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1.(泰兴期末)如图,点Q在线段AC上由点A向点C匀速运动,速度为a cm/s,设运动时间为t s, CQ=y cm,y与t的函数图象经过点(3,2)和(1,6),则a的值为
2
。答案
1. 2
解析
【分析】
点Q从A向C匀速运动时，CQ的长度y随运动时间t的增大而减小，y与t满足一次函数关系。解题时可以先找到两个时刻对应的时间差和CQ的长度差，CQ缩短的长度就是点Q在这段时间运动的路程，再根据“速度=路程÷时间”即可求出a的值；也可以先用待定系数法求出y与t的函数解析式，结合一次函数斜率的实际意义得到速度。
【解析】
解法1：由题意可知，t=1s时，CQ=6cm；t=3s时，CQ=2cm。
这段时间的时长为：$3-1=2(\mathrm{s})$
点Q运动的路程等于CQ缩短的长度：$6-2=4(\mathrm{cm})$
根据匀速运动速度公式，可得$a=\frac{4}{2}=2(\mathrm{cm/s})$。
解法2：设y与t的函数解析式为$y=kt+b(k≠0)$，将点$(1,6)$和$(3,2)$代入解析式，得：
$\begin{cases} k+b=6 \\ 3k+b=2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=-4$，解得$k=-2$。
将$k=-2$代入$k+b=6$，得$b=8$，即$y=-2t+8$。
一次项系数为-2，说明每过1s，CQ的长度减少2cm，即点Q的运动速度$a=2\mathrm{cm/s}$。
【答案】
2
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；匀速运动计算
【点评】
本题结合动点运动场景考查一次函数的实际应用，核心是理解函数图象上点的坐标对应的实际意义，打通图象数据和实际运动路程、时间的联系，解题方法灵活，既可以通过坐标差直接计算，也可以通过求函数解析式求解，侧重考查对函数图象的解读能力。
【难度系数】
0.8
点Q从A向C匀速运动时，CQ的长度y随运动时间t的增大而减小，y与t满足一次函数关系。解题时可以先找到两个时刻对应的时间差和CQ的长度差，CQ缩短的长度就是点Q在这段时间运动的路程，再根据“速度=路程÷时间”即可求出a的值；也可以先用待定系数法求出y与t的函数解析式，结合一次函数斜率的实际意义得到速度。
【解析】
解法1：由题意可知，t=1s时，CQ=6cm；t=3s时，CQ=2cm。
这段时间的时长为：$3-1=2(\mathrm{s})$
点Q运动的路程等于CQ缩短的长度：$6-2=4(\mathrm{cm})$
根据匀速运动速度公式，可得$a=\frac{4}{2}=2(\mathrm{cm/s})$。
解法2：设y与t的函数解析式为$y=kt+b(k≠0)$，将点$(1,6)$和$(3,2)$代入解析式，得：
$\begin{cases} k+b=6 \\ 3k+b=2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=-4$，解得$k=-2$。
将$k=-2$代入$k+b=6$，得$b=8$，即$y=-2t+8$。
一次项系数为-2，说明每过1s，CQ的长度减少2cm，即点Q的运动速度$a=2\mathrm{cm/s}$。
【答案】
2
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；匀速运动计算
【点评】
本题结合动点运动场景考查一次函数的实际应用，核心是理解函数图象上点的坐标对应的实际意义，打通图象数据和实际运动路程、时间的联系，解题方法灵活，既可以通过坐标差直接计算，也可以通过求函数解析式求解，侧重考查对函数图象的解读能力。
【难度系数】
0.8
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=3 cm,动点P从点A出发,以√2 cm/s的速度沿AB方向运动到点B,动点Q同时从点A出发,以1 cm/s的速度沿A→C→B方向运动到点B.设△APQ的面积为y(cm²),运动时间为x(s),当点Q在BC上运动时,y与x之间的函数表达式为
$y=-\frac{3}{2}x+9(3＜x≤6)$
.答案
2. $y=-\frac{3}{2}x+9(3＜x≤6)$
解析
【分析】
要得到Q在BC上运动时y与x的函数表达式，首先先确定该阶段x的取值范围：先计算Q从A到C的时间，得到Q进入BC段的最小x值，再计算Q到B的时间得到最大x值；其次判断该时间段内动点P的位置：先计算AB长度，再求P到B的时间，可知x＞3时P已到达B点，AP为固定的AB长度；接着求Q到AB的高：根据Q在BC上的运动路程得到BQ的长度，利用等腰直角三角形的性质求出Q到AB的垂线段长度；最后代入三角形面积公式化简即可得到函数表达式，同时标注x的取值范围。
