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1.计算：
(1)$\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{3}$；
(2)$\sqrt{8} -5\sqrt{\frac{18}{25}} + \sqrt{32}$；
(3)$2(\sqrt{5} + \sqrt{6}) - (\sqrt{20} - \sqrt{54})$；
(4)$( \sqrt{48} -4\sqrt{\frac{1}{8}} ) - ( 3\sqrt{\frac{1}{3}} -4\sqrt{0.5} )$。
(1)$\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{3}$；
(2)$\sqrt{8} -5\sqrt{\frac{18}{25}} + \sqrt{32}$；
(3)$2(\sqrt{5} + \sqrt{6}) - (\sqrt{20} - \sqrt{54})$；
(4)$( \sqrt{48} -4\sqrt{\frac{1}{8}} ) - ( 3\sqrt{\frac{1}{3}} -4\sqrt{0.5} )$。
答案
(1)原式$=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\sqrt{3}=0$；
(2)原式$=2\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；
(3)原式$=2\sqrt{5}+2\sqrt{6}-2\sqrt{5}+3\sqrt{6}=5\sqrt{6}$；
(4)原式$=4\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}$
$=3\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
(2)原式$=2\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；
(3)原式$=2\sqrt{5}+2\sqrt{6}-2\sqrt{5}+3\sqrt{6}=5\sqrt{6}$；
(4)原式$=4\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}$
$=3\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
解析
【分析】
二次根式加减运算的解题思路可分为三步：①先把算式中所有二次根式化为最简二次根式（被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数）；②若算式含括号，先按去括号法则去括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号；③识别被开方数相同的同类二次根式，类比合并同类项的方法合并同类二次根式，仅系数相加减，被开方数保持不变。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
原式$=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\sqrt{3}=(2-3+1)\sqrt{3}=0$；
(2) 先化简各二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$5\sqrt{\frac{18}{25}}=5×\frac{3\sqrt{2}}{5}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
原式$=2\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=(2-3+4)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；
(3) 先去括号，再化简各二次根式：$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$，
原式$=2\sqrt{5}+2\sqrt{6}-2\sqrt{5}+3\sqrt{6}=(2\sqrt{5}-2\sqrt{5})+(2\sqrt{6}+3\sqrt{6})=5\sqrt{6}$；
(4) 先去括号，再化简各二次根式：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$4\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{2}$，$3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$，$4\sqrt{0.5}=2\sqrt{2}$，
原式$=4\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}=(4\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-\sqrt{2}+2\sqrt{2})=3\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$0$；(2)$3\sqrt{2}$；(3)$5\sqrt{6}$；(4)$3\sqrt{3}+\sqrt{2}$
【知识点】
最简二次根式化简、二次根式加减运算、去括号法则
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，重点考察最简二次根式的化简能力和同类二次根式的合并能力，解题时需注意去括号的符号问题，避免出现被开方数也参与加减的错误。
【难度系数】
0.8
二次根式加减运算的解题思路可分为三步：①先把算式中所有二次根式化为最简二次根式（被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数）；②若算式含括号，先按去括号法则去括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号；③识别被开方数相同的同类二次根式，类比合并同类项的方法合并同类二次根式，仅系数相加减，被开方数保持不变。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
原式$=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\sqrt{3}=(2-3+1)\sqrt{3}=0$；
(2) 先化简各二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$5\sqrt{\frac{18}{25}}=5×\frac{3\sqrt{2}}{5}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
