1.(姑苏区期中)工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图,在$∠ AOB$的两边$OA$,$OB$上分别截取$OC=OD$,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点$C$,$D$重合,这时过角尺顶点$M$的射线$OM$就是$∠ AOB$的平分线,这里构造全等三角形的依据是 ()

A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS

1.D

【分析】
要判断构造全等三角形的依据，首先明确我们需要证明$△ OCM≌△ ODM$，通过全等得到对应角相等，才能推出OM是$∠ AOB$的平分线。第一步先提取题目给出的边的相等条件：①已知在OA、OB上截取$OC=OD$；②角尺两边相同刻度分别与C、D重合，可得$MC=MD$；③两个三角形有公共边$OM=OM$。三组对应边都相等，符合SSS全等判定定理，即可得出结论。
【解析】
在$△ OCM$和$△ ODM$中：
$\begin{cases}OC=OD(\mathrm{已知}),\\MC=MD(\mathrm{角尺相同刻度对应边长相等}),\\OM=OM(\mathrm{公共边}),\end{cases}$
$\therefore △ OCM≌△ ODM(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ COM=∠ DOM$，即$OM$是$∠ AOB$的平分线，故构造全等的依据是SSS。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定；角平分线的判定
【点评】
本题结合生活中的实际操作考查全等三角形的判定，解题关键是从题目描述中梳理出两个三角形对应边相等的条件，属于基础应用题，对学生的信息提取能力有一定要求。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$AE=AF$，$AB=AC$，$EC$与$BF$交于点$O$，$∠ A=45°$，$∠ B=30°$，则$∠ EOB$的度数为 （）

A.$60°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$85°$

2.C

【分析】
首先观察已知条件，给出了两组相等的边AE=AF、AB=AC，且两组边的夹角是公共角∠A，因此可以先通过SAS判定△ABF和△ACE全等，得到对应角∠C=∠B；再利用三角形内角和定理求出△AEC中∠AEC的度数，最后结合三角形外角的性质即可求出∠EOB的度数。
【解析】
1. 证明三角形全等：
在$△ ABF$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB=AC (\mathrm{已知}) \\∠ A=∠ A (\mathrm{公共角}) \\AF=AE (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ ACE (\mathrm{SAS})$，
根据全等三角形对应角相等，得$∠ C=∠ B=30°$。
2. 计算$∠ AEC$的度数：
在$△ AEC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AEC=180° - ∠ A - ∠ C=180° - 45° - 30°=105°$。
3. 计算$∠ EOB$的度数：
$\because ∠ AEC$是$△ BEO$的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
$\therefore ∠ AEC=∠ B + ∠ EOB$，
$\therefore ∠ EOB=∠ AEC - ∠ B=105° - 30°=75°$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于全等三角形与角度计算的综合基础题，解题的核心是先通过SAS判定三角形全等得到对应角相等，再结合三角形内角和、外角性质逐步推导所求角度，是全等三角形应用的典型考题。
【难度系数】
0.7

3.(常州期末)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中,$∠ B=∠ F=90°$,$AB=EF$,$AC=DE$.若$∠ C=35°$,则$∠ E$的度数为.

3.$55°$

【分析】
解题时先观察题干给出的两个三角形均为直角三角形，已知斜边$AC=DE$，一组直角边$AB=EF$，首先考虑用直角三角形特有的全等判定定理HL证明两个三角形全等；再根据全等三角形对应角相等得到$∠E$和$∠A$相等，最后利用直角三角形两锐角互余计算$∠A$的度数，即可得到$∠E$的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△EFD$中：
$\{\begin{array}{l}AC=DE\\ AB=EF\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△EFD(\mathrm{HL})$
$\therefore ∠A=∠E$
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠B=90°$，$∠C=35°$
$\therefore ∠A=90°-∠C=90°-35°=55°$
$\therefore ∠E=55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
HL判定三角形全等；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的全等三角形应用类题目，核心是结合已知条件选择合适的全等判定定理证明三角形全等，再结合直角三角形的角度性质求解即可。
【难度系数】
0.8

4.如图,已知$CB⊥ AD,AE⊥ CD$,垂足分别为B,E.AE,BC相交于点F,AB=BC.若AB=8,CF=2,则BD的长为.

4.6

【分析】
解题时先结合已知的垂直关系推导相等的角，再结合已知边相等的条件证明三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等计算BD的长度：第一步，由CB⊥AD、AE⊥CD可得多个直角，利用同角的余角相等推出∠A=∠C；第二步，结合AB=BC、∠ABF=∠CBD=90°，可证明△ABF和△CBD全等；第三步，先计算BF的长度，再根据全等三角形对应边相等得到BD=BF，即可求出BD的长度。
【解析】
解：$\because CB⊥ AD$，$AE⊥ CD$
$\therefore ∠ ABF=∠ CBD=∠ CEF=90°$
$\therefore ∠ A+∠ AFB=90°$，$∠ C+∠ CFE=90°$
又$\because ∠ AFB=∠ CFE$（对顶角相等）
$\therefore ∠ A=∠ C$（等角的余角相等）
在$△ ABF$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\AB=CB \\∠ ABF=∠ CBD\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CBD(\mathrm{ASA})$
$\therefore BD=BF$
$\because AB=BC=8$，$CF=2$
$\therefore BF=BC-CF=8-2=6$
$\therefore BD=6$
【答案】
6
【知识点】
全等三角形的判定与性质，余角的性质
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题，解题的核心是通过垂直关系和对顶角相等推导全等所需的等角条件，将待求线段转化为易求的对应线段。
【难度系数】
0.7

5.(2024春·工业园区月考)如图,在$△ ABC$和$△ AEF$中,点E在BC边上,$∠ C=∠ F$,$AC=AF$,$∠ CAF=∠ BAE$,$EF$与$AC$交于点$G$.
(1)求证:$△ ABC≌△ AEF$;
(2)若$∠ B=55°$,$∠ C=20°$,求$∠ EAC$的度数.

