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1. (2025·淄博)某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据(单位:h)如下:5,7,3,6,8,6,4,7,5,6.
则这组数据的众数和中位数分别是 (
A.5,6
B.5,7
C.6,6
D.6,7
则这组数据的众数和中位数分别是 (
C
)A.5,6
B.5,7
C.6,6
D.6,7
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确众数和中位数的定义，解题分两步开展：第一步找众数，统计每个数据出现的次数，出现次数最多的数就是众数；第二步求中位数，先把这组数据按从小到大的顺序排列，因数据总个数是10（偶数），所以中位数是排序后第5个和第6个数据的平均数，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先将给出的数据从小到大排序：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8。
1. 计算众数：统计各数据出现次数：3出现1次，4出现1次，5出现2次，6出现3次，7出现2次，8出现1次，其中6的出现次数最多，因此众数为6。
2. 计算中位数：这组数据共10个，属于偶数个，取排序后第5个和第6个数据，分别为6和6，因此中位数为$\frac{6+6}{2}=6$。
综上，这组数据的众数和中位数分别是6和6，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
众数；中位数
【点评】
本题属于基础题型，主要考查统计特征量的基本计算，只要准确掌握众数和中位数的定义，排序时不遗漏数据就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确众数和中位数的定义，解题分两步开展：第一步找众数，统计每个数据出现的次数，出现次数最多的数就是众数；第二步求中位数，先把这组数据按从小到大的顺序排列，因数据总个数是10（偶数），所以中位数是排序后第5个和第6个数据的平均数，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先将给出的数据从小到大排序：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8。
1. 计算众数：统计各数据出现次数：3出现1次，4出现1次，5出现2次，6出现3次，7出现2次，8出现1次，其中6的出现次数最多，因此众数为6。
2. 计算中位数：这组数据共10个，属于偶数个，取排序后第5个和第6个数据，分别为6和6，因此中位数为$\frac{6+6}{2}=6$。
综上，这组数据的众数和中位数分别是6和6，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
众数；中位数
【点评】
本题属于基础题型，主要考查统计特征量的基本计算，只要准确掌握众数和中位数的定义，排序时不遗漏数据就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
2. (2024·苏州)某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示.序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择 (
A.甲、丁
B.乙、戊
C.丙、丁
D.丙、戊
C
)A.甲、丁
B.乙、戊
C.丙、丁
D.丙、戊
答案
2. C
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，回忆中位数定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为奇数，中位数是最中间的那个数（即第$\frac{n+1}{2}$个数据，$n$为数据总数）。本题中7个盲盒的中位数是排序后的第4个数据，要求中位数为100，即排序后第4个数据为100。
第二步，整理已选1~5号盲盒的质量分布：小于100g的有2个，等于100g的有1个，大于100g的有2个。
第三步，推导新选2个盲盒的限制条件：若要中位数仍为100，需满足：①小于100g的总个数不能超过3个（否则小于100的数≥4个，排序后第4个数据小于100，不符合要求）；②大于100g的总个数不能超过3个（否则大于100的数≥4个，排序后第4个数据大于100，不符合要求）。因此新选的2个盲盒中，需恰好1个小于100g、1个大于100g。
第四步，结合甲乙丙丁戊的质量和选项判断即可。
【解析】
1. 明确中位数规则：7个数据排序后，第4个数据为中位数，要求其为100g。
2. 统计1~5号盲盒质量：小于100g的共2个，等于100g的共1个，大于100g的共2个。
3. 确定选样要求：要满足中位数为100g，需小于100g的总数量≤3，大于100g的总数量≤3。因此新选的2个盲盒，需1个小于100g、1个大于100g。
4. 分析各盲盒质量：甲＞100g，乙＜100g，丙＜100g，丁＞100g，戊＜100g。
5. 逐一判断选项：
A选项：甲（＞100）、丁（＞100），两个都大于100g，大于100g的总数量变为$2+2=4$，不符合要求；
B选项：乙（＜100）、戊（＜100），两个都小于100g，小于100g的总数量变为$2+2=4$，不符合要求；
C选项：丙（＜100）、丁（＞100），一个小于100g、一个大于100g，小于100g总数量为$2+1=3$，大于100g总数量为$2+1=3$，满足要求；
