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6.若$\sqrt{3}$的整数部分为$x$，小数部分为$y$，则$\sqrt{3}x - y$的值是 （
A.$3\sqrt{3} - 3$
B.$\sqrt{3}$
C.$1$
D.$3$
C
）A.$3\sqrt{3} - 3$
B.$\sqrt{3}$
C.$1$
D.$3$
答案
6.C
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先估算$\sqrt{3}$的大小范围，由此确定它的整数部分$x$；第二步用$\sqrt{3}$减去整数部分得到小数部分$y$；第三步将$x$和$y$代入所求代数式，按照二次根式的加减法则计算即可得到结果。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$。
2. 确定$x$、$y$的值：
$\sqrt{3}$的整数部分$x=1$，小数部分$y=\sqrt{3}-x=\sqrt{3}-1$。
3. 代入代数式计算：
$\begin{aligned}\sqrt{3}x - y&=\sqrt{3}×1 - (\sqrt{3}-1)\\&=\sqrt{3}-\sqrt{3}+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
无理数估算，二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握无理数大小的估算方法，明确无理数的小数部分等于原数减去它的整数部分，再结合二次根式的运算规则计算即可。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步先估算$\sqrt{3}$的大小范围，由此确定它的整数部分$x$；第二步用$\sqrt{3}$减去整数部分得到小数部分$y$；第三步将$x$和$y$代入所求代数式，按照二次根式的加减法则计算即可得到结果。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$。
2. 确定$x$、$y$的值：
$\sqrt{3}$的整数部分$x=1$，小数部分$y=\sqrt{3}-x=\sqrt{3}-1$。
3. 代入代数式计算：
$\begin{aligned}\sqrt{3}x - y&=\sqrt{3}×1 - (\sqrt{3}-1)\\&=\sqrt{3}-\sqrt{3}+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
无理数估算，二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握无理数大小的估算方法，明确无理数的小数部分等于原数减去它的整数部分，再结合二次根式的运算规则计算即可。
【难度系数】
0.8
7.【本土素材】内蒙古奶酪是蒙古族游牧文化中极具代表性的奶制品，以草原鲜奶为原料，经传统工艺发酵、浓缩制成，因口感醇厚、营养密集，被誉为“草原奶黄金”.现有一块长方形内蒙古奶酪(高度忽略不计)，已知长方形的长为$\frac{1}{2}\sqrt{48}$，宽为$\frac{1}{3}\sqrt{27}$.
(1)求长方形的周长；
(2)若另有一块正方形内蒙古奶酪(高度忽略不计)与该长方形的面积相等，求正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长的大小.
(1)求长方形的周长；
(2)若另有一块正方形内蒙古奶酪(高度忽略不计)与该长方形的面积相等，求正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长的大小.
答案
7.解:(1)长方形的周长为 $2×( \frac{1}{2}\sqrt{48} + \frac{1}{3}\sqrt{27} )=2×(2\sqrt{3}+\sqrt{3})=6\sqrt{3}.$
(2)长方形的面积为 $\frac{1}{2}\sqrt{48} × \frac{1}{3}\sqrt{27} = 2\sqrt{3}×\sqrt{3}=6$,
则正方形的边长为$\sqrt{6}.$
所以正方形的周长为 $4\sqrt{6}.$
因为 $6\sqrt{3}=\sqrt{108},4\sqrt{6}=\sqrt{96}$,且$\sqrt{108}＞\sqrt{96}$,
所以 $6\sqrt{3}＞4\sqrt{6}.$
所以长方形的周长大于正方形的周长.
(2)长方形的面积为 $\frac{1}{2}\sqrt{48} × \frac{1}{3}\sqrt{27} = 2\sqrt{3}×\sqrt{3}=6$,
则正方形的边长为$\sqrt{6}.$
所以正方形的周长为 $4\sqrt{6}.$
因为 $6\sqrt{3}=\sqrt{108},4\sqrt{6}=\sqrt{96}$,且$\sqrt{108}＞\sqrt{96}$,
所以 $6\sqrt{3}＞4\sqrt{6}.$
所以长方形的周长大于正方形的周长.
