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16 甲组数据为11,12,13,14,15,乙组数据为12,12,13,14,14.若甲、乙两组数据的方差分别为$s^{2}_{甲}$，$s^{2}_{乙}$，则$s^{2}_{甲}$
＞
$s^{2}_{乙}$（填“＞”“＜”或“=”）答案
16. ＞
解析
【分析】
要比较两组数据的方差大小，首先回忆方差的计算逻辑：先求每组数据的平均数，再代入方差公式分别计算两组的方差，最后对比数值即可。也可先直观观察数据离散程度，甲组数据分布更分散、波动更大，可初步判断甲方差更大，再通过计算验证结论。
【解析】
第一步：计算甲组数据的平均数和方差
$\overline{x}_甲=\frac{11+12+13+14+15}{5}=13$
根据方差公式：
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(11-13)^2+(12-13)^2+(13-13)^2+(14-13)^2+(15-13)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=2$
第二步：计算乙组数据的平均数和方差
$\overline{x}_乙=\frac{12+12+13+14+14}{5}=13$
代入方差公式：
$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(12-13)^2+(12-13)^2+(13-13)^2+(14-13)^2+(14-13)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+0+1+1)=0.8$
第三步：比较大小，因为$2＞0.8$，所以$s^2_甲＞s^2_乙$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 平均数计算
2. 方差计算
3. 方差的意义
【点评】
本题是基础题型，既可以通过代入公式准确计算比较大小，也可直接通过数据离散程度判断波动大小，进而得到方差的大小关系，解题核心是理解方差越大、数据波动越大的性质。
【难度系数】
0.8
要比较两组数据的方差大小，首先回忆方差的计算逻辑：先求每组数据的平均数，再代入方差公式分别计算两组的方差，最后对比数值即可。也可先直观观察数据离散程度，甲组数据分布更分散、波动更大，可初步判断甲方差更大，再通过计算验证结论。
【解析】
第一步：计算甲组数据的平均数和方差
$\overline{x}_甲=\frac{11+12+13+14+15}{5}=13$
根据方差公式：
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(11-13)^2+(12-13)^2+(13-13)^2+(14-13)^2+(15-13)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=2$
第二步：计算乙组数据的平均数和方差
$\overline{x}_乙=\frac{12+12+13+14+14}{5}=13$
代入方差公式：
$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(12-13)^2+(12-13)^2+(13-13)^2+(14-13)^2+(14-13)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+0+1+1)=0.8$
第三步：比较大小，因为$2＞0.8$，所以$s^2_甲＞s^2_乙$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 平均数计算
2. 方差计算
3. 方差的意义
【点评】
本题是基础题型，既可以通过代入公式准确计算比较大小，也可直接通过数据离散程度判断波动大小，进而得到方差的大小关系，解题核心是理解方差越大、数据波动越大的性质。
【难度系数】
0.8
17 [2024 沭阳期末]已知一组数据 $ x_1, x_2, \dots, x_{20} $ 的方差 $ s^2 = \frac{1}{20}[(x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 2)^2 + \dots + (x_{20} - 2)^2] = 14 $，则这组数据的总和为
40
。答案
17. 40
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的定义公式：一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的方差为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$\overline{x}$是这组数据的平均数，$n$是数据的总个数。对比题目给出的方差表达式，可直接得出这组数据的平均数为2，数据总个数为20，题干给出的方差数值14是干扰条件，解题时无需使用。最后根据“数据总和=平均数×数据个数”的关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据方差的定义公式可知，公式中每个数据减去的常数就是这组数据的平均数$\overline{x}$。