【解析】
解：①先确定Q在BC上时x的取值范围：
已知Q的速度为1cm/s，AC=3cm，因此Q从A运动到C的时间为$3÷1=3(\mathrm{s})$；Q从A到B的总路程为$AC+BC=6\mathrm{cm}$，总运动时间为$6÷1=6(\mathrm{s})$，因此Q在BC上运动时，$3＜x≤6$。
②判断该时间段内P的位置：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=BC=3\mathrm{cm}$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=3\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
已知P的速度为$\sqrt{2}\mathrm{cm/s}$，因此P从A运动到B的时间为$3\sqrt{2}÷\sqrt{2}=3(\mathrm{s})$，即$x≥3$时P已到达B点，停止运动，此时$AP=AB=3\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
③求Q到AB的高：
当Q在BC上时，Q从C出发运动的时间为$(x-3)\mathrm{s}$，因此$CQ=(x-3)\mathrm{cm}$，$BQ=BC-CQ=3-(x-3)=(6-x)\mathrm{cm}$。
过Q作$QD⊥ AB$于点D，$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ B=45°$，$△ QBD$为等腰直角三角形，因此$QD=BQ×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(6-x)\mathrm{cm}$。
④计算$△ APQ$的面积：
三角形面积公式为$y=\frac{1}{2}×底×高$，代入$AP$为底，$QD$为高：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}× AP× QD\\&=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}(6-x)\\&=\frac{1}{2}×\frac{3×2}{2}(6-x)\\&=\frac{3}{2}(6-x)\\&=-\frac{3}{2}x+9\end{aligned}$
综上，函数表达式为$y=-\frac{3}{2}x+9(3＜x≤6)$。
【答案】
$y=-\frac{3}{2}x+9(3＜x≤6)$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，动点函数问题，三角形面积计算
【点评】
本题属于动态几何类的一次函数问题，解题核心是先明确动点所处的运动阶段，确定自变量的取值范围，再结合几何图形的性质求出对应线段的长度，最后代入面积公式推导得到函数关系，解题时需注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.65
要得到Q在BC上运动时y与x的函数表达式，首先先确定该阶段x的取值范围：先计算Q从A到C的时间，得到Q进入BC段的最小x值，再计算Q到B的时间得到最大x值；其次判断该时间段内动点P的位置：先计算AB长度，再求P到B的时间，可知x＞3时P已到达B点，AP为固定的AB长度；接着求Q到AB的高：根据Q在BC上的运动路程得到BQ的长度，利用等腰直角三角形的性质求出Q到AB的垂线段长度；最后代入三角形面积公式化简即可得到函数表达式，同时标注x的取值范围。
【解析】
解：①先确定Q在BC上时x的取值范围：
已知Q的速度为1cm/s，AC=3cm，因此Q从A运动到C的时间为$3÷1=3(\mathrm{s})$；Q从A到B的总路程为$AC+BC=6\mathrm{cm}$，总运动时间为$6÷1=6(\mathrm{s})$，因此Q在BC上运动时，$3＜x≤6$。
②判断该时间段内P的位置：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=BC=3\mathrm{cm}$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=3\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