D选项：丙（＜100）、戊（＜100），两个都小于100g，小于100g的总数量变为$2+2=4$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
中位数的定义、数据统计分析
【点评】
本题考查中位数的实际应用，解题关键是明确中位数的判定规则，结合已有数据的分布特征推导出新增数据的限制条件，再结合选项逐一验证即可，属于基础概念的灵活应用题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，回忆中位数定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为奇数，中位数是最中间的那个数（即第$\frac{n+1}{2}$个数据，$n$为数据总数）。本题中7个盲盒的中位数是排序后的第4个数据，要求中位数为100，即排序后第4个数据为100。
第二步，整理已选1~5号盲盒的质量分布：小于100g的有2个，等于100g的有1个，大于100g的有2个。
第三步，推导新选2个盲盒的限制条件：若要中位数仍为100，需满足：①小于100g的总个数不能超过3个（否则小于100的数≥4个，排序后第4个数据小于100，不符合要求）；②大于100g的总个数不能超过3个（否则大于100的数≥4个，排序后第4个数据大于100，不符合要求）。因此新选的2个盲盒中，需恰好1个小于100g、1个大于100g。
第四步，结合甲乙丙丁戊的质量和选项判断即可。
【解析】
1. 明确中位数规则：7个数据排序后，第4个数据为中位数，要求其为100g。
2. 统计1~5号盲盒质量：小于100g的共2个，等于100g的共1个，大于100g的共2个。
3. 确定选样要求：要满足中位数为100g，需小于100g的总数量≤3，大于100g的总数量≤3。因此新选的2个盲盒，需1个小于100g、1个大于100g。
4. 分析各盲盒质量：甲＞100g，乙＜100g，丙＜100g，丁＞100g，戊＜100g。
5. 逐一判断选项：
A选项：甲（＞100）、丁（＞100），两个都大于100g，大于100g的总数量变为$2+2=4$，不符合要求；
B选项：乙（＜100）、戊（＜100），两个都小于100g，小于100g的总数量变为$2+2=4$，不符合要求；
C选项：丙（＜100）、丁（＞100），一个小于100g、一个大于100g，小于100g总数量为$2+1=3$，大于100g总数量为$2+1=3$，满足要求；
D选项：丙（＜100）、戊（＜100），两个都小于100g，小于100g的总数量变为$2+2=4$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
中位数的定义、数据统计分析
【点评】
本题考查中位数的实际应用，解题关键是明确中位数的判定规则，结合已有数据的分布特征推导出新增数据的限制条件，再结合选项逐一验证即可，属于基础概念的灵活应用题。
【难度系数】
0.7
3. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩为（
A.255分
B.84分
C.84.5分
D.86分
D
）A.255分
B.84分
C.84.5分
D.86分
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查加权平均数的应用，解题思路如下：首先明确题目中给出的2:3:5是笔试、面试、技能操作三项成绩对应的权重，由于各项成绩的重要程度不同，不能直接计算算术平均数，需要用加权平均数公式计算。第一步先计算三项权重的总和，第二步将每项成绩乘对应权重求和，第三步用加权求和的结果除以权重总和，即可得到小王的最终成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算方法：
首先计算权重总和：$2 + 3 + 5 = 10$
再计算加权总分：$85×2 + 80×3 + 90×5 = 170 + 240 + 450 = 860$
最终成绩为加权总分除以权重总和：$860÷10 = 86$（分）
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查加权平均数的计算方法，解题关键是准确匹配各项成绩对应的权重，易错点是混淆加权平均和算术平均，直接将三项成绩求和后除以3导致计算错误。
【难度系数】
0.85
本题考查加权平均数的应用，解题思路如下：首先明确题目中给出的2:3:5是笔试、面试、技能操作三项成绩对应的权重，由于各项成绩的重要程度不同，不能直接计算算术平均数，需要用加权平均数公式计算。第一步先计算三项权重的总和，第二步将每项成绩乘对应权重求和，第三步用加权求和的结果除以权重总和，即可得到小王的最终成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算方法：
首先计算权重总和：$2 + 3 + 5 = 10$
再计算加权总分：$85×2 + 80×3 + 90×5 = 170 + 240 + 450 = 860$
最终成绩为加权总分除以权重总和：$860÷10 = 86$（分）
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查加权平均数的计算方法，解题关键是准确匹配各项成绩对应的权重，易错点是混淆加权平均和算术平均，直接将三项成绩求和后除以3导致计算错误。
【难度系数】
0.85
4. 若一组数据$ x_1, x_2, x_3, \dots, x_n $的方差为2，则数据$ x_1+3, x_2+3, x_3+3, \dots, x_n+3 $的方差是
（
A.2
B.5
C.6
D.11
