9.如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上.
求证:(1)AC平分∠BAD；
(2)BE=DE.

9. 证明:(1)在△ABC和△ADC中,$\begin{cases} AB=AD, \\ BC=DC, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC,
∴AC平分∠BAD.
(2)在△ABE和△ADE中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAE=∠DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△ABE≌△ADE(SAS),
∴BE=DE.

10.如图,在四边形ABCD中,AB=AC,对角线AC,BD相交于点O,E是BD上一点,且AE=AD,BE=CD.
求证:(1)$∠ ABD=∠ ACD$;
(2)$∠ BAC=∠ BDC$.

10. 证明:(1)在△ABE和△ACD中,$\begin{cases} AB=AC, \\ BE=CD, \\ AE=AD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(SSS),
∴∠ABD=∠ACD.
(2)
∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC=∠ABD+∠BAC,∠BOC=∠ACD+∠BDC,
∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC.
∵∠ABD=∠ACD,
∴∠BAC=∠BDC.

11.(2024春·苏州期末)如图，AD，BF相交于点O，AB=DF.点E，C在BF上，且BE=FC，AC=DE.求证:AO=DO.

11. 证明:
∵BE=FC,
∴BE+CE=FC+CE,即BC=FE.
在△ABC和△DFE中,$\begin{cases} BC=FE, \\ AC=DE, \\ AB=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DFE(SSS),
∴∠ACB=∠DEF.
在△AOC和△DOE中,$\begin{cases} ∠ACO=∠DEO, \\ ∠AOC=∠DOE, \\ AC=DE, \end{cases}$
∴△AOC≌△DOE(AAS),
∴AO=DO.