已知P的速度为$\sqrt{2}\mathrm{cm/s}$，因此P从A运动到B的时间为$3\sqrt{2}÷\sqrt{2}=3(\mathrm{s})$，即$x≥3$时P已到达B点，停止运动，此时$AP=AB=3\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
③求Q到AB的高：
当Q在BC上时，Q从C出发运动的时间为$(x-3)\mathrm{s}$，因此$CQ=(x-3)\mathrm{cm}$，$BQ=BC-CQ=3-(x-3)=(6-x)\mathrm{cm}$。
过Q作$QD⊥ AB$于点D，$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ B=45°$，$△ QBD$为等腰直角三角形，因此$QD=BQ×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(6-x)\mathrm{cm}$。
④计算$△ APQ$的面积：
三角形面积公式为$y=\frac{1}{2}×底×高$，代入$AP$为底，$QD$为高：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}× AP× QD\\&=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}(6-x)\\&=\frac{1}{2}×\frac{3×2}{2}(6-x)\\&=\frac{3}{2}(6-x)\\&=-\frac{3}{2}x+9\end{aligned}$
综上，函数表达式为$y=-\frac{3}{2}x+9(3＜x≤6)$。
【答案】
$y=-\frac{3}{2}x+9(3＜x≤6)$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，动点函数问题，三角形面积计算
【点评】
本题属于动态几何类的一次函数问题，解题核心是先明确动点所处的运动阶段，确定自变量的取值范围，再结合几何图形的性质求出对应线段的长度，最后代入面积公式推导得到函数关系，解题时需注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.65
3.(苏州期末改编)在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y=\frac{1}{2}x-1$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点，点$P$在$y$轴上运动，求使得$∠ ABO=2∠ BPA$成立的点$P$的坐标。
答案
3. 解:$\because$一次函数$y=\frac{1}{2}x-1$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于A,B两点,$\therefore$点A的坐标为$(2,0)$,点B的坐标为$(0,-1)$,$\therefore AO=2,OB=1$,$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{5}$.
当点P在点B下方时,
$\because∠ ABO=2∠ BPA,∠ ABO=∠ APB+∠ BAP$,
$\therefore∠ BAP=∠ APB$,$\therefore AB=BP=\sqrt{5}$,
$\therefore PO=\sqrt{5}+1$,$\therefore$点P的坐标为$(0,-\sqrt{5}-1)$;
当点$P'$在点B上方时,
$\because∠ APB=∠ AP'B$,$\therefore AP=AP'$.
又$\because AO⊥ y$轴,$\therefore OP=OP'=\sqrt{5}+1$,
$\therefore$点$P'$的坐标为$(0,\sqrt{5}+1)$.
综上所述,点P的坐标为$(0,\sqrt{5}+1)$或$(0,-\sqrt{5}-1)$.
当点P在点B下方时,
$\because∠ ABO=2∠ BPA,∠ ABO=∠ APB+∠ BAP$,
$\therefore∠ BAP=∠ APB$,$\therefore AB=BP=\sqrt{5}$,
$\therefore PO=\sqrt{5}+1$,$\therefore$点P的坐标为$(0,-\sqrt{5}-1)$;
当点$P'$在点B上方时,
$\because∠ APB=∠ AP'B$,$\therefore AP=AP'$.
又$\because AO⊥ y$轴,$\therefore OP=OP'=\sqrt{5}+1$,
$\therefore$点$P'$的坐标为$(0,\sqrt{5}+1)$.
综上所述,点P的坐标为$(0,\sqrt{5}+1)$或$(0,-\sqrt{5}-1)$.
