1.如图，AB为$\odot O$的直径，D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，$DE⊥ AC$交AC的延长线于E.
(1)求证：DE是$\odot O$的切线；
(2)若$CE=1$，$DE=2$，求AC的长.

(1)证明:连接 OD,
证 $OD// AE$;
(2)解:过 O 作 $OM⊥AC$ 于点 M,则 $AM=CM$,设 $AM=x$,
$R=OD=x+1$, 在 $\mathrm{Rt}△AOM$ 中,
$x^2+2^2=(x+1)^2,x=\frac{3}{2}$,故 $AC=3$.

2.(2025·开封)如图，∠ACB=90°,点O在BC上,OA平分∠CAB,以O为圆心,OC为半径作⊙O.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若OB=5,OC=4,求AB的长.

(1)证明:过点 O 作 $OM⊥AB$,
$\because OA$ 平分$∠CAB,\therefore OM=OC=R,$
$\therefore AB$ 为$\odot O$的切线;
(2)解:在 $\mathrm{Rt}△BOM$ 中,
$BM=\sqrt{5^2-4^2}=3$,
设 $AM=x,\because △AOC≌△AOM,$
$\therefore AC=AM=x,$
在 $\mathrm{Rt}△ACB$ 中,$(x+3)^2=x^2+9^2,$
$\therefore x=12,\therefore AB=15$.

3.如图，AB为$\odot O$的直径，F为$\odot O$上一点，弦AE平分$∠ BAF$，过点E作直线$ED⊥ AF$，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线;
(2)若$CB=2,CE=4$,求$\odot O$半径长.

(1)证明:连接 OE,$\because OE=AO,$
$\therefore ∠OAE=∠OEA,$
$\therefore ∠OEA=∠EAD,$
$\therefore OE// AD,$
又$\because AD⊥CD,\therefore OE⊥CE,$
$\therefore CD$ 为$\odot O$的切线;
(2)解:在 $\mathrm{Rt}△OCE$ 中,
设$\odot O$的半径为 R,
$(R+2)^2=4^2+R^2,\therefore R=3$.

4.如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，以CD为直径作⊙O，分别交AC，BC于点M，N，过点M作ME⊥AB，交AB于点E。
(1)求证：ME是⊙O的切线；
(2)若CB＝10，DE＝3，求ME的长。

(1)证明:连接 OM,
$\because OM=OC,$
$\therefore ∠OMC=∠OCM,$
又$\because CD=AD,$
$\therefore ∠A=∠MCO=∠OMC,$
$\therefore OM// AD,\therefore ME⊥OM,$
$\therefore ME$ 为$\odot O$的切线;
(2)解:连接 DM,$\therefore DM⊥AC,$
又$\because CD=AD,\therefore AM=CM,$
$\therefore DM=\frac{1}{2}BC=5,$
又$\because DE=3,\therefore ME=\sqrt{5^2-3^2}=4$.