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25 将以下10个数据1,9,12,3,2,11,10,4,7,13按数值大小排序后,根据组内离差平方和最小的原则分为两组,最佳的分割点在第
4
个数据点之后.答案
25. 4
解析
【分析】
解决这道题需要分三步思考：第一步先将给定的10个数据按从小到大的顺序排序，这是分组的前提；第二步明确组内离差平方和的计算规则，总离差平方和为两组各自离差平方和的和，分组原则是总离差平方和越小越好；第三步依次尝试所有可能的分割点（第k个数据后分割，k取1~9），计算每个分割点对应的总离差平方和，找到总离差平方和最小时对应的k值即可。
【解析】
1. 先将10个数据从小到大排序，得到：1，2，3，4，7，9，10，11，12，13。
2. 离差平方和计算规则：对于一组数据$x_1,x_2,...,x_n$，组平均数为$\bar{x}$，组内离差平方和$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$。
3. 计算不同分割点的总离差平方和：
当分割点在第4个数据后时：
第一组为1、2、3、4，平均数$\bar{x}_1=(1+2+3+4)÷4=2.5$，离差平方和$S_1=(1-2.5)^2+(2-2.5)^2+(3-2.5)^2+(4-2.5)^2=5$；
第二组为7、9、10、11、12、13，平均数$\bar{x}_2=(7+9+10+11+12+13)÷6=\frac{31}{3}$，离差平方和$S_2=(7-\frac{31}{3})^2+(9-\frac{31}{3})^2+(10-\frac{31}{3})^2+(11-\frac{31}{3})^2+(12-\frac{31}{3})^2+(13-\frac{31}{3})^2=\frac{70}{3}\approx23.33$；
总离差平方和$S=S_1+S_2\approx28.33$。
对比其他分割点的总离差平方和：分割点在第3个后时总离差平方和约为59.71，分割点在第5个后时总离差平方和为31.2，均大于28.33。
因此总离差平方和最小时的分割点在第4个数据之后。
【答案】
4
【知识点】
数据排序；离差平方和；最优分组
【点评】
本题属于统计类计算问题，核心是理解离差平方和的统计意义，解题逻辑清晰，主要易错点是排序错误或平方计算失误，计算时注意核对运算结果即可。
【难度系数】
0.6
解决这道题需要分三步思考：第一步先将给定的10个数据按从小到大的顺序排序，这是分组的前提；第二步明确组内离差平方和的计算规则，总离差平方和为两组各自离差平方和的和，分组原则是总离差平方和越小越好；第三步依次尝试所有可能的分割点（第k个数据后分割，k取1~9），计算每个分割点对应的总离差平方和，找到总离差平方和最小时对应的k值即可。
【解析】
1. 先将10个数据从小到大排序，得到：1，2，3，4，7，9，10，11，12，13。
2. 离差平方和计算规则：对于一组数据$x_1,x_2,...,x_n$，组平均数为$\bar{x}$，组内离差平方和$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$。
3. 计算不同分割点的总离差平方和：
当分割点在第4个数据后时：
第一组为1、2、3、4，平均数$\bar{x}_1=(1+2+3+4)÷4=2.5$，离差平方和$S_1=(1-2.5)^2+(2-2.5)^2+(3-2.5)^2+(4-2.5)^2=5$；
第二组为7、9、10、11、12、13，平均数$\bar{x}_2=(7+9+10+11+12+13)÷6=\frac{31}{3}$，离差平方和$S_2=(7-\frac{31}{3})^2+(9-\frac{31}{3})^2+(10-\frac{31}{3})^2+(11-\frac{31}{3})^2+(12-\frac{31}{3})^2+(13-\frac{31}{3})^2=\frac{70}{3}\approx23.33$；
总离差平方和$S=S_1+S_2\approx28.33$。
对比其他分割点的总离差平方和：分割点在第3个后时总离差平方和约为59.71，分割点在第5个后时总离差平方和为31.2，均大于28.33。
因此总离差平方和最小时的分割点在第4个数据之后。
【答案】
4
【知识点】
数据排序；离差平方和；最优分组
【点评】
本题属于统计类计算问题，核心是理解离差平方和的统计意义，解题逻辑清晰，主要易错点是排序错误或平方计算失误，计算时注意核对运算结果即可。
【难度系数】
0.6
26 [2025 福建]甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员. 以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息.
信息一:甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位:分)
其中,甲、乙成绩数据的平均数分别是$\bar{x}_甲=85,\bar{x}_乙=85$;方差分别是$s^2_甲=58.4,s^2_乙=a$.
信息二:当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位:分)
试根据以上信息及你所学的统计学知识,解决以下问题:
(1) 计算$a$的值,并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价.
(2) 计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数.
(3) 若要从中选择一人参加高中数学联赛,你认为选谁更合适?为什么?
信息一:甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位:分)
其中,甲、乙成绩数据的平均数分别是$\bar{x}_甲=85,\bar{x}_乙=85$;方差分别是$s^2_甲=58.4,s^2_乙=a$.
信息二:当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位:分)
试根据以上信息及你所学的统计学知识,解决以下问题:
(1) 计算$a$的值,并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价.
(2) 计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数.
(3) 若要从中选择一人参加高中数学联赛,你认为选谁更合适?为什么?
