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【典例1】如图，CE是$\odot O$的直径，BC切$\odot O$于点C，连接OB，作$ED// OB$交$\odot O$于点D，求证：BD是$\odot O$的切线。
答案
证明:连接OD,证△DOB≌△COB.
变式.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以BC为直径的⊙O交AB于D,E为AC的中点,连接DE,求证:DE是⊙O的切线.
答案
证明:连接OD,OE，
∴OE//AB，
∴△ODE≌△OCE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线.
【典例2】如图，$\odot O$的直径为$AB$，点$C$在$\odot O$上（异于$A,B$），$AD⊥ CD$。若$AC$是$∠ DAB$的平分线，求证：直线$CD$是$\odot O$的切线。
答案
证明:连接OC,证OC//AD.
变式1.如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ BAC$的平分线交$\odot O$于点$D$，过点$D$作$BC$的平行线与$AC$的延长线相交于点$P$.求证：$PD$是$\odot O$的切线.
答案
证明:连接DB,DC,OD，
易证∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC,
∴DP⊥OD，
∴PD是⊙O的切线.
变式2.(2026·黄陂)如图，AB为$\odot O$的直径，点D为$\odot O$上一点，连接AD，$BC// AD$，连接CD.若$∠ A+∠ C=90°$，求证：CD是$\odot O$的切线.
答案
证明:连接OD,
∴∠A=∠ADO，
又
∵BC//AD，
∴∠C+∠ADC=180°，
∴∠ODC=90°，
∴CD为⊙O的切线.