对比题目给出的方差表达式$s^2 = \frac{1}{20}[(x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2 + \dots + (x_{20} - 2)^2] = 14$，可得：
这组数据的平均数$\overline{x}=2$，数据总个数$n=20$。
因此这组数据的总和为$\overline{x} × n = 2 × 20 = 40$。
【答案】
40
【知识点】
方差的定义；平均数的应用
【点评】
本题核心考查对方差公式结构的理解，解题的关键是准确识别方差公式中平均数的位置，注意排除题干中多余的干扰数值，整体考查形式比较基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆方差的定义公式：一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的方差为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$\overline{x}$是这组数据的平均数，$n$是数据的总个数。对比题目给出的方差表达式，可直接得出这组数据的平均数为2，数据总个数为20，题干给出的方差数值14是干扰条件，解题时无需使用。最后根据“数据总和=平均数×数据个数”的关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据方差的定义公式可知，公式中每个数据减去的常数就是这组数据的平均数$\overline{x}$。
对比题目给出的方差表达式$s^2 = \frac{1}{20}[(x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2 + \dots + (x_{20} - 2)^2] = 14$，可得：
这组数据的平均数$\overline{x}=2$，数据总个数$n=20$。
因此这组数据的总和为$\overline{x} × n = 2 × 20 = 40$。
【答案】
40
【知识点】
方差的定义；平均数的应用
【点评】
本题核心考查对方差公式结构的理解，解题的关键是准确识别方差公式中平均数的位置，注意排除题干中多余的干扰数值，整体考查形式比较基础。
【难度系数】
0.8
18 李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一名学生的成绩，且剩余学生的成绩（单位:分）如下:5,6,6,7,7,7,8,9,9.但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第一四分位数，则这10名学生的成绩的方差为
$\frac{8}{5}$
.答案
18. $\frac{8}{5}$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先确定遗失的成绩$x$的值，第二步利用方差公式计算10名学生成绩的方差。首先，第一四分位数即第25百分位数，对于10个数据，第25百分位数的位置为$10×25\%=2.5$，向上取整为3，即排序后第3个数据为第一四分位数。结合已知的9个成绩，推断出$x$的取值；再计算10个数据的平均数，最后代入方差公式求解即可。
【解析】
设遗失的学生成绩为$x$分。
1. 求$x$的值：
10名学生成绩的第一四分位数为第25百分位数，计算位置：$10×25\%=2.5$，向上取整得3，即从小到大排序后第3个数据为第一四分位数。
已知剩余9个成绩从小到大排序为：5,6,6,7,7,7,8,9,9，且$x$是第一四分位数，只有当$x=6$时，加入$x$后排序的第3个数据为6，符合第一四分位数的要求。
2. 计算方差：
10个成绩为：5,6,6,6,7,7,7,8,9,9。
先计算平均数：$\bar{x}=\frac{5+6+6+6+7+7+7+8+9+9}{10}=\frac{70}{10}=7$
再代入方差公式计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{10}×[(5-7)^2+3×(6-7)^2+3×(7-7)^2+(8-7)^2+2×(9-7)^2]\\&=\frac{1}{10}×[4+3×1+0+1+2×4]\\&=\frac{1}{10}×16\\&=\frac{8}{5}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{8}{5}$
【知识点】
四分位数的计算，方差的计算
【点评】
本题结合实际情境考查统计基础概念的应用，解题核心是准确根据四分位数的定义确定未知数据，再代入方差公式计算，需要学生熟练掌握基础统计量的计算规则。
【难度系数】
0.65
