1.下列二次根式中,能与$\sqrt{2}$合并的是 （）

A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{12}$

1.C

【分析】
要判断哪个二次根式能和$\sqrt{2}$合并，首先要明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式，只有同类二次根式才能合并。解题思路为：先将每个选项的二次根式化简为最简形式，再对比化简后的被开方数是否为2，符合要求的即为正确选项。
【解析】
我们逐个化简各选项并判断：
A. $\sqrt{4}=2$，是整数，与$\sqrt{2}$的被开方数不同，不能合并；
B. $\sqrt{5}$已是最简二次根式，被开方数为5，与$\sqrt{2}$的被开方数不同，不能合并；
C. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，和$\sqrt{2}$是同类二次根式，可以合并；
D. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数不同，不能合并。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，解题关键是掌握二次根式的化简方法，牢记只有同类二次根式才能合并的规则，熟练掌握相关概念就能快速解答。
【难度系数】
0.9

2.下列计算正确的是 （）

A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{28}-\sqrt{7}=\sqrt{7}$
C.$3\sqrt{5}-\sqrt{5}=3$
D.$3+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

2.B

【分析】
本题考查二次根式的加减法运算，解题思路如下：首先明确二次根式加减的运算规则：先将所有二次根式化为最简二次根式，再判断是否为同类二次根式（被开方数相同的二次根式），只有同类二次根式可以合并，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变，非同类二次根式不能直接合并。我们只需按照该规则逐个验证选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并，因此A计算错误；
选项B：先化简$\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=2\sqrt{7}$，则$\sqrt{28}-\sqrt{7}=2\sqrt{7}-\sqrt{7}=(2-1)\sqrt{7}=\sqrt{7}$，计算正确，因此B符合要求；
选项C：$3\sqrt{5}-\sqrt{5}$属于同类二次根式合并，计算得$(3-1)\sqrt{5}=2\sqrt{5}≠3$，因此C计算错误；
选项D：3是有理数，$2\sqrt{2}$是最简二次根式，二者不属于同类二次根式，不能直接合并，因此D计算错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简，二次根式加减运算，同类二次根式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查对二次根式加减规则的理解，做题时要注意先化简二次根式再判断是否可合并，避免出现直接相加根号内数字或乱合并非同类二次根式的错误。
【难度系数】
0.8

3.【数形结合】如图，数轴上可近似地表示$(\sqrt{54}+\sqrt{30})÷\sqrt{6}$的值的点是点。

3.C

【分析】
要确定式子的值对应数轴上的点，首先需利用二次根式的运算法则化简原式，得到最简结果后估算其数值范围，再结合数轴上各点所在的区间，即可判断出对应的点。
【解析】
首先根据二次根式的除法运算性质化简原式：
$\begin{aligned}(\sqrt{54}+\sqrt{30})÷\sqrt{6}&=\sqrt{54}÷\sqrt{6}+\sqrt{30}÷\sqrt{6}\\&=\sqrt{\frac{54}{6}}+\sqrt{\frac{30}{6}}\\&=\sqrt{9}+\sqrt{5}\\&=3+\sqrt{5}\end{aligned}$
接下来估算$\sqrt{5}$的范围：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，则$3+2＜3+\sqrt{5}＜3+3$，即$5＜3+\sqrt{5}＜6$。
观察数轴，点C位于5和6之间，符合该值的范围。
【答案】
C
【知识点】
二次根式除法，无理数估算，数轴的应用
【点评】
本题将二次根式运算、无理数估算和数轴知识相结合，解题的核心是先正确化简二次根式，再准确估算结果的取值范围，进而对应数轴上的点，属于基础类考题，需熟练掌握二次根式的运算法则。
【难度系数】
0.7

4.计算：
(1)$3\sqrt{48}-9\sqrt{\frac{1}{3}}+3\sqrt{12}$；
(2)$(\sqrt{20}+\sqrt{18})-(\sqrt{8}-\sqrt{125})$；
(3)$6\sqrt{2} × \sqrt{3} +3\sqrt{30} ÷ \sqrt{5}$；
(4)$(\sqrt{5}+3)(1-\sqrt{5})$。

