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6.如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(-2,6)$,且与$x$轴相交于点$B$,与正比例函数$y=3x$的图象相交于点$C$,点$C$的横坐标为1.
(1)求$k,b$的值;
(2)若点$D$在$y$轴负半轴上,且满足$S_{△ COD}=\frac{1}{3}S_{△ BOC}$,求点$D$的坐标.
(1)求$k,b$的值;
(2)若点$D$在$y$轴负半轴上,且满足$S_{△ COD}=\frac{1}{3}S_{△ BOC}$,求点$D$的坐标.
答案
6.解:(1)由点$C$的横坐标为1,且点$C$在函数$y=3x$的图象上,得点$C$的坐标为$(1,3)$.
将$A(-2,6),C(1,3)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases} -2k+b=6,\\ k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1,\\ b=4. \end{cases}$
(2)由(1)知直线$AB$的函数表达式为$y=-x+4$,令$y=0$,则$0=-x+4$,解得$x=4$,$\therefore$点$B$的坐标为$(4,0)$,
$\therefore OB=4$,$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×4×3=6$,$\therefore S_{△ COD}=\frac{1}{3}×6=2$.
由$△ OCD$中$OD$边上的高为点$C$的横坐标1,可知$OD=2S_{△ COD}÷1=4$.
$\because$点$D$在$y$轴负半轴上,$\therefore$点$D$的坐标为$(0,-4)$.
将$A(-2,6),C(1,3)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases} -2k+b=6,\\ k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1,\\ b=4. \end{cases}$
(2)由(1)知直线$AB$的函数表达式为$y=-x+4$,令$y=0$,则$0=-x+4$,解得$x=4$,$\therefore$点$B$的坐标为$(4,0)$,
$\therefore OB=4$,$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×4×3=6$,$\therefore S_{△ COD}=\frac{1}{3}×6=2$.
由$△ OCD$中$OD$边上的高为点$C$的横坐标1,可知$OD=2S_{△ COD}÷1=4$.
$\because$点$D$在$y$轴负半轴上,$\therefore$点$D$的坐标为$(0,-4)$.
解析
【分析】
(1) 要确定一次函数的k、b值，需先得到一次函数图象上两个点的坐标：已知点A坐标，交点C在正比例函数y=3x上且横坐标为1，先代入正比例函数求出C点坐标，再将A、C两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b。
(2) 先根据(1)得到的一次函数解析式，令y=0求出点B坐标，计算△BOC的面积，再根据面积关系得到△COD的面积；△COD以OD为底，高为点C的横坐标的绝对值，结合面积公式求出OD的长度，再结合点D在y轴负半轴的条件，即可得到D点坐标。
【解析】
(1)
∵点C在正比例函数$y=3x$的图象上，且横坐标为1，
∴将$x=1$代入$y=3x$，得$y=3×1=3$，即点C坐标为$(1,3)$。
将$A(-2,6)$、$C(1,3)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} -2k+b=6 \\ k+b=3 \end{cases}$
两式相减得$3k=-3$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k+b=3$，得$-1+b=3$，解得$b=4$。
(2) 由(1)可知直线AB的解析式为$y=-x+4$，
令$y=0$，得$0=-x+4$，解得$x=4$，
∴点B坐标为$(4,0)$，即$OB=4$。
△BOC以OB为底，高为点C的纵坐标3，
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×OB×3=\frac{1}{2}×4×3=6$。
由$S_{△ COD}=\frac{1}{3}S_{△ BOC}$，得$S_{△ COD}=\frac{1}{3}×6=2$。
设点D坐标为$(0,m)$（$m＜0$），△COD以OD为底，高为点C横坐标的绝对值1，
∴$S_{△ COD}=\frac{1}{2}×|m|×1=2$，解得$|m|=4$，
∵点D在y轴负半轴，
∴$m=-4$，即点D坐标为$(0,-4)$。
【答案】
(1) $k=-1$，$b=4$；