解题思路分为两步：第一步先确定遗失的成绩$x$的值，第二步利用方差公式计算10名学生成绩的方差。首先，第一四分位数即第25百分位数，对于10个数据，第25百分位数的位置为$10×25\%=2.5$，向上取整为3，即排序后第3个数据为第一四分位数。结合已知的9个成绩，推断出$x$的取值；再计算10个数据的平均数，最后代入方差公式求解即可。
【解析】
设遗失的学生成绩为$x$分。
1. 求$x$的值：
10名学生成绩的第一四分位数为第25百分位数，计算位置：$10×25\%=2.5$，向上取整得3，即从小到大排序后第3个数据为第一四分位数。
已知剩余9个成绩从小到大排序为：5,6,6,7,7,7,8,9,9，且$x$是第一四分位数，只有当$x=6$时，加入$x$后排序的第3个数据为6，符合第一四分位数的要求。
2. 计算方差：
10个成绩为：5,6,6,6,7,7,7,8,9,9。
先计算平均数：$\bar{x}=\frac{5+6+6+6+7+7+7+8+9+9}{10}=\frac{70}{10}=7$
再代入方差公式计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{10}×[(5-7)^2+3×(6-7)^2+3×(7-7)^2+(8-7)^2+2×(9-7)^2]\\&=\frac{1}{10}×[4+3×1+0+1+2×4]\\&=\frac{1}{10}×16\\&=\frac{8}{5}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{8}{5}$
【知识点】
四分位数的计算，方差的计算
【点评】
本题结合实际情境考查统计基础概念的应用，解题核心是准确根据四分位数的定义确定未知数据，再代入方差公式计算，需要学生熟练掌握基础统计量的计算规则。
【难度系数】
0.65
19 [2025 沭阳段考]小明等五名同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后这五名同学年龄的方差
不变
（填“不变”“增大”或“减小”）。答案
19. 不变
解析
【分析】
要判断10年后年龄的方差变化，首先回忆方差的定义：方差是反映一组数据波动大小的量，计算时需要用到各数据与平均数的差的平方的平均数。我们可以先设出原来的年龄数据和平均数，再推导10年后新数据的平均数和方差，对比原方差即可得到结论。
【解析】
设原来5名同学的年龄分别为$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$，原数据的平均数为$\overline{x}$，根据题意原方差为：
$s^2=\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2+(x_5-\overline{x})^2]=0.5$
10年后每名同学的年龄变为$x_1+10,x_2+10,x_3+10,x_4+10,x_5+10$，此时新数据的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{5}[(x_1+10)+(x_2+10)+(x_3+10)+(x_4+10)+(x_5+10)]=\overline{x}+10$
新数据的方差为：
$s'^2=\frac{1}{5}[(x_1+10-(\overline{x}+10))^2+(x_2+10-(\overline{x}+10))^2+\dots+(x_5+10-(\overline{x}+10))^2]$
化简后每个括号内的项均为$x_i-\overline{x}$，因此：
$s'^2=\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_5-\overline{x})^2]=s^2=0.5$
因此10年后这五名同学年龄的方差不变。
【答案】
不变
【知识点】
方差的计算；方差的性质
【点评】
本题考查方差的性质应用，解题关键是明确当一组数据每个数据都加上（或减去）同一个常数时，数据的波动程度不变，因此方差不变，牢记该性质可快速解答此类题型。
【难度系数】
0.8
要判断10年后年龄的方差变化，首先回忆方差的定义：方差是反映一组数据波动大小的量，计算时需要用到各数据与平均数的差的平方的平均数。我们可以先设出原来的年龄数据和平均数，再推导10年后新数据的平均数和方差，对比原方差即可得到结论。
【解析】
设原来5名同学的年龄分别为$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$，原数据的平均数为$\overline{x}$，根据题意原方差为：
$s^2=\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2+(x_5-\overline{x})^2]=0.5$
10年后每名同学的年龄变为$x_1+10,x_2+10,x_3+10,x_4+10,x_5+10$，此时新数据的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{5}[(x_1+10)+(x_2+10)+(x_3+10)+(x_4+10)+(x_5+10)]=\overline{x}+10$