答案
26. (1) 由题意,得$a=\frac{1}{10}×[2×(82-85)^2+2×(83-85)^2+(84-85)^2+(85-85)^2+2×(86-85)^2+(87-85)^2+(92-85)^2]=8.2$.
$\because \bar{x}_甲=\bar{x}_乙=85,58.4＞8.2$,即两人的平均成绩相同,乙的方差比甲小,$\therefore$ 乙的成绩更稳定
(2) 当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数为$\frac{90+89+90+89+90}{5}=89.6$(分)
(3) 选甲更合适 $\because$ 在两人的10次测试中,甲有4次超过89.6分,乙只有1次超过89.6分,$\therefore$ 甲获奖的可能性更大,$\therefore$ 选甲更合适
$\because \bar{x}_甲=\bar{x}_乙=85,58.4＞8.2$,即两人的平均成绩相同,乙的方差比甲小,$\therefore$ 乙的成绩更稳定
(2) 当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数为$\frac{90+89+90+89+90}{5}=89.6$(分)
(3) 选甲更合适 $\because$ 在两人的10次测试中,甲有4次超过89.6分,乙只有1次超过89.6分,$\therefore$ 甲获奖的可能性更大,$\therefore$ 选甲更合适
解析
【分析】
(1) 求乙的方差$a$时，先回忆方差公式：方差是一组数据中各数据与平均数差的平方的平均数，先整理出乙的10次测试成绩，代入公式即可求出$a$；平均数反映平均水平，方差反映数据的波动程度，平均数相同时，方差越小成绩越稳定，据此即可评价甲乙的成绩。
(2) 求获奖分数线的平均数，直接用算术平均数公式，将5年分数线求和后除以5即可。
(3) 选择参赛人员要结合获奖分数线判断：先统计甲乙两人10次测试中超过获奖平均分数线的次数，次数越多获奖概率越大，即可确定合适的人选。
【解析】
(1) 根据方差计算公式，乙的10次测试成绩平均数为85，代入计算得：
$\begin{aligned}a&=\frac{1}{10}×[2×(82-85)^2+2×(83-85)^2+(84-85)^2+(85-85)^2+2×(86-85)^2+(87-85)^2+(92-85)^2]\\&=\frac{1}{10}×82\\&=8.2\end{aligned}$
已知$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=85$，$s^2_甲=58.4＞s^2_乙=8.2$，说明甲乙两人平均成绩相同，乙的方差更小，成绩更稳定。
(2) 近五年获奖分数线分别为90、89、90、89、90，其平均数为：
$\frac{90+89+90+89+90}{5}=89.6 \mathrm{（分）}$
(3) 选甲更合适。统计两人10次成绩：甲有4次超过获奖平均分数线89.6分，乙仅1次超过该分数线，说明甲达到获奖分数线的可能性更大，因此选甲更合适。
【答案】
(1) $a=8.2$，两人平均成绩相同，乙的成绩更稳定；
(2) 89.6分；
(3) 选甲更合适，因为甲超过获奖分数线的次数更多，获奖可能性更大。
【知识点】
方差计算，平均数计算，统计决策
【点评】
本题结合竞赛选拔的实际场景，考查了统计中平均数、方差的基础计算，以及用统计知识解决实际决策问题的能力，解题时需结合实际需求选择统计量分析，避免仅依据稳定性做决策的思维定势。
【难度系数】
0.7
(1) 求乙的方差$a$时，先回忆方差公式：方差是一组数据中各数据与平均数差的平方的平均数，先整理出乙的10次测试成绩，代入公式即可求出$a$；平均数反映平均水平，方差反映数据的波动程度，平均数相同时，方差越小成绩越稳定，据此即可评价甲乙的成绩。
(2) 求获奖分数线的平均数，直接用算术平均数公式，将5年分数线求和后除以5即可。
(3) 选择参赛人员要结合获奖分数线判断：先统计甲乙两人10次测试中超过获奖平均分数线的次数，次数越多获奖概率越大，即可确定合适的人选。
【解析】
(1) 根据方差计算公式，乙的10次测试成绩平均数为85，代入计算得：
$\begin{aligned}a&=\frac{1}{10}×[2×(82-85)^2+2×(83-85)^2+(84-85)^2+(85-85)^2+2×(86-85)^2+(87-85)^2+(92-85)^2]\\&=\frac{1}{10}×82\\&=8.2\end{aligned}$
已知$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=85$，$s^2_甲=58.4＞s^2_乙=8.2$，说明甲乙两人平均成绩相同，乙的方差更小，成绩更稳定。
(2) 近五年获奖分数线分别为90、89、90、89、90，其平均数为：
$\frac{90+89+90+89+90}{5}=89.6 \mathrm{（分）}$
(3) 选甲更合适。统计两人10次成绩：甲有4次超过获奖平均分数线89.6分，乙仅1次超过该分数线，说明甲达到获奖分数线的可能性更大，因此选甲更合适。
【答案】
(1) $a=8.2$，两人平均成绩相同，乙的成绩更稳定；
(2) 89.6分；
(3) 选甲更合适，因为甲超过获奖分数线的次数更多，获奖可能性更大。
【知识点】
方差计算，平均数计算，统计决策
【点评】
本题结合竞赛选拔的实际场景，考查了统计中平均数、方差的基础计算，以及用统计知识解决实际决策问题的能力，解题时需结合实际需求选择统计量分析，避免仅依据稳定性做决策的思维定势。
【难度系数】
0.7
