依次对应五个关键统计量，分别是最小值、第一四分位数（下四分位数）、中位数、第三四分位数（上四分位数）、最大值；其中上下两根须的端点分别对应最小值和最大值，箱体的下边缘对应第一四分位数，箱体中间的横线对应中位数，箱体的上边缘对应第三四分位数。本题要求第一四分位数，只需找到箱体下边缘对应的年龄数值即可。
【解析】
观察箱线图可知：
1. 最下方须的端点为最小值10岁；
2. 箱体的下边缘对应第一四分位数，该位置对应的年龄为11岁；
3. 箱体中间横线为中位数13岁；
4. 箱体上边缘为第三四分位数14岁；
5. 最上方须的端点为最大值15岁。
因此该队队员年龄的第一四分位数是11岁。
【答案】
11
【知识点】
箱线图的识别，四分位数的概念
【点评】
本题属于基础题，核心考查箱线图各位置对应的统计量含义，熟练掌握相关概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
12 已知一组数据按从小到大排列如下:11,12,15,x,17,y,22,26.经计算,该组数据的中位数是16,第75百分位数是20,则$x=$
15
,$y=$18
.答案
12. 15 18
解析
【分析】
本题需要结合中位数和百分位数的定义列方程求解。首先明确：对于n个从小到大排序的数据，①若n为偶数，中位数是第$\frac{n}{2}$个和第$\frac{n}{2}+1$个数据的平均数；②计算第p百分位数时，先计算$i=n× p\%$，若i为整数，则第p百分位数是第i个和第i+1个数据的平均数。我们先利用中位数的条件求出x，再利用第75百分位数的条件求出y即可。
【解析】
已知这组数据共8个，且按从小到大排列：
1. 计算x的值：
中位数是第4个和第5个数据的平均数，根据题意列方程：
$\frac{x+17}{2}=16$
解得：$x=16×2 -17=15$
2. 计算y的值：
先求第75百分位数的位置：$i=8×75\%=6$，i为整数，因此第75百分位数是第6个和第7个数据的平均数，根据题意列方程：
$\frac{y+22}{2}=20$
解得：$y=20×2 -22=18$
【答案】
15；18
【知识点】
中位数的计算；百分位数的计算
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查中位数和百分位数的计算规则，解题时需注意数据已经按从小到大排序，根据规则找到对应位置的数据列方程计算即可，易错点是混淆百分位数对应的位置序号。
【难度系数】
0.7
本题需要结合中位数和百分位数的定义列方程求解。首先明确：对于n个从小到大排序的数据，①若n为偶数，中位数是第$\frac{n}{2}$个和第$\frac{n}{2}+1$个数据的平均数；②计算第p百分位数时，先计算$i=n× p\%$，若i为整数，则第p百分位数是第i个和第i+1个数据的平均数。我们先利用中位数的条件求出x，再利用第75百分位数的条件求出y即可。
【解析】
已知这组数据共8个，且按从小到大排列：
1. 计算x的值：
中位数是第4个和第5个数据的平均数，根据题意列方程：
$\frac{x+17}{2}=16$
解得：$x=16×2 -17=15$
2. 计算y的值：
先求第75百分位数的位置：$i=8×75\%=6$，i为整数，因此第75百分位数是第6个和第7个数据的平均数，根据题意列方程：
$\frac{y+22}{2}=20$
解得：$y=20×2 -22=18$
【答案】
15；18
【知识点】
中位数的计算；百分位数的计算
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查中位数和百分位数的计算规则，解题时需注意数据已经按从小到大排序，根据规则找到对应位置的数据列方程计算即可，易错点是混淆百分位数对应的位置序号。
【难度系数】
0.7
13 有一组数据2,3,3,4,则这组数据的离差平方和为 （
A.2
B.1
C.0.8
D.0.5
A
）A.2
B.1
C.0.8
D.0.5
答案
13. A
解析
【分析】
要计算这组数据的离差平方和，需遵循固定步骤：首先计算该组数据的平均数，再依次计算每个数据与平均数的差的平方，最后将所有平方值相加，所得结果就是离差平方和。
【解析】
第一步：计算这组数据的平均数$\bar{x}$：
$\bar{x}=\frac{2+3+3+4}{4}=\frac{12}{4}=3$
第二步：计算离差平方和，公式为$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$，代入数据得：
$(2-3)^2 + (3-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2$
$=(-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2$
$=1+0+0+1=2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算、离差平方和的计算
【点评】
本题属于统计基础计算题，核心考察离差平方和的计算逻辑，只要牢记先求平均数、再求差的平方和的计算顺序，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的离差平方和，需遵循固定步骤：首先计算该组数据的平均数，再依次计算每个数据与平均数的差的平方，最后将所有平方值相加，所得结果就是离差平方和。
【解析】
第一步：计算这组数据的平均数$\bar{x}$：
$\bar{x}=\frac{2+3+3+4}{4}=\frac{12}{4}=3$
第二步：计算离差平方和，公式为$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$，代入数据得：
$(2-3)^2 + (3-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2$
$=(-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2$
$=1+0+0+1=2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算、离差平方和的计算
【点评】
本题属于统计基础计算题，核心考察离差平方和的计算逻辑，只要牢记先求平均数、再求差的平方和的计算顺序，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
14 [2025烟台]求一组数据方差的算式为$s^2=\frac{1}{n}×[(6-\overline{x})^2+(8-\overline{x})^2+(8-\overline{x})^2+(6-\overline{x})^2+(7-\overline{x})^2]$. 由算式提供的信息,下列说法错误的是 （
A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小