新数据的方差为：
$s'^2=\frac{1}{5}[(x_1+10-(\overline{x}+10))^2+(x_2+10-(\overline{x}+10))^2+\dots+(x_5+10-(\overline{x}+10))^2]$
化简后每个括号内的项均为$x_i-\overline{x}$，因此：
$s'^2=\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_5-\overline{x})^2]=s^2=0.5$
因此10年后这五名同学年龄的方差不变。
【答案】
不变
【知识点】
方差的计算；方差的性质
【点评】
本题考查方差的性质应用，解题关键是明确当一组数据每个数据都加上（或减去）同一个常数时，数据的波动程度不变，因此方差不变，牢记该性质可快速解答此类题型。
【难度系数】
0.8
20 [2024兰州]甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩(单位:环)如图所示。现有下列推断:① 甲的成绩更稳定；② 乙的平均成绩更高；③ 每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高。其中，正确的是
①②
(填序号)。答案
20. ①②
解析
【分析】
解决本题需要结合折线统计图的特点，逐一分析三个推断：1. 判断稳定性：看成绩的波动大小，波动越小，方差越小，成绩越稳定；2. 判断平均成绩高低：可提取两人10次的成绩分别计算平均数比较，也可通过数据分布规律直接判断；3. 判断“一定”类表述：射击结果属于随机事件，不存在绝对的高低，带绝对化表述的推断大概率错误。
【解析】
1. 分析推断①：观察折线统计图，甲的成绩波动范围在2.5环到5环之间，波动幅度很小；乙的成绩波动范围在2.5环到9.5环之间，波动幅度很大。根据方差的意义，数据波动越小成绩越稳定，因此甲的成绩更稳定，①正确。
2. 分析推断②：计算两人平均成绩：
甲10次成绩分别为：3.5、4、4.5、5、4、5、4、2.5、4.5、2.5，平均数为$\frac{3.5+4+4.5+5+4+5+4+2.5+4.5+2.5}{10}=3.95$环；
乙10次成绩分别为：5、7.5、8.5、7、5、9.5、2.5、3.5、5、7.5，平均数为$\frac{5+7.5+8.5+7+5+9.5+2.5+3.5+5+7.5}{10}=6.1$环；
显然乙的平均成绩更高，②正确。
3. 分析推断③：射击成绩属于随机事件，每人再射击一次的结果是不确定的，无法保证乙的成绩一定比甲高，③错误。
综上，正确的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
折线统计图的应用，平均数的计算，方差的意义
【点评】
本题考查统计知识在实际问题中的应用，需要学会从折线统计图中提取有效信息，理解平均数反映数据的平均水平、方差反映数据的波动程度，同时要明确随机事件的结果具有不确定性，不能做出绝对化的判断。
【难度系数】
0.7
解决本题需要结合折线统计图的特点，逐一分析三个推断：1. 判断稳定性：看成绩的波动大小，波动越小，方差越小，成绩越稳定；2. 判断平均成绩高低：可提取两人10次的成绩分别计算平均数比较，也可通过数据分布规律直接判断；3. 判断“一定”类表述：射击结果属于随机事件，不存在绝对的高低，带绝对化表述的推断大概率错误。
【解析】
1. 分析推断①：观察折线统计图，甲的成绩波动范围在2.5环到5环之间，波动幅度很小；乙的成绩波动范围在2.5环到9.5环之间，波动幅度很大。根据方差的意义，数据波动越小成绩越稳定，因此甲的成绩更稳定，①正确。
2. 分析推断②：计算两人平均成绩：
甲10次成绩分别为：3.5、4、4.5、5、4、5、4、2.5、4.5、2.5，平均数为$\frac{3.5+4+4.5+5+4+5+4+2.5+4.5+2.5}{10}=3.95$环；
乙10次成绩分别为：5、7.5、8.5、7、5、9.5、2.5、3.5、5、7.5，平均数为$\frac{5+7.5+8.5+7+5+9.5+2.5+3.5+5+7.5}{10}=6.1$环；
显然乙的平均成绩更高，②正确。
3. 分析推断③：射击成绩属于随机事件，每人再射击一次的结果是不确定的，无法保证乙的成绩一定比甲高，③错误。
综上，正确的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
折线统计图的应用，平均数的计算，方差的意义
【点评】
本题考查统计知识在实际问题中的应用，需要学会从折线统计图中提取有效信息，理解平均数反映数据的平均水平、方差反映数据的波动程度，同时要明确随机事件的结果具有不确定性，不能做出绝对化的判断。
【难度系数】
0.7
21 一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是 （
A.6
B.5
C.4
D.3
B
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
21. B
解析
【分析】