解析
【分析】
(1) 求长方形周长首先要用到长方形周长公式$2×(长+宽)$，先把题目给出的长$\frac{1}{2}\sqrt{48}$和宽$\frac{1}{3}\sqrt{27}$化简为最简二次根式，再代入公式计算即可。
(2) 先根据长方形面积公式“长×宽”算出长方形面积，因为正方形面积和长方形面积相等，所以正方形边长是面积的算术平方根，再用正方形周长公式$4×边长$算出正方形周长；比较两个周长大小时，利用“若$a＞b＞0$，则$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$”的性质，把两个周长都转化为根号下的形式，比较被开方数的大小就能得到周长的大小关系。
【解析】
(1) 先化简长和宽：
$\frac{1}{2}\sqrt{48}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，$\frac{1}{3}\sqrt{27}=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}=\sqrt{3}$
长方形周长$=2×(长+宽)=2×(2\sqrt{3}+\sqrt{3})=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
(2) 计算长方形面积：
长方形面积$=长×宽=2\sqrt{3}×\sqrt{3}=6$
因为正方形面积与长方形面积相等，所以正方形边长为$\sqrt{6}$
正方形周长$=4×\sqrt{6}=4\sqrt{6}$
比较周长大小：
将两个周长化为根号形式：$6\sqrt{3}=\sqrt{6^2×3}=\sqrt{108}$，$4\sqrt{6}=\sqrt{4^2×6}=\sqrt{96}$
因为$108＞96＞0$，所以$\sqrt{108}＞\sqrt{96}$，即$6\sqrt{3}＞4\sqrt{6}$，因此长方形的周长大于正方形的周长。
【答案】
(1) 长方形的周长为$6\sqrt{3}$；
(2) 正方形的周长为$4\sqrt{6}$，长方形的周长大于正方形的周长。
【知识点】
二次根式化简，二次根式运算，二次根式比较大小
【点评】
本题结合生活素材考查二次根式的相关应用，解题核心是熟练掌握二次根式的化简、运算法则，比较带系数的二次根式大小时，将系数平方移入根号内比较被开方数的方法简便易操作，属于基础巩固类题目，能很好地巩固二次根式相关知识。
【难度系数】
0.7
(1) 求长方形周长首先要用到长方形周长公式$2×(长+宽)$，先把题目给出的长$\frac{1}{2}\sqrt{48}$和宽$\frac{1}{3}\sqrt{27}$化简为最简二次根式，再代入公式计算即可。
(2) 先根据长方形面积公式“长×宽”算出长方形面积，因为正方形面积和长方形面积相等，所以正方形边长是面积的算术平方根，再用正方形周长公式$4×边长$算出正方形周长；比较两个周长大小时，利用“若$a＞b＞0$，则$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$”的性质，把两个周长都转化为根号下的形式，比较被开方数的大小就能得到周长的大小关系。
【解析】
(1) 先化简长和宽：
$\frac{1}{2}\sqrt{48}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，$\frac{1}{3}\sqrt{27}=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}=\sqrt{3}$
长方形周长$=2×(长+宽)=2×(2\sqrt{3}+\sqrt{3})=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
(2) 计算长方形面积：
长方形面积$=长×宽=2\sqrt{3}×\sqrt{3}=6$
因为正方形面积与长方形面积相等，所以正方形边长为$\sqrt{6}$
正方形周长$=4×\sqrt{6}=4\sqrt{6}$
比较周长大小：
将两个周长化为根号形式：$6\sqrt{3}=\sqrt{6^2×3}=\sqrt{108}$，$4\sqrt{6}=\sqrt{4^2×6}=\sqrt{96}$
因为$108＞96＞0$，所以$\sqrt{108}＞\sqrt{96}$，即$6\sqrt{3}＞4\sqrt{6}$，因此长方形的周长大于正方形的周长。
【答案】
(1) 长方形的周长为$6\sqrt{3}$；
(2) 正方形的周长为$4\sqrt{6}$，长方形的周长大于正方形的周长。
【知识点】
二次根式化简，二次根式运算，二次根式比较大小
【点评】
本题结合生活素材考查二次根式的相关应用，解题核心是熟练掌握二次根式的化简、运算法则，比较带系数的二次根式大小时，将系数平方移入根号内比较被开方数的方法简便易操作，属于基础巩固类题目，能很好地巩固二次根式相关知识。
【难度系数】
0.7