4.解:(1)原式$=12\sqrt{3}-3\sqrt{3}+6\sqrt{3}=15\sqrt{3}$；
(2)原式$=2\sqrt{5}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+5\sqrt{5}$
$=7\sqrt{5}+\sqrt{2}$；
(3)原式$=6\sqrt{6}+3\sqrt{6}=9\sqrt{6}$；
(4)原式$=\sqrt{5}-5+3-3\sqrt{5}$
$=-2\sqrt{5}-2.$

【分析】
这组题目是二次根式的四则运算题，解题思路如下：首先将所有非最简二次根式化简为最简二次根式；二次根式加减运算只需合并被开方数相同的同类二次根式；二次根式乘除运算遵循$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$的法则计算后再化简；多项式乘法按照乘法分配律展开后再合并同类项即可。具体到各小题：(1)先化简三个二次根式，再合并同类二次根式；(2)先去括号，再化简各根式后合并；(3)分别计算乘法、除法部分，再合并结果；(4)用多项式乘多项式法则展开后合并同类项。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$3\sqrt{48}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$，$9\sqrt{\frac{1}{3}}=9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$，$3\sqrt{12}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
原式$=12\sqrt{3}-3\sqrt{3}+6\sqrt{3}=15\sqrt{3}$
(2) 先去括号，再化简各二次根式：
$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{125}=5\sqrt{5}$
原式$=2\sqrt{5}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+5\sqrt{5}=7\sqrt{5}+\sqrt{2}$
(3) 分别计算乘除部分：
$6\sqrt{2}×\sqrt{3}=6\sqrt{2×3}=6\sqrt{6}$，$3\sqrt{30}÷\sqrt{5}=3\sqrt{30÷5}=3\sqrt{6}$
原式$=6\sqrt{6}+3\sqrt{6}=9\sqrt{6}$
(4) 按照多项式乘法法则展开：
原式$=\sqrt{5}×1 - \sqrt{5}×\sqrt{5} + 3×1 - 3×\sqrt{5}=\sqrt{5}-5+3-3\sqrt{5}=-2\sqrt{5}-2$
【答案】
(1)$15\sqrt{3}$；(2)$7\sqrt{5}+\sqrt{2}$；(3)$9\sqrt{6}$；(4)$-2\sqrt{5}-2$
【知识点】
二次根式化简，二次根式四则运算，同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是熟练掌握二次根式的化简规则和运算法则，运算过程中要注意去括号的符号变化，避免出现漏乘、计算错误等问题。
【难度系数】
0.7

5.已知$x=2+\sqrt{3},y=2-\sqrt{3}$，求下列各式的值：
(1)$x^2+xy+y^2$；
(2)$x^2y-xy^2$。
数学

5.解:因为 $x=2+\sqrt{3},y=2-\sqrt{3}$,
所以 $x-y=(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$,
$xy=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1.$
(1) $x^2 + xy + y^2 = (x-y)^2 + 3xy = (2\sqrt{3})^2 +3×1=12+3=15.$
(2)$x^2 y - xy^2 = xy(x-y)=1×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}.$

【分析】
这道题是二次根式的化简求值题，若直接将x、y代入代数式计算会比较繁琐。观察x、y的形式，二者是共轭二次根式，我们可以先计算出x-y、xy的整体值，再将所求代数式通过因式分解、完全平方公式变形为含有x-y、xy的形式，最后整体代入计算即可，能大幅简化运算过程。
【解析】
解：已知$x=2+\sqrt{3}$，$y=2-\sqrt{3}$，先计算x-y和xy的值：
$x-y=(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})=2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
$xy=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2 - (\sqrt{3})^2=4-3=1$
(1) 对$x^2+xy+y^2$变形：
根据完全平方公式$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$，代入原式得：
$x^2+xy+y^2=(x-y)^2+2xy + xy=(x-y)^2+3xy$
将$x-y=2\sqrt{3}$，$xy=1$代入得：
原式$=(2\sqrt{3})^2 + 3×1=12 + 3=15$
(2) 对$x^2y-xy^2$因式分解：
提取公因式xy得：$x^2y-xy^2=xy(x-y)$
将$xy=1$，$x-y=2\sqrt{3}$代入得：
原式$=1×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
【答案】
(1)$\boxed{15}$；(2)$\boxed{2\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式化简求值，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题考查二次根式的运算与代数式求值，核心是运用整体代入的思想，通过对代数式变形简化计算，避免直接代入的复杂运算，需要熟练掌握乘法公式和因式分解的基本方法。
【难度系数】
0.7