解题时需依次运用中位数、众数的定义确定x的取值，再计算平均数。第一步，回忆4个数据的中位数是排序后第2、3个数据的平均数，结合中位数为6的条件可推导x的取值范围；第二步，根据“有唯一众数”的要求，即存在出现次数最多的唯一数据，确定x的准确值；第三步，代入平均数公式计算结果即可。
【解析】
1. 利用中位数求x的取值范围：
这组数据共4个，按从小到大排序后，中位数为第2、3个数据的平均数。已知中位数是6，因此第2、3个数据的和为$6×2=12$。
若$x＜5$，排序后为1、x、5、7，中位数为$\frac{x+5}{2}=6$，解得$x=7$，矛盾，故排除；
若$5≤ x≤7$，排序后为1、5、x、7，中位数为$\frac{5+x}{2}=6$，解得$x=7$；
若$x＞7$，排序后为1、5、7、x，中位数为$\frac{5+7}{2}=6$，符合中位数要求。
2. 利用唯一众数确定x的值：
众数是一组数据中出现次数最多的数，题目要求有唯一众数，因此x必须等于已有数据（否则所有数据都只出现1次，无众数）。结合上述x的取值范围，仅$x=7$符合要求，此时数据为1、5、7、7，众数为7，唯一。
3. 计算平均数：
平均数$\bar{x}=\frac{1+5+7+7}{4}=\frac{20}{4}=5$。
【答案】
B
【知识点】
中位数的计算；众数的概念；平均数的计算
【点评】
本题综合考查了统计特征数的应用，解题时要注意结合多个限定条件逐步推导未知数的取值，不要遗漏“唯一众数”这一隐含要求，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时需依次运用中位数、众数的定义确定x的取值，再计算平均数。第一步，回忆4个数据的中位数是排序后第2、3个数据的平均数，结合中位数为6的条件可推导x的取值范围；第二步，根据“有唯一众数”的要求，即存在出现次数最多的唯一数据，确定x的准确值；第三步，代入平均数公式计算结果即可。
【解析】
1. 利用中位数求x的取值范围：
这组数据共4个，按从小到大排序后，中位数为第2、3个数据的平均数。已知中位数是6，因此第2、3个数据的和为$6×2=12$。
若$x＜5$，排序后为1、x、5、7，中位数为$\frac{x+5}{2}=6$，解得$x=7$，矛盾，故排除；
若$5≤ x≤7$，排序后为1、5、x、7，中位数为$\frac{5+x}{2}=6$，解得$x=7$；
若$x＞7$，排序后为1、5、7、x，中位数为$\frac{5+7}{2}=6$，符合中位数要求。
2. 利用唯一众数确定x的值：
众数是一组数据中出现次数最多的数，题目要求有唯一众数，因此x必须等于已有数据（否则所有数据都只出现1次，无众数）。结合上述x的取值范围，仅$x=7$符合要求，此时数据为1、5、7、7，众数为7，唯一。
3. 计算平均数：
平均数$\bar{x}=\frac{1+5+7+7}{4}=\frac{20}{4}=5$。
【答案】
B
【知识点】
中位数的计算；众数的概念；平均数的计算
【点评】
本题综合考查了统计特征数的应用，解题时要注意结合多个限定条件逐步推导未知数的取值，不要遗漏“唯一众数”这一隐含要求，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
22 [2025泗阳一模]数学小组对校足球社团的20名成员进行年龄调查，结果如下表(其中有部分数据被墨迹遮挡)：
关于这20名成员年龄的统计量，仍能够分析得出的是 （
A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
关于这20名成员年龄的统计量，仍能够分析得出的是 （
C
）A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
答案
22. C
解析
【分析】首先计算被遮挡的13岁和14岁的总人数为$20-5-6=9$人，再结合各统计量的定义逐一判断：平均数需要总年龄才能计算，13、14岁具体人数未知，总年龄无法确定；众数是出现次数最多的数，13岁人数可能大于6，也可能小于等于6，无法确定众数；20个数据的中位数是排序后第10、11个数据的平均数，前11个数据中第6到11个都是12岁，因此第10、11个数据均为12，中位数可确定；方差计算依赖平均数，平均数不确定则方差也无法确定，最终判断可得出的是中位数。
【解析】
解：已知校足球社团总共有20名成员，首先计算13岁和14岁的总人数：
$20 - 5 - 6 = 9$（人）
对各选项逐一分析：
A. 平均数等于所有成员年龄总和除以总人数，由于13岁、14岁的具体人数未知，无法求出年龄总和，因此平均数无法确定，A错误；
B. 众数是一组数据中出现次数最多的数，若13岁人数大于6，则众数为13；若13岁人数小于等于6，则众数为12，无法确定众数，B错误；
C. 20个数据按从小到大排序后，中位数为第10个和第11个数据的平均数。其中11岁的5人对应第1~5个数据，12岁的6人对应第6~11个数据，因此第10、11个数据均为12，中位数为$\frac{12+12}{2}=12$，可以确定，C正确；
D. 方差的计算需要用到平均数和各个数据的具体分布，平均数无法确定，因此方差也无法确定，D错误。