原式$=2\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=(2-3+4)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；
(3) 先去括号，再化简各二次根式：$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$，
原式$=2\sqrt{5}+2\sqrt{6}-2\sqrt{5}+3\sqrt{6}=(2\sqrt{5}-2\sqrt{5})+(2\sqrt{6}+3\sqrt{6})=5\sqrt{6}$；
(4) 先去括号，再化简各二次根式：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$4\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{2}$，$3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$，$4\sqrt{0.5}=2\sqrt{2}$，
原式$=4\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}=(4\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-\sqrt{2}+2\sqrt{2})=3\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$0$；(2)$3\sqrt{2}$；(3)$5\sqrt{6}$；(4)$3\sqrt{3}+\sqrt{2}$
【知识点】
最简二次根式化简、二次根式加减运算、去括号法则
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，重点考察最简二次根式的化简能力和同类二次根式的合并能力，解题时需注意去括号的符号问题，避免出现被开方数也参与加减的错误。
【难度系数】
0.8
2.计算：
(1)$(3+\sqrt{10})(\sqrt{2}-\sqrt{5})$；
(2)$\sqrt{72} ÷ \sqrt{6} + \sqrt{\frac{1}{5}} × \sqrt{15} - \sqrt{75}$；
(3)$(3\sqrt{12} + \frac{2}{3}\sqrt{27} - 9\sqrt{\frac{1}{3}}) ÷ \sqrt{3}$；
(4)$\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{45}} - \sqrt{24} × \sqrt{\frac{1}{4}}$；
(5)$(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) - (\sqrt{3} - 1)^2$；
(6)$(π - 2026)^0 + |\sqrt{7} - 3| - (\frac{1}{\sqrt{7}})^{-1} - \sqrt{21} ÷ \sqrt{3}$。
(1)$(3+\sqrt{10})(\sqrt{2}-\sqrt{5})$；
(2)$\sqrt{72} ÷ \sqrt{6} + \sqrt{\frac{1}{5}} × \sqrt{15} - \sqrt{75}$；
(3)$(3\sqrt{12} + \frac{2}{3}\sqrt{27} - 9\sqrt{\frac{1}{3}}) ÷ \sqrt{3}$；
(4)$\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{45}} - \sqrt{24} × \sqrt{\frac{1}{4}}$；
(5)$(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) - (\sqrt{3} - 1)^2$；
(6)$(π - 2026)^0 + |\sqrt{7} - 3| - (\frac{1}{\sqrt{7}})^{-1} - \sqrt{21} ÷ \sqrt{3}$。
答案
(1)原式$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+2\sqrt{5}-5\sqrt{2}$
$=-2\sqrt{2}-\sqrt{5}$；
(2)原式$=\sqrt{12}+\sqrt{3}-5\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}+\sqrt{3}-5\sqrt{3}$
$=-2\sqrt{3}$；
(3)原式$=(6\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\sqrt{3})÷\sqrt{3}$
$=5\sqrt{3}÷\sqrt{3}=5$；
(4)原式$=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}-\sqrt{6}=1-\sqrt{6}$；
(5)原式$=5-4-(3-2\sqrt{3}+1)$
$=5-4-3+2\sqrt{3}-1$
$=-3+2\sqrt{3}$；
(6)原式$=1+3-\sqrt{7}-\sqrt{7}-\sqrt{7}=4-3\sqrt{7}$。
$=-2\sqrt{2}-\sqrt{5}$；
(2)原式$=\sqrt{12}+\sqrt{3}-5\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}+\sqrt{3}-5\sqrt{3}$
$=-2\sqrt{3}$；
(3)原式$=(6\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\sqrt{3})÷\sqrt{3}$
$=5\sqrt{3}÷\sqrt{3}=5$；
(4)原式$=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}-\sqrt{6}=1-\sqrt{6}$；
(5)原式$=5-4-(3-2\sqrt{3}+1)$
$=5-4-3+2\sqrt{3}-1$
$=-3+2\sqrt{3}$；
(6)原式$=1+3-\sqrt{7}-\sqrt{7}-\sqrt{7}=4-3\sqrt{7}$。
解析
【分析】
这是二次根式混合运算专项题，解题遵循整式运算的规则和顺序：①先处理特殊运算：零指数幂、负指数幂、绝对值、乘方（含乘法公式应用）；②再计算二次根式乘除，运算前先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算；③最后进行加减运算，合并同类二次根式即可。各小题具体思考路径：(1)用多项式乘多项式法则展开后合并同类二次根式；(2)先算乘除再算加减；(3)先化简括号内的二次根式，合并后再除以$\sqrt{3}$，也可直接用分配律计算；(4)先化简各二次根式，再分别计算除法和乘法后做减法；(5)分别用平方差公式、完全平方公式展开，去括号后合并；(6)依次计算零指数幂、去绝对值、负指数幂、二次根式除法，最后合并结果。