(2) $D(0,-4)$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数点的坐标特征
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，解题核心是先根据已知条件推导相关点的坐标，再结合待定系数法、面积公式逐步求解，是一次函数章节的常规题型，掌握基础方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定一次函数的k、b值，需先得到一次函数图象上两个点的坐标：已知点A坐标，交点C在正比例函数y=3x上且横坐标为1，先代入正比例函数求出C点坐标，再将A、C两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b。
(2) 先根据(1)得到的一次函数解析式，令y=0求出点B坐标，计算△BOC的面积，再根据面积关系得到△COD的面积；△COD以OD为底，高为点C的横坐标的绝对值，结合面积公式求出OD的长度，再结合点D在y轴负半轴的条件，即可得到D点坐标。
【解析】
(1)
∵点C在正比例函数$y=3x$的图象上，且横坐标为1，
∴将$x=1$代入$y=3x$，得$y=3×1=3$，即点C坐标为$(1,3)$。
将$A(-2,6)$、$C(1,3)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} -2k+b=6 \\ k+b=3 \end{cases}$
两式相减得$3k=-3$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k+b=3$，得$-1+b=3$，解得$b=4$。
(2) 由(1)可知直线AB的解析式为$y=-x+4$，
令$y=0$，得$0=-x+4$，解得$x=4$，
∴点B坐标为$(4,0)$，即$OB=4$。
△BOC以OB为底，高为点C的纵坐标3，
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×OB×3=\frac{1}{2}×4×3=6$。
由$S_{△ COD}=\frac{1}{3}S_{△ BOC}$，得$S_{△ COD}=\frac{1}{3}×6=2$。
设点D坐标为$(0,m)$（$m＜0$），△COD以OD为底，高为点C横坐标的绝对值1，
∴$S_{△ COD}=\frac{1}{2}×|m|×1=2$，解得$|m|=4$，
∵点D在y轴负半轴，
∴$m=-4$，即点D坐标为$(0,-4)$。
【答案】
(1) $k=-1$，$b=4$；
(2) $D(0,-4)$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数点的坐标特征
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，解题核心是先根据已知条件推导相关点的坐标，再结合待定系数法、面积公式逐步求解，是一次函数章节的常规题型，掌握基础方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
7. 在平面直角坐标系中，A,B,C三点的坐标分别为$(8,0),(9,6),(0,6)$.若一次函数$y=kx-8k$的图象将$△ ABC$分成面积为$1:2$的两个部分，则$k$的值为（
A.$-3$
B.$-2$
C.$-3$或$-\dfrac{6}{5}$
D.$-2$或$-3$
C
）A.$-3$
B.$-2$
C.$-3$或$-\dfrac{6}{5}$
D.$-2$或$-3$
答案
7.C
解析
【分析】
首先化简一次函数解析式确定其恒过定点A(8,0)，它是△ABC的一个顶点；再根据三点坐标计算△ABC的总面积，结合面积比1:2得两部分面积分别为9和18；由于过A的直线与BC边相交，分割出的两个小三角形同高，面积比等于底边长的比，分两种情况讨论底边长的比例，求出交点坐标后代入直线解析式即可求得k的值。
【解析】
1. 计算△ABC的基本参数：
已知B(9,6)、C(0,6)，可得BC为水平线段，长度$BC=9-0=9$，BC边上的高为A点到直线y=6的距离，即6，因此$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×9×6=27$
2. 确定一次函数定点：
将$y=kx-8k$变形为$y=k(x-8)$，可知当$x=8$时$y=0$，即直线恒过点A(8,0)。
3. 求直线与BC的交点：
设直线与BC交于点D（D在BC上，纵坐标为6），将$y=6$代入直线解析式得：
$6=kx-8k$，解得$x=8+\frac{6}{k}$，即$D(8+\frac{6}{k},6)$。
4. 分情况讨论面积比：
$△ ABD$和$△ ACD$同高，面积比等于底边长的比$BD:DC$，其中$BD=9-x_D$，$DC=x_D$。
情况1：$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=1:2$，即$BD:DC=1:2$
代入得$(9-x_D):x_D=1:2$，解得$x_D=6$
将$x_D=6$代入$x=8+\frac{6}{k}$，得$6=8+\frac{6}{k}$，解得$k=-3$。