【答案】C
【知识点】中位数的定义；统计量的判断
【点评】本题考查常见统计量的含义和计算条件，解题的关键是理解中位数仅与数据排序后的中间位置数值有关，不需要掌握所有数据的具体情况，同时要区分平均数、众数、方差的计算要求。
【难度系数】0.7
【解析】
解：已知校足球社团总共有20名成员，首先计算13岁和14岁的总人数：
$20 - 5 - 6 = 9$（人）
对各选项逐一分析：
A. 平均数等于所有成员年龄总和除以总人数，由于13岁、14岁的具体人数未知，无法求出年龄总和，因此平均数无法确定，A错误；
B. 众数是一组数据中出现次数最多的数，若13岁人数大于6，则众数为13；若13岁人数小于等于6，则众数为12，无法确定众数，B错误；
C. 20个数据按从小到大排序后，中位数为第10个和第11个数据的平均数。其中11岁的5人对应第1~5个数据，12岁的6人对应第6~11个数据，因此第10、11个数据均为12，中位数为$\frac{12+12}{2}=12$，可以确定，C正确；
D. 方差的计算需要用到平均数和各个数据的具体分布，平均数无法确定，因此方差也无法确定，D错误。
【答案】C
【知识点】中位数的定义；统计量的判断
【点评】本题考查常见统计量的含义和计算条件，解题的关键是理解中位数仅与数据排序后的中间位置数值有关，不需要掌握所有数据的具体情况，同时要区分平均数、众数、方差的计算要求。
【难度系数】0.7
23 第1组数据为0,0,0,1,1,1,第2组数据为0,0,…,0,1,1,…,1,其中m,n是正整数.有下列结论:①当$m=n$时,两组数据的平均数相等;②当$m＞n$时,第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数;③当$m＜n$时,第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数;④当$m=n$时,第2组数据的方差小于第1组数据的方差.其中,正确的是（
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
B
）A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
答案
23. B
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先分别求出两组数据的平均数、中位数、方差的表达式，再结合每个结论给出的m、n的大小关系逐一验证结论是否正确，最终选出所有正确结论对应的选项。具体思路为：①先计算固定的第一组数据的平均数、中位数、方差；②推导第二组数据三个统计量的通用表达式；③针对四个结论分别代入条件比较大小，判断正误。
【解析】
首先计算第1组数据的相关统计量：
第1组数据为0,0,0,1,1,1，共6个数据。
平均数：$\bar{x}_1 = \frac{3×0 + 3×1}{6} = 0.5$
中位数：排序后第3、4个数据分别为0和1，故中位数为$\frac{0+1}{2}=0.5$
方差：$s_1^2 = \frac{1}{6}[3×(0-0.5)^2 + 3×(1-0.5)^2] = 0.25$
再推导第2组数据（m个0，n个1，共$m+n$个数据）的相关统计量：
平均数：$\bar{x}_2 = \frac{m×0 + n×1}{m+n} = \frac{n}{m+n}$
中位数：排序后前m个为0，后n个为1：当$m＜n$时，中间位置超过第m个数据，故中位数为1；当$m=n$时，中间位置跨0和1的分界，故中位数为0.5。
方差：代入平均数公式化简可得$s_2^2 = \frac{mn}{(m+n)^2}$
逐个判断结论：
①当$m=n$时，$\bar{x}_2 = \frac{n}{n+n}=0.5 = \bar{x}_1$，两组平均数相等，①正确；
②当$m＞n$时，$\bar{x}_2 = \frac{n}{m+n} ＜ \frac{n}{n+n}=0.5 = \bar{x}_1$，即第1组平均数大于第2组，②错误；
③当$m＜n$时，第2组中位数为1，大于第1组的中位数0.5，即第1组中位数小于第2组，③正确；
④当$m=n$时，$s_2^2 = \frac{m× m}{(m+m)^2} = 0.25 = s_1^2$，两组方差相等，④错误。
综上，正确的是①③，选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算，中位数计算，方差计算
【点评】
本题核心考查统计中常见特征量的计算与应用，需要熟练掌握各统计量的计算公式，结合条件分类讨论即可判断结论正误，是统计部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要先分别求出两组数据的平均数、中位数、方差的表达式，再结合每个结论给出的m、n的大小关系逐一验证结论是否正确，最终选出所有正确结论对应的选项。具体思路为：①先计算固定的第一组数据的平均数、中位数、方差；②推导第二组数据三个统计量的通用表达式；③针对四个结论分别代入条件比较大小，判断正误。
【解析】
首先计算第1组数据的相关统计量：