【解析】
(1) 按多项式乘多项式法则展开计算：
原式$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+\sqrt{20}-\sqrt{50}$
$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+2\sqrt{5}-5\sqrt{2}$
$=-2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
(2) 先算二次根式乘除，再合并同类二次根式：
原式$=\sqrt{72÷6}+\sqrt{\frac{1}{5}×15}-5\sqrt{3}$
$=\sqrt{12}+\sqrt{3}-5\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}+\sqrt{3}-5\sqrt{3}$
$=-2\sqrt{3}$
(3) 先化简括号内的二次根式，合并后做除法：
原式$=(3×2\sqrt{3}+\frac{2}{3}×3\sqrt{3}-9×\frac{\sqrt{3}}{3})÷\sqrt{3}$
$=(6\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\sqrt{3})÷\sqrt{3}$
$=5\sqrt{3}÷\sqrt{3}$
$=5$
(4) 先化简各二次根式，再分别计算除法和乘法：
原式$=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}-\sqrt{24×\frac{1}{4}}$
$=\frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}-\sqrt{6}$
$=1-\sqrt{6}$
(5) 用平方差公式和完全平方公式展开计算：
原式$=(\sqrt{5}^2-2^2)-(\sqrt{3}^2-2\sqrt{3}+1^2)$
$=(5-4)-(3-2\sqrt{3}+1)$
$=1-4+2\sqrt{3}$
$=-3+2\sqrt{3}$
(6) 依次计算特殊项后合并：
原式$=1+(3-\sqrt{7})-\sqrt{7}-\sqrt{21÷3}$
$=1+3-\sqrt{7}-\sqrt{7}-\sqrt{7}$
$=4-3\sqrt{7}$
【答案】
(1) $-2\sqrt{2}-\sqrt{5}$；
(2) $-2\sqrt{3}$；
(3) $5$；
(4) $1-\sqrt{6}$；
(5) $2\sqrt{3}-3$；
(6) $4-3\sqrt{7}$
【知识点】
二次根式运算，乘法公式应用，零(负)指数幂运算
【点评】
本组题是二次根式运算的典型基础题，覆盖了二次根式加减乘除全类型运算，同时结合了整式运算律、特殊幂运算的考查，计算时注意先化简再运算，关注运算顺序和符号，可有效降低出错率。
【难度系数】
0.7
这是二次根式混合运算专项题，解题遵循整式运算的规则和顺序：①先处理特殊运算：零指数幂、负指数幂、绝对值、乘方（含乘法公式应用）；②再计算二次根式乘除，运算前先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算；③最后进行加减运算，合并同类二次根式即可。各小题具体思考路径：(1)用多项式乘多项式法则展开后合并同类二次根式；(2)先算乘除再算加减；(3)先化简括号内的二次根式，合并后再除以$\sqrt{3}$，也可直接用分配律计算；(4)先化简各二次根式，再分别计算除法和乘法后做减法；(5)分别用平方差公式、完全平方公式展开，去括号后合并；(6)依次计算零指数幂、去绝对值、负指数幂、二次根式除法，最后合并结果。
【解析】
(1) 按多项式乘多项式法则展开计算：
原式$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+\sqrt{20}-\sqrt{50}$
$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+2\sqrt{5}-5\sqrt{2}$
$=-2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
(2) 先算二次根式乘除，再合并同类二次根式：
原式$=\sqrt{72÷6}+\sqrt{\frac{1}{5}×15}-5\sqrt{3}$
$=\sqrt{12}+\sqrt{3}-5\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}+\sqrt{3}-5\sqrt{3}$
$=-2\sqrt{3}$
(3) 先化简括号内的二次根式，合并后做除法：
原式$=(3×2\sqrt{3}+\frac{2}{3}×3\sqrt{3}-9×\frac{\sqrt{3}}{3})÷\sqrt{3}$
$=(6\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\sqrt{3})÷\sqrt{3}$
$=5\sqrt{3}÷\sqrt{3}$
$=5$
(4) 先化简各二次根式，再分别计算除法和乘法：
原式$=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}-\sqrt{24×\frac{1}{4}}$
$=\frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}-\sqrt{6}$
$=1-\sqrt{6}$
(5) 用平方差公式和完全平方公式展开计算：
原式$=(\sqrt{5}^2-2^2)-(\sqrt{3}^2-2\sqrt{3}+1^2)$
$=(5-4)-(3-2\sqrt{3}+1)$
$=1-4+2\sqrt{3}$
$=-3+2\sqrt{3}$
(6) 依次计算特殊项后合并：
原式$=1+(3-\sqrt{7})-\sqrt{7}-\sqrt{21÷3}$
$=1+3-\sqrt{7}-\sqrt{7}-\sqrt{7}$
$=4-3\sqrt{7}$
【答案】
(1) $-2\sqrt{2}-\sqrt{5}$；
(2) $-2\sqrt{3}$；
(3) $5$；
(4) $1-\sqrt{6}$；
(5) $2\sqrt{3}-3$；
(6) $4-3\sqrt{7}$
【知识点】
二次根式运算，乘法公式应用，零(负)指数幂运算
【点评】
本组题是二次根式运算的典型基础题，覆盖了二次根式加减乘除全类型运算，同时结合了整式运算律、特殊幂运算的考查，计算时注意先化简再运算，关注运算顺序和符号，可有效降低出错率。
【难度系数】
0.7