情况2：$S_{△ ACD}:S_{△ ABD}=1:2$，即$BD:DC=2:1$
代入得$(9-x_D):x_D=2:1$，解得$x_D=3$
将$x_D=3$代入$x=8+\frac{6}{k}$，得$3=8+\frac{6}{k}$，解得$k=-\frac{6}{5}$。
两个解对应的交点均在BC线段上，符合题意。
【答案】C
【知识点】
一次函数定点问题，三角形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题的核心是先定位一次函数的定点，将面积比转化为线段长度比，解题时要注意分两种比例情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
首先化简一次函数解析式确定其恒过定点A(8,0)，它是△ABC的一个顶点；再根据三点坐标计算△ABC的总面积，结合面积比1:2得两部分面积分别为9和18；由于过A的直线与BC边相交，分割出的两个小三角形同高，面积比等于底边长的比，分两种情况讨论底边长的比例，求出交点坐标后代入直线解析式即可求得k的值。
【解析】
1. 计算△ABC的基本参数：
已知B(9,6)、C(0,6)，可得BC为水平线段，长度$BC=9-0=9$，BC边上的高为A点到直线y=6的距离，即6，因此$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×9×6=27$
2. 确定一次函数定点：
将$y=kx-8k$变形为$y=k(x-8)$，可知当$x=8$时$y=0$，即直线恒过点A(8,0)。
3. 求直线与BC的交点：
设直线与BC交于点D（D在BC上，纵坐标为6），将$y=6$代入直线解析式得：
$6=kx-8k$，解得$x=8+\frac{6}{k}$，即$D(8+\frac{6}{k},6)$。
4. 分情况讨论面积比：
$△ ABD$和$△ ACD$同高，面积比等于底边长的比$BD:DC$，其中$BD=9-x_D$，$DC=x_D$。
情况1：$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=1:2$，即$BD:DC=1:2$
代入得$(9-x_D):x_D=1:2$，解得$x_D=6$
将$x_D=6$代入$x=8+\frac{6}{k}$，得$6=8+\frac{6}{k}$，解得$k=-3$。
情况2：$S_{△ ACD}:S_{△ ABD}=1:2$，即$BD:DC=2:1$
代入得$(9-x_D):x_D=2:1$，解得$x_D=3$
将$x_D=3$代入$x=8+\frac{6}{k}$，得$3=8+\frac{6}{k}$，解得$k=-\frac{6}{5}$。
两个解对应的交点均在BC线段上，符合题意。
【答案】C
【知识点】
一次函数定点问题，三角形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题的核心是先定位一次函数的定点，将面积比转化为线段长度比，解题时要注意分两种比例情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
8.若一次函数$y=kx+10$的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，则该一次函数的表达式为
y=-10x+10 或 y=10x+10
.答案
8.$y=-10x+10$或$y=10x+10$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步，先找到一次函数与x轴、y轴的交点坐标，一次函数与y轴交点的横坐标为0，与x轴交点的纵坐标为0，代入函数式即可求出交点；第二步，函数图象与两坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边的长度就是两个交点到原点的距离，距离是非负数，所以需要对坐标加绝对值；第三步，根据三角形面积为5列方程求解k的值，注意k有正负两种可能，避免漏解。
【解析】
解：先求一次函数与两坐标轴的交点坐标：
1. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入$y=kx+10$得$y=10$，即交点为$(0,10)$，该点到原点的距离为10；
2. 求与x轴的交点：令$y=0$，代入$y=kx+10$得$kx+10=0$，解得$x=-\frac{10}{k}$，即交点为$(-\frac{10}{k},0)$，该点到原点的距离为$\left|-\frac{10}{k}\right|=\left|\frac{10}{k}\right|$。
已知围成的三角形面积为5，根据直角三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} × 10 × \left|\frac{10}{k}\right| = 5$
化简得：$5×\left|\frac{10}{k}\right|=5$，两边同时除以5得$\left|\frac{10}{k}\right|=1$，即$|k|=10$，解得$k=10$或$k=-10$。
将k值代入原函数式，即可得到一次函数表达式。