C
）A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小
答案
14. C
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆方差的定义公式，从给出的方差算式中提取样本容量n和原始数据，再依次计算平均数、众数判断选项B、C的正误；最后计算加入新数据后方差的变化，判断选项D的正误，最终选出错误的说法。
【解析】
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，结合题干给出的算式分析：
1. 判断选项A：算式中共有5个平方项，因此样本容量$n=5$，A说法正确，不符合题意。
2. 判断选项B：由算式可得这组数据为$6,8,8,6,7$，计算平均数$\overline{x}=\frac{6+8+8+6+7}{5}=\frac{35}{5}=7$，B说法正确，不符合题意。
3. 判断选项C：该组数据中6出现2次，8出现2次，7出现1次，因此众数为6和8，不是只有6，C说法错误，符合题意。
4. 判断选项D：原方差$s^2=\frac{1}{5}[(6-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2]=\frac{4}{5}=0.8$；加入两个数7、7后，新数据的平均数仍为7，新方差$s'^2=\frac{1}{7}[(6-7)^2×2+(8-7)^2×2+(7-7)^2×3]=\frac{4}{7}\approx0.57＜0.8$，方差变小，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
方差的计算；平均数；众数
【点评】
本题综合考查了统计中常见特征量的概念与计算，解题的核心是能从方差表达式中准确提取原始数据，再结合各特征量的定义逐一分析选项，是统计部分的基础常考题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆方差的定义公式，从给出的方差算式中提取样本容量n和原始数据，再依次计算平均数、众数判断选项B、C的正误；最后计算加入新数据后方差的变化，判断选项D的正误，最终选出错误的说法。
【解析】
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，结合题干给出的算式分析：
1. 判断选项A：算式中共有5个平方项，因此样本容量$n=5$，A说法正确，不符合题意。
2. 判断选项B：由算式可得这组数据为$6,8,8,6,7$，计算平均数$\overline{x}=\frac{6+8+8+6+7}{5}=\frac{35}{5}=7$，B说法正确，不符合题意。
3. 判断选项C：该组数据中6出现2次，8出现2次，7出现1次，因此众数为6和8，不是只有6，C说法错误，符合题意。
4. 判断选项D：原方差$s^2=\frac{1}{5}[(6-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2]=\frac{4}{5}=0.8$；加入两个数7、7后，新数据的平均数仍为7，新方差$s'^2=\frac{1}{7}[(6-7)^2×2+(8-7)^2×2+(7-7)^2×3]=\frac{4}{7}\approx0.57＜0.8$，方差变小，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
方差的计算；平均数；众数
【点评】
本题综合考查了统计中常见特征量的概念与计算，解题的核心是能从方差表达式中准确提取原始数据，再结合各特征量的定义逐一分析选项，是统计部分的基础常考题。
【难度系数】
0.7
15 有一组数据:6,7,8,8,8,8,7,10,9.如果把这些数据分成6,7,7,8和8,8,8,9,10两组,那么它们的组内离差平方和为（
A.5.2
B.5.4
C.5.5
D.5.6
A
）A.5.2
B.5.4
C.5.5
D.5.6
答案
15. A
解析
【分析】
解题的核心是理解组内离差平方和的定义：组内离差平方和是每组中各个数据与该组平均数的差的平方的总和，总组内离差平方和为各组离差平方和的和。解题思路如下：第一步分别计算两组数据各自的平均数；第二步分别计算每组的离差平方和；第三步将两组的离差平方和相加，对应选项得出答案。
【解析】
1. 计算第一组数据[6,7,7,8]的离差平方和：
第一组平均数：$\overline{x_1}=\frac{6+7+7+8}{4}=7$
第一组离差平方和：$S_1=(6-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2=1+0+0+1=2$
2. 计算第二组数据[8,8,8,9,10]的离差平方和：
第二组平均数：$\overline{x_2}=\frac{8+8+8+9+10}{5}=8.6$
第二组离差平方和：$S_2=3×(8-8.6)^2+(9-8.6)^2+(10-8.6)^2=3×0.36+0.16+1.96=3.2$
3. 总组内离差平方和：$S=S_1+S_2=2+3.2=5.2$
【答案】
A
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题重点考查对基础统计概念的理解和运算能力，计算时只要准确求出各组平均数，再按定义计算平方和即可，计算过程注意细心即可得分。
【难度系数】
0.7
解题的核心是理解组内离差平方和的定义：组内离差平方和是每组中各个数据与该组平均数的差的平方的总和，总组内离差平方和为各组离差平方和的和。解题思路如下：第一步分别计算两组数据各自的平均数；第二步分别计算每组的离差平方和；第三步将两组的离差平方和相加，对应选项得出答案。
【解析】
1. 计算第一组数据[6,7,7,8]的离差平方和：
第一组平均数：$\overline{x_1}=\frac{6+7+7+8}{4}=7$
第一组离差平方和：$S_1=(6-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2=1+0+0+1=2$
2. 计算第二组数据[8,8,8,9,10]的离差平方和：
第二组平均数：$\overline{x_2}=\frac{8+8+8+9+10}{5}=8.6$
第二组离差平方和：$S_2=3×(8-8.6)^2+(9-8.6)^2+(10-8.6)^2=3×0.36+0.16+1.96=3.2$
3. 总组内离差平方和：$S=S_1+S_2=2+3.2=5.2$
【答案】
A
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题重点考查对基础统计概念的理解和运算能力，计算时只要准确求出各组平均数，再按定义计算平方和即可，计算过程注意细心即可得分。
【难度系数】
0.7