第1组数据为0,0,0,1,1,1，共6个数据。
平均数：$\bar{x}_1 = \frac{3×0 + 3×1}{6} = 0.5$
中位数：排序后第3、4个数据分别为0和1，故中位数为$\frac{0+1}{2}=0.5$
方差：$s_1^2 = \frac{1}{6}[3×(0-0.5)^2 + 3×(1-0.5)^2] = 0.25$
再推导第2组数据（m个0，n个1，共$m+n$个数据）的相关统计量：
平均数：$\bar{x}_2 = \frac{m×0 + n×1}{m+n} = \frac{n}{m+n}$
中位数：排序后前m个为0，后n个为1：当$m＜n$时，中间位置超过第m个数据，故中位数为1；当$m=n$时，中间位置跨0和1的分界，故中位数为0.5。
方差：代入平均数公式化简可得$s_2^2 = \frac{mn}{(m+n)^2}$
逐个判断结论：
①当$m=n$时，$\bar{x}_2 = \frac{n}{n+n}=0.5 = \bar{x}_1$，两组平均数相等，①正确；
②当$m＞n$时，$\bar{x}_2 = \frac{n}{m+n} ＜ \frac{n}{n+n}=0.5 = \bar{x}_1$，即第1组平均数大于第2组，②错误；
③当$m＜n$时，第2组中位数为1，大于第1组的中位数0.5，即第1组中位数小于第2组，③正确；
④当$m=n$时，$s_2^2 = \frac{m× m}{(m+m)^2} = 0.25 = s_1^2$，两组方差相等，④错误。
综上，正确的是①③，选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算，中位数计算，方差计算
【点评】
本题核心考查统计中常见特征量的计算与应用，需要熟练掌握各统计量的计算公式，结合条件分类讨论即可判断结论正误，是统计部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
24 某次化学测验满分为60分，其中九年级(1)班成绩的平均数为43分，方差为9。若把每名同学的成绩按100分进行换算，则换算后该班化学测验的成绩的方差为
25
。答案
24. 25 【解析】把每名同学的成绩按100分进行换算后,每名同学的成绩是原来成绩的$\frac{100}{60}$倍,即$\frac{5}{3}$倍,因此换算后该班化学测验的成绩的方差为$(\frac{5}{3})^2 × 9=25$.
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，明确分数换算规则，满分从60分调整为100分，说明每名学生的原始成绩都要乘以$\frac{100}{60}=\frac{5}{3}$得到换算后的成绩；第二步，回忆方差的性质：当一组数据中的每个数据都乘以同一个常数$k$时，新数据的方差等于原方差乘以$k^2$；第三步，将已知的原方差和换算倍数代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：首先计算成绩的缩放系数：
将满分60分换算为100分，每个成绩的缩放系数 $k=\frac{100}{60}=\frac{5}{3}$。
根据方差的性质：若一组数据的方差为$s^2$，将这组数据的每个数据都乘以常数$k$，得到的新数据的方差为$k^2s^2$。
已知原成绩的方差$s^2=9$，因此换算后成绩的方差为：
$(\frac{5}{3})^2 × 9 = \frac{25}{9} × 9 =25$。
【答案】
25
【知识点】
方差的性质；数据缩放的方差计算
【点评】
本题考查方差的变化规律，解题核心是牢记数据缩放时方差的变化特点，易错点是容易误将方差直接乘缩放系数，忽略需要乘系数的平方，掌握方差的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：第一步，明确分数换算规则，满分从60分调整为100分，说明每名学生的原始成绩都要乘以$\frac{100}{60}=\frac{5}{3}$得到换算后的成绩；第二步，回忆方差的性质：当一组数据中的每个数据都乘以同一个常数$k$时，新数据的方差等于原方差乘以$k^2$；第三步，将已知的原方差和换算倍数代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：首先计算成绩的缩放系数：
将满分60分换算为100分，每个成绩的缩放系数 $k=\frac{100}{60}=\frac{5}{3}$。
根据方差的性质：若一组数据的方差为$s^2$，将这组数据的每个数据都乘以常数$k$，得到的新数据的方差为$k^2s^2$。
已知原成绩的方差$s^2=9$，因此换算后成绩的方差为：
$(\frac{5}{3})^2 × 9 = \frac{25}{9} × 9 =25$。
【答案】
25
【知识点】
方差的性质；数据缩放的方差计算
【点评】
本题考查方差的变化规律，解题核心是牢记数据缩放时方差的变化特点，易错点是容易误将方差直接乘缩放系数，忽略需要乘系数的平方，掌握方差的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