（
A
）A.2
B.5
C.6
D.11
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的含义与计算方法：方差是衡量一组数据波动大小的量，计算时需要用到每个数据与平均数的差的平方的平均数。我们可以先设原数据的平均数，再推导新数据的平均数，最后代入方差公式对比新旧方差的关系，也可以直接利用方差的性质快速判断：当一组数据全部加上同一个常数时，数据的波动幅度没有发生变化，因此方差不变。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，已知原方差$s^2=2$，根据方差公式可得：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=2$
新数据$x_1+3,x_2+3,\dots,x_n+3$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{(x_1+3)+(x_2+3)+\dots+(x_n+3)}{n}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+\frac{3n}{n}=\overline{x}+3$
新数据的方差为：
$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1+3-\overline{x}')^2+(x_2+3-\overline{x}')^2+\dots+(x_n+3-\overline{x}')^2]$
将$\overline{x}'=\overline{x}+3$代入上式，括号内化简为$x_i+3-(\overline{x}+3)=x_i-\overline{x}$，因此：
$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=s^2=2$
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的计算；方差的性质
【点评】
本题考查方差的相关性质，难度不高，解题的关键是理解方差反映的是数据的波动程度，当一组数据同时加减同一个常数时，数据的波动程度不变，因此方差不变，熟练掌握该性质可以快速得出答案，避免复杂的公式计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆方差的含义与计算方法：方差是衡量一组数据波动大小的量，计算时需要用到每个数据与平均数的差的平方的平均数。我们可以先设原数据的平均数，再推导新数据的平均数，最后代入方差公式对比新旧方差的关系，也可以直接利用方差的性质快速判断：当一组数据全部加上同一个常数时，数据的波动幅度没有发生变化，因此方差不变。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，已知原方差$s^2=2$，根据方差公式可得：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=2$
新数据$x_1+3,x_2+3,\dots,x_n+3$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{(x_1+3)+(x_2+3)+\dots+(x_n+3)}{n}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+\frac{3n}{n}=\overline{x}+3$
新数据的方差为：
$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1+3-\overline{x}')^2+(x_2+3-\overline{x}')^2+\dots+(x_n+3-\overline{x}')^2]$
将$\overline{x}'=\overline{x}+3$代入上式，括号内化简为$x_i+3-(\overline{x}+3)=x_i-\overline{x}$，因此：
$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=s^2=2$
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的计算；方差的性质
【点评】
本题考查方差的相关性质，难度不高，解题的关键是理解方差反映的是数据的波动程度，当一组数据同时加减同一个常数时，数据的波动程度不变，因此方差不变，熟练掌握该性质可以快速得出答案，避免复杂的公式计算。
【难度系数】
0.8
5. 已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是 （
A.1班成绩比2班成绩集中
B.1班成绩的第三四分位数是80分
C.1班同学的成绩有超过140分的
D.1班和2班成绩的中位数相同
D
）A.1班成绩比2班成绩集中
B.1班成绩的第三四分位数是80分
C.1班同学的成绩有超过140分的
D.1班和2班成绩的中位数相同
答案
5. D
解析
【分析】
解决本题首先要明确箱线图的各部分代表的意义：箱线图中，箱体中间的横线是这组数据的中位数，箱体的上下边界分别对应第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数），箱体上下延伸的虚线端点分别是该组数据的最大值和最小值；箱体的宽度反映数据的集中程度，箱体越窄数据越集中。我们逐一分析各选项即可得到正确答案。
【解析】
我们结合箱线图的含义逐一分析选项：
A选项：对比两个班的箱体宽度，1班的箱体比2班更宽，说明1班成绩更分散，因此A错误；