5. (1)证明: $\because ∠ CAF = ∠ BAE, \therefore ∠ CAF + ∠ EAC = ∠ BAE + ∠ EAC$, 即 $∠ BAC = ∠ EAF$.
在$△ ABC$和$△ AEF$中, $\begin{cases} ∠ C = ∠ F, \\ AC = AF, \\ ∠ BAC = ∠ EAF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AEF(\mathrm{ASA})$.
(2)解: $\because ∠ B = 55°, ∠ C = 20°$,
$\therefore ∠ BAC = 180° - 55° - 20° = 105°$,
$\because △ ABC ≌ △ AEF, \therefore AB = AE$,
$\therefore ∠ B = ∠ AEB = 55°$,
$\therefore ∠ BAE = 180° - ∠ B - ∠ AEB = 70°$,
$\therefore ∠ EAC = ∠ BAC - ∠ BAE = 105° - 70° = 35°$.

【分析】
(1)要证明△ABC≌△AEF，已知∠C=∠F、AC=AF，缺少一组对应角相等的条件。由已知∠CAF=∠BAE，在两个等角上同时加公共角∠EAC，即可得到∠BAC=∠EAF，凑齐ASA全等判定条件，即可证明三角形全等。
(2)求∠EAC的度数，首先用三角形内角和定理算出△ABC中∠BAC的度数；再结合全等三角形对应边相等的性质，得AB=AE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等算出∠BAE的度数，最后用∠BAC减去∠BAE即可得到∠EAC的度数。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠CAF = ∠BAE$，
$\therefore ∠CAF + ∠EAC = ∠BAE + ∠EAC$，即$∠BAC = ∠EAF$。
在$△ ABC$和$△ AEF$中：
$\begin{cases} ∠ C = ∠ F, \\ AC = AF, \\ ∠ BAC = ∠ EAF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AEF(\mathrm{ASA})$。
(2)解：
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 55° - 20° = 105°$。
$\because △ ABC ≌ △ AEF$，由全等三角形对应边相等得$AB=AE$，
$\therefore △ ABE$为等腰三角形，$∠ B = ∠ AEB = 55°$。
在$△ ABE$中，$∠ BAE = 180° - ∠ B - ∠ AEB = 180° - 55° - 55° = 70°$，
$\therefore ∠ EAC = ∠ BAC - ∠ BAE = 105° - 70° = 35°$。
【答案】
(1)已证$△ ABC≌△ AEF$；
(2)$∠ EAC$的度数为$\boldsymbol{35°}$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定（ASA）
2. 全等三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形相关知识的基础应用题型，解题关键是通过角的和差关系得到全等所需的对应等角，再结合全等性质推导边相等，进而结合等腰三角形性质求解角度，要求熟练掌握全等的判定定理和相关性质。
【难度系数】
0.7

6. 在网格中，每个小格顶点称为格点. 以格点连线为边的三角形叫作格点三角形. 如图，在$4×4$的网格中，有两个格点三角形$△ ABC$，$△ DEF$. 下列说法成立的是 （）

A.$∠ BCA=∠ EDF$
B.$∠ BCA=∠ EFD$
C.$∠ BAC=∠ EFD$
D.这两个三角形中没有相等的角

6.B

【分析】
要判断两个格点三角形的角是否相等，可先利用勾股定理分别计算两个三角形各边的长度，验证三边是否对应相等，若两个三角形全等，则对应角相等，再结合选项判断对应角即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
利用勾股定理计算两个三角形的各边长：
在$△ ABC$中：
$AB=2$，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
在$△ DEF$中：
$DE=2$，$EF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
$\therefore AB=DE$，$BC=EF$，$AC=DF$，
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF$（SSS），
$\therefore$ 对应角相等：$∠ BCA=∠ EFD$，$∠ BAC=∠ EDF$，$∠ ABC=∠ DEF$。
结合选项可知，只有B选项说法成立。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；全等三角形的SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合网格考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是借助勾股定理准确求出两个三角形各边的长度，再利用SSS判定全等，进而得到对应角相等，是网格类几何题的常考题型。
【难度系数】
0.7

7.如图,在$△ ABC$中,已知$AD=DE,AB=BE,∠ A=85°$,则$∠ CED$的度数是.

7.$95°$

【分析】
解题时先观察图形和已知条件，发现△ABD和△EBD有两组对应边相等（AD=DE、AB=BE），且BD是两个三角形的公共边，因此可先通过SSS判定定理证明两个三角形全等，得到对应角∠BED与∠A相等，再根据邻补角（平角）的性质即可求出∠CED的度数。
【解析】
在$△ ABD$和$△ EBD$中：
$\begin{cases}AB=BE(\mathrm{已知}) \\AD=DE(\mathrm{已知}) \\BD=BD(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ EBD(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BED = ∠ A = 85°$（全等三角形的对应角相等）
$\because ∠ BED + ∠ CED = 180°$（平角的定义）
$\therefore ∠ CED = 180° - 85° = 95°$
【答案】
$95°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平角的定义
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是准确找到两个三角形的公共边，利用边边边判定证明全等，再结合平角的性质计算角度，解题时注意对应角的对应关系不要找错。
【难度系数】
0.8