9.如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上.
求证:(1)AC平分∠BAD；
(2)BE=DE.

9. 证明:(1)在△ABC和△ADC中,$\begin{cases} AB=AD, \\ BC=DC, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC,
∴AC平分∠BAD.
(2)在△ABE和△ADE中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAE=∠DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△ABE≌△ADE(SAS),
∴BE=DE.

【分析】
(1) 要证明AC平分∠BAD，本质是证明∠BAC=∠DAC，观察两个角分别属于△ABC和△ADC，题目已知AB=AD、BC=DC，且AC是两个三角形共有的公共边，可通过SSS判定定理证明两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质得到两角相等，即可完成证明。
(2) 要证明BE=DE，观察两条线段分别属于△ABE和△ADE，已知AB=AD，由(1)的结论可得到∠BAE=∠DAE，且AE是两个三角形共有的公共边，可通过SAS判定定理证明两个三角形全等，再利用全等三角形对应边相等的性质即可得证。
【解析】
(1) 在△ABC和△ADC中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ BC=DC, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC,
∴AC平分∠BAD.
(2) 在△ABE和△ADE中,
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAE=∠DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△ABE≌△ADE(SAS),
∴BE=DE.
【答案】
(1) 已证AC平分∠BAD；(2) 已证BE=DE，证明过程见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题，解题核心是找到待证角、线段所在的三角形，挖掘公共边、已证结论等隐含条件，选择合适的全等判定定理完成推导。
【难度系数】
0.8

10.如图,在四边形ABCD中,AB=AC,对角线AC,BD相交于点O,E是BD上一点,且AE=AD,BE=CD.
求证:(1)$∠ ABD=∠ ACD$;
(2)$∠ BAC=∠ BDC$.

10. 证明:(1)在△ABE和△ACD中,$\begin{cases} AB=AC, \\ BE=CD, \\ AE=AD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(SSS),
∴∠ABD=∠ACD.
(2)
∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC=∠ABD+∠BAC,∠BOC=∠ACD+∠BDC,
∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC.
∵∠ABD=∠ACD,
∴∠BAC=∠BDC.

【分析】
(1) 要证∠ABD=∠ACD，观察两角分别属于△ABE和△ACD，题目给出了AB=AC、BE=CD、AE=AD三组对应边相等，符合全等三角形的SSS判定条件，因此先证△ABE≌△ACD，再利用全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 要证∠BAC=∠BDC，可借助公共外角∠BOC推导：∠BOC同时是△ABO和△DCO的外角，根据三角形外角性质可得到两个表示∠BOC的角的和的等式，结合(1)中已证的∠ABD=∠ACD，通过等量代换即可推出结论。
【解析】
(1) 在△ABE和△ACD中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ BE=CD, \\ AE=AD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(SSS)，
∴∠ABD=∠ACD。
(2)
∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC，
∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC。
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠BAC=∠BDC。
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
SSS判定全等，全等三角形的性质，三角形外角性质
【点评】
本题属于全等三角形的基础综合应用题，解题关键是先利用已知边的相等关系通过SSS判定三角形全等得到等角，再挖掘图形中的公共外角这一隐含条件，结合外角性质推导待证角的等量关系。
【难度系数】
0.7

11.(2024春·苏州期末)如图，AD，BF相交于点O，AB=DF.点E，C在BF上，且BE=FC，AC=DE.求证:AO=DO.

11. 证明:
∵BE=FC,
∴BE+CE=FC+CE,即BC=FE.
在△ABC和△DFE中,$\begin{cases} BC=FE, \\ AC=DE, \\ AB=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DFE(SSS),
∴∠ACB=∠DEF.
在△AOC和△DOE中,$\begin{cases} ∠ACO=∠DEO, \\ ∠AOC=∠DOE, \\ AC=DE, \end{cases}$
∴△AOC≌△DOE(AAS),
∴AO=DO.

【分析】
要证明线段AO=DO，通常思路是证明这两条线段所在的三角形全等，即证明△AOC≌△DOE。已知AC=DE，且AD与BF相交可得对顶角∠AOC=∠DOE，还缺少一组对应角相等的条件。首先利用已知的BE=FC，加公共线段CE可得BC=FE，结合给出的AB=DF、AC=DE，可通过SSS判定△ABC≌△DFE，根据全等三角形性质得到∠ACB=∠DEF，即得到△AOC和△DOE全等的第三个条件，再用AAS判定两个三角形全等，即可得到对应边AO=DO。
【解析】
证明：
∵BE=FC，
∴BE+CE=FC+CE，即BC=FE。
在△ABC和△DFE中，
$\begin{cases} BC=FE, \\ AC=DE, \\ AB=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB=∠DEF。
在△AOC和△DOE中，
$\begin{cases} ∠ACO=∠DEO, \\ ∠AOC=∠DOE, \\ AC=DE, \end{cases}$
∴△AOC≌△DOE（AAS），
∴AO=DO。
【答案】
AO=DO
【知识点】
SSS判定全等、AAS判定全等、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，需要两次证明三角形全等，解题时可先从待证结论出发逆向推导需要的条件，再结合已知条件正向推导缺少的判定条件，梳理清楚两次全等的逻辑关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7