【答案】
$y=-10x+10$或$y=10x+10$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点求解；待定系数法求解析式；绝对值的应用
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的基础常考题，解题核心是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，易错点是忽略坐标的正负性，未加绝对值导致漏解，计算时要注意考虑系数的两种取值情况。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步，先找到一次函数与x轴、y轴的交点坐标，一次函数与y轴交点的横坐标为0，与x轴交点的纵坐标为0，代入函数式即可求出交点；第二步，函数图象与两坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边的长度就是两个交点到原点的距离，距离是非负数，所以需要对坐标加绝对值；第三步，根据三角形面积为5列方程求解k的值，注意k有正负两种可能，避免漏解。
【解析】
解：先求一次函数与两坐标轴的交点坐标：
1. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入$y=kx+10$得$y=10$，即交点为$(0,10)$，该点到原点的距离为10；
2. 求与x轴的交点：令$y=0$，代入$y=kx+10$得$kx+10=0$，解得$x=-\frac{10}{k}$，即交点为$(-\frac{10}{k},0)$，该点到原点的距离为$\left|-\frac{10}{k}\right|=\left|\frac{10}{k}\right|$。
已知围成的三角形面积为5，根据直角三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} × 10 × \left|\frac{10}{k}\right| = 5$
化简得：$5×\left|\frac{10}{k}\right|=5$，两边同时除以5得$\left|\frac{10}{k}\right|=1$，即$|k|=10$，解得$k=10$或$k=-10$。
将k值代入原函数式，即可得到一次函数表达式。
【答案】
$y=-10x+10$或$y=10x+10$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点求解；待定系数法求解析式；绝对值的应用
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的基础常考题，解题核心是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，易错点是忽略坐标的正负性，未加绝对值导致漏解，计算时要注意考虑系数的两种取值情况。
【难度系数】
0.7
9. 如图，一次函数$y=\frac{4}{3}x+m$的图象与$x$轴交于点$A(-6,0)$，与$y$轴交于点$B$。
(1) 求$m$的值与点$B$的坐标；
(2) 若点$C$在$y$轴上，且使得$△ ABC$的面积为12，请求出点$C$的坐标；
(3) 若点$P$在$x$轴上，且$△ ABP$为等腰三角形，请直接写出点$P$的坐标。
(1) 求$m$的值与点$B$的坐标；
(2) 若点$C$在$y$轴上，且使得$△ ABC$的面积为12，请求出点$C$的坐标；
(3) 若点$P$在$x$轴上，且$△ ABP$为等腰三角形，请直接写出点$P$的坐标。
答案
9.解:(1)把点$A(-6,0)$代入$y=\frac{4}{3}x+m$,得
$0=\frac{4}{3}×(-6)+m$,解得$m=8$,
$\therefore y=\frac{4}{3}x+8$,令$x=0$,则$y=8$,
$\therefore$点$B$的坐标为$(0,8)$.
(2)设点$C$的坐标为$(0,b)$,$\therefore BC=|8-b|$,
$\therefore \frac{1}{2}×|8-b|×6=12$,解得$b=4$或$b=12$,
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,4)$或$(0,12)$.
(3)点$P$的坐标为$(-16,0)$或$(4,0)$或$(6,0)$或$(\frac{7}{3},0)$.
$0=\frac{4}{3}×(-6)+m$,解得$m=8$,
$\therefore y=\frac{4}{3}x+8$,令$x=0$,则$y=8$,
$\therefore$点$B$的坐标为$(0,8)$.
(2)设点$C$的坐标为$(0,b)$,$\therefore BC=|8-b|$,
$\therefore \frac{1}{2}×|8-b|×6=12$,解得$b=4$或$b=12$,
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,4)$或$(0,12)$.
(3)点$P$的坐标为$(-16,0)$或$(4,0)$或$(6,0)$或$(\frac{7}{3},0)$.
