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【典例1】如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的$\odot D$与AC交于点E。
(1)求证：BC是$\odot D$的切线；
(2)若$AB=5$，$BC=13$，求CE的长。
(1)求证：BC是$\odot D$的切线；
(2)若$AB=5$，$BC=13$，求CE的长。
答案
(1)证明:作$DF⊥ BC$于F,易证$DA=DF$,
$\therefore BC$是$\odot D$的切线.
(2)解:易证$AB=5=BF$,
$\therefore CF=8$,
设$AD=DE=DF=R$,
$\because AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=12$,
$\therefore CD=12-R$,
在$\mathrm{Rt}△ DFC$中,$R^2+8^2=(12-R)^2$,
$R=\frac{10}{3}$,
$\therefore CE=12-2R=\frac{16}{3}$.
变式.(2026·江岸)如图,在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ ACB=90°$,点$O$在$AC$上,以$OC$为半径,$\odot O$切$AB$于点$E$,点$D$为$AB$的中点,$∠ FAC=∠ ACD$.
(1)求证:$AF$为$\odot O$的切线;
(2)若$BC=6$,$AB=10$,求$\odot O$的半径.
(1)求证:$AF$为$\odot O$的切线;
(2)若$BC=6$,$AB=10$,求$\odot O$的半径.
答案
(1)证明:连接OE,过点O作$OM⊥ AF$于点M,
$\because CD=AD⇒∠ ACD=∠ CAD$,
$\therefore ∠ FAC=∠ CAD$,
$\therefore OM=OE=R$,
$\therefore AF$为$\odot O$的切线;
(2)解:$AC=8$,$BC=BE=6$,
$\therefore AE=4$,
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中,
$(8-R)^2=R^2+4^2$,
$\therefore R=3$.
【典例2】如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E，求证：CD是小圆的切线。
答案
证明:连接OE，过O作$OF⊥ CD$于F，再证$OF=OE$即可。
【典例3】如图，点O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的$\odot O$与BC相切于M点，求证：CD是$\odot O$的切线。
答案
证明:连接OM，过O作$ON⊥ CD$于N，再证$OM=ON$即可。
变式.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,⊙O分别与边AB,AD,DC相切,切点分别为E,G,F,其中E为AB边的中点.求证:BC与⊙O相切.
答案
证明:连接OE,OG,过O作$OH⊥ BC$于H,
则$∠ BHO=90°$,
易证四边形EBHO为矩形,
故$OH=OG$,
$\therefore BC$与$\odot O$相切.