B选项：第三四分位数对应箱体的上边界，观察可知1班箱体上边界为100分，不是80分，因此B错误；
C选项：箱线图的上须端点是该班成绩的最大值，1班最大值约为130分，没有超过140分，因此C错误；
D选项：中位数对应箱体中间的横线，观察可知两个班的中位数横线在同一高度，说明两班成绩的中位数相同，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
箱线图的识别、中位数、四分位数
【点评】
本题考查统计中箱线图的相关概念，重点考察对箱线图各部分含义的理解，只要熟练掌握基础概念就能快速判断选项，是统计部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确箱线图的各部分代表的意义：箱线图中，箱体中间的横线是这组数据的中位数，箱体的上下边界分别对应第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数），箱体上下延伸的虚线端点分别是该组数据的最大值和最小值；箱体的宽度反映数据的集中程度，箱体越窄数据越集中。我们逐一分析各选项即可得到正确答案。
【解析】
我们结合箱线图的含义逐一分析选项：
A选项：对比两个班的箱体宽度，1班的箱体比2班更宽，说明1班成绩更分散，因此A错误；
B选项：第三四分位数对应箱体的上边界，观察可知1班箱体上边界为100分，不是80分，因此B错误；
C选项：箱线图的上须端点是该班成绩的最大值，1班最大值约为130分，没有超过140分，因此C错误；
D选项：中位数对应箱体中间的横线，观察可知两个班的中位数横线在同一高度，说明两班成绩的中位数相同，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
箱线图的识别、中位数、四分位数
【点评】
本题考查统计中箱线图的相关概念，重点考察对箱线图各部分含义的理解，只要熟练掌握基础概念就能快速判断选项，是统计部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
6. 某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0～100 km/h的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据.已知0～100 km/h的加速时间的中位数是m s，满电续航里程的中位数是n km，相应的直线将平面分成了①②③④四个区域(直线不属于任何区域).欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（
A.区域①②
B.区域①③
C.区域①④
D.区域③④
B
）A.区域①②
B.区域①③
C.区域①④
D.区域③④
答案
6. B
解析
【分析】首先明确中位数的定义：将一组数据按从小到大排序后，若数据个数为奇数，中位数是中间位置的数；若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。要让加入两个新数据后，加速时间、续航里程两组数据的中位数均保持不变，需满足：加速时间的两个新数据一个小于m、一个大于m；续航里程的两个新数据一个小于n、一个大于n，再结合四个区域的坐标特征判断即可。
【解析】先明确四个区域的特征：
区域①：满电续航里程＜n，0~100km/h加速时间＜m；
区域②：满电续航里程＞n，0~100km/h加速时间＜m；
区域③：满电续航里程＞n，0~100km/h加速时间＞m；
区域④：满电续航里程＜n，0~100km/h加速时间＞m。
逐一分析选项：
A. 区域①和②的加速时间都小于m，加入后加速时间小于m的数据数量大幅增加，加速时间的中位数会小于m，不符合要求；
B. 区域①的点满足续航＜n、加速＜m，区域③的点满足续航＞n、加速＞m，刚好满足两组数据各新增一个大于中位数、一个小于中位数的数，两组的中位数均不变，符合要求；
C. 区域①和④的续航里程都小于n，加入后续航小于n的数据数量大幅增加，续航里程的中位数会小于n，不符合要求；
D. 区域③和④的加速时间都大于m，加入后加速时间大于m的数据数量大幅增加，加速时间的中位数会大于m，不符合要求。
【答案】B
【知识点】中位数的概念、散点图识别
【点评】本题结合汽车性能评测的实际场景考查中位数的性质，解题的核心是理解加入新数据后中位数不变的条件：新增数据在原中位数上下的数量相等，需要结合散点图的区域特征逐一验证，难度不大但需要细心分析。
【难度系数】0.65
【解析】先明确四个区域的特征：
区域①：满电续航里程＜n，0~100km/h加速时间＜m；
区域②：满电续航里程＞n，0~100km/h加速时间＜m；
区域③：满电续航里程＞n，0~100km/h加速时间＞m；
区域④：满电续航里程＜n，0~100km/h加速时间＞m。
逐一分析选项：
A. 区域①和②的加速时间都小于m，加入后加速时间小于m的数据数量大幅增加，加速时间的中位数会小于m，不符合要求；
B. 区域①的点满足续航＜n、加速＜m，区域③的点满足续航＞n、加速＞m，刚好满足两组数据各新增一个大于中位数、一个小于中位数的数，两组的中位数均不变，符合要求；
C. 区域①和④的续航里程都小于n，加入后续航小于n的数据数量大幅增加，续航里程的中位数会小于n，不符合要求；
D. 区域③和④的加速时间都大于m，加入后加速时间大于m的数据数量大幅增加，加速时间的中位数会大于m，不符合要求。
【答案】B
【知识点】中位数的概念、散点图识别
【点评】本题结合汽车性能评测的实际场景考查中位数的性质，解题的核心是理解加入新数据后中位数不变的条件：新增数据在原中位数上下的数量相等，需要结合散点图的区域特征逐一验证，难度不大但需要细心分析。
【难度系数】0.65