解析
【分析】
(1) 已知一次函数图象过点A，将A点坐标代入函数解析式即可求出m的值，再令x=0，计算对应的y值就能得到点B的坐标。
(2) 点C在y轴上，可设其坐标为(0,b)，则BC的长度为两点纵坐标差的绝对值，△ABC中BC边上的高等于点A到y轴的水平距离即OA的长度6，根据三角形面积公式列方程求解即可，注意绝对值的存在会有两个解。
(3) △ABP为等腰三角形需分三类讨论：①AB为腰，点A为顶角顶点；②AB为腰，点B为顶角顶点；③AB为底，点P为顶角顶点。分别根据等腰三角形边长相等的性质，结合点P在x轴上的特点计算坐标，避免漏解。
【解析】
(1) 将点$A(-6,0)$代入$y=\frac{4}{3}x+m$，得：
$0=\frac{4}{3}×(-6)+m$，解得$m=8$
∴一次函数解析式为$y=\frac{4}{3}x+8$
令$x=0$，代入解析式得$y=8$，
∴点$B$的坐标为$(0,8)$。
(2) 设点$C$的坐标为$(0,b)$，则$BC=|8-b|$，点A到y轴的距离为6
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}×|8-b|×6=12$
化简得$|8-b|=4$，解得$b=4$或$b=12$
∴点$C$的坐标为$(0,4)$或$(0,12)$。
(3) 先计算AB的长度：由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，设点P坐标为$(x,0)$，分三类讨论：
①当$AB=AP$时，$AP=10$，即$|x+6|=10$，解得$x=4$或$x=-16$，对应P点坐标为$(4,0)$、$(-16,0)$；
②当$AB=BP$时，$BP=10$，OB垂直平分AP，故$OP=OA=6$，即$x=6$，对应P点坐标为$(6,0)$；
③当$AP=BP$时，$|x+6|=\sqrt{x^2+8^2}$，两边平方得$(x+6)^2=x^2+64$，解得$x=\frac{7}{3}$，对应P点坐标为$(\frac{7}{3},0)$。
综上，点P的坐标为$(-16,0)$或$(4,0)$或$(6,0)$或$(\frac{7}{3},0)$。
【答案】
(1) $m=8$，点$B$的坐标为$(0,8)$；
(2) 点$C$的坐标为$(0,4)$或$(0,12)$；
(3) 点$P$的坐标为$(-16,0)$、$(4,0)$、$(6,0)$、$(\frac{7}{3},0)$。
【知识点】
一次函数图象与性质，三角形面积计算，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，前两问侧重基础应用，第三问需要掌握分类讨论的思想，按照等腰三角形顶角顶点的不同分情况计算，避免漏解，同时要注意坐标计算中绝对值和勾股定理的正确使用。
【难度系数】
0.6
(1) 已知一次函数图象过点A，将A点坐标代入函数解析式即可求出m的值，再令x=0，计算对应的y值就能得到点B的坐标。
(2) 点C在y轴上，可设其坐标为(0,b)，则BC的长度为两点纵坐标差的绝对值，△ABC中BC边上的高等于点A到y轴的水平距离即OA的长度6，根据三角形面积公式列方程求解即可，注意绝对值的存在会有两个解。
(3) △ABP为等腰三角形需分三类讨论：①AB为腰，点A为顶角顶点；②AB为腰，点B为顶角顶点；③AB为底，点P为顶角顶点。分别根据等腰三角形边长相等的性质，结合点P在x轴上的特点计算坐标，避免漏解。
【解析】
(1) 将点$A(-6,0)$代入$y=\frac{4}{3}x+m$，得：
$0=\frac{4}{3}×(-6)+m$，解得$m=8$
∴一次函数解析式为$y=\frac{4}{3}x+8$
令$x=0$，代入解析式得$y=8$，
∴点$B$的坐标为$(0,8)$。
(2) 设点$C$的坐标为$(0,b)$，则$BC=|8-b|$，点A到y轴的距离为6
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}×|8-b|×6=12$
化简得$|8-b|=4$，解得$b=4$或$b=12$
∴点$C$的坐标为$(0,4)$或$(0,12)$。
(3) 先计算AB的长度：由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，设点P坐标为$(x,0)$，分三类讨论：
①当$AB=AP$时，$AP=10$，即$|x+6|=10$，解得$x=4$或$x=-16$，对应P点坐标为$(4,0)$、$(-16,0)$；
②当$AB=BP$时，$BP=10$，OB垂直平分AP，故$OP=OA=6$，即$x=6$，对应P点坐标为$(6,0)$；
③当$AP=BP$时，$|x+6|=\sqrt{x^2+8^2}$，两边平方得$(x+6)^2=x^2+64$，解得$x=\frac{7}{3}$，对应P点坐标为$(\frac{7}{3},0)$。
综上，点P的坐标为$(-16,0)$或$(4,0)$或$(6,0)$或$(\frac{7}{3},0)$。
【答案】
(1) $m=8$，点$B$的坐标为$(0,8)$；
(2) 点$C$的坐标为$(0,4)$或$(0,12)$；
(3) 点$P$的坐标为$(-16,0)$、$(4,0)$、$(6,0)$、$(\frac{7}{3},0)$。
【知识点】
一次函数图象与性质，三角形面积计算，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，前两问侧重基础应用，第三问需要掌握分类讨论的思想，按照等腰三角形顶角顶点的不同分情况计算，避免漏解，同时要注意坐标计算中绝对值和勾股定理的正确使用。
【难度系数】
0.6