解析
【分析】
解题时首先先求一次函数与坐标轴的交点A、B的坐标，利用勾股定理算出AB的长度；接下来分两种情况讨论点P的位置：①当点P在点B下方时，∠ABO是△ABP的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，结合已知∠ABO=2∠BPA，可推导出∠BAP=∠BPA，利用等角对等边得到AB=BP，即可计算出P点坐标；②当点P在点B上方时，结合角相等的条件可得AP=AP'，再利用AO垂直于y轴，根据等腰三角形三线合一的性质得到OP=OP'，即可求出上方点P的坐标，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
解：
∵一次函数$y=\frac{1}{2}x-1$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于A,B两点，
令$y=0$，解得$x=2$，
∴点A的坐标为$(2,0)$；令$x=0$，解得$y=-1$，
∴点B的坐标为$(0,-1)$，
∴$AO=2$，$OB=1$，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
当点P在点B下方时，
∵$∠ABO$是△ABP的外角，
∴$∠ABO=∠APB+∠BAP$，
又
∵$∠ABO=2∠BPA$，
∴$∠BAP=∠APB$，
∴$AB=BP=\sqrt{5}$，
∴$PO=BP+OB=\sqrt{5}+1$，
∵P在y轴负半轴，
∴点P的坐标为$(0,-\sqrt{5}-1)$；
当点$P'$在点B上方时，
∵$∠APB=∠AP'B$，
∴$AP=AP'$，
又
∵$AO⊥ y$轴，即AO是等腰△APP'底边PP'上的高，
∴$OP=OP'=\sqrt{5}+1$，
∵$P'$在y轴正半轴，
∴点$P'$的坐标为$(0,\sqrt{5}+1)$。
综上所述，点P的坐标为$(0,\sqrt{5}+1)$或$(0,-\sqrt{5}-1)$。
【答案】
$(0,\sqrt{5}+1)$或$(0,-\sqrt{5}-1)$
【知识点】
一次函数与坐标轴的交点；三角形外角性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于一次函数与几何的综合题，解题核心是将角的数量关系转化为边的等量关系，需要注意分类讨论点P的不同位置，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先先求一次函数与坐标轴的交点A、B的坐标，利用勾股定理算出AB的长度；接下来分两种情况讨论点P的位置：①当点P在点B下方时，∠ABO是△ABP的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，结合已知∠ABO=2∠BPA，可推导出∠BAP=∠BPA，利用等角对等边得到AB=BP，即可计算出P点坐标；②当点P在点B上方时，结合角相等的条件可得AP=AP'，再利用AO垂直于y轴，根据等腰三角形三线合一的性质得到OP=OP'，即可求出上方点P的坐标，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
解：
∵一次函数$y=\frac{1}{2}x-1$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于A,B两点，
令$y=0$，解得$x=2$，
∴点A的坐标为$(2,0)$；令$x=0$，解得$y=-1$，
∴点B的坐标为$(0,-1)$，
∴$AO=2$，$OB=1$，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
当点P在点B下方时，
∵$∠ABO$是△ABP的外角，
∴$∠ABO=∠APB+∠BAP$，
又
∵$∠ABO=2∠BPA$，
∴$∠BAP=∠APB$，
∴$AB=BP=\sqrt{5}$，
∴$PO=BP+OB=\sqrt{5}+1$，
∵P在y轴负半轴，
∴点P的坐标为$(0,-\sqrt{5}-1)$；
当点$P'$在点B上方时，
∵$∠APB=∠AP'B$，
∴$AP=AP'$，
又
∵$AO⊥ y$轴，即AO是等腰△APP'底边PP'上的高，
∴$OP=OP'=\sqrt{5}+1$，
∵$P'$在y轴正半轴，
∴点$P'$的坐标为$(0,\sqrt{5}+1)$。
综上所述，点P的坐标为$(0,\sqrt{5}+1)$或$(0,-\sqrt{5}-1)$。
【答案】
$(0,\sqrt{5}+1)$或$(0,-\sqrt{5}-1)$
【知识点】
一次函数与坐标轴的交点；三角形外角性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于一次函数与几何的综合题，解题核心是将角的数量关系转化为边的等量关系，需要注意分类讨论点P的不同位置，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
