1. (2025·河北)在反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，若$2＜y＜4$，则（）

A.$\frac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$

B

【分析】首先回忆反比例函数$y=\frac{4}{x}$的性质：$k=4＞0$，因此在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，且函数图象位于第一、三象限。题目给出$2＜y＜4$，$y$为正数，说明对应的$x$为正数，取值在第一象限。接下来我们可以先求出$y=2$和$y=4$时对应的$x$值，再结合增减性确定$x$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$，
∵ $k=4＞0$，
∴ 在第一象限内，$y$随$x$的增大而减小，且$x＞0$时$y＞0$。
已知$2＜y＜4$，均为正数，故对应$x$在第一象限：
当$y=2$时，代入函数得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$；
当$y=4$时，代入函数得$4=\frac{4}{x}$，解得$x=1$。
∵ $y$随$x$的增大而减小，
∴ 当$2＜y＜4$时，$x$的取值范围为$1＜x＜2$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数与不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题关键是先判断函数所在象限，再结合增减性求解变量范围，要注意避免不考虑增减性直接变形不等式导致不等号方向出错的问题。
【难度系数】
0.8

2. 如图，直线$y=ax+b(a≠0)$与双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$交于点$A(-2,4)$和点$B(m,-2)$，则不等式$0＜ax+b＜\frac{k}{x}$的解集是 （）

A.$-2＜x＜4$
B.$-2＜x＜0$
C.$x＜-2$或$0＜x＜4$
D.$-2＜x＜0$或$x＞4$

第2题 第3题

B

【分析】
要解决这个不等式问题，我们可以先利用已知交点求出两个函数的解析式及全部交点坐标，再结合函数图象的位置关系分析不等式的含义：$0＜ax+b＜\frac{k}{x}$表示一次函数值同时满足“大于0”和“小于反比例函数值”两个条件，只需找到图象上同时符合这两个条件的x的取值区间即可。第一步先用待定系数法求出反比例函数的k值，再代入B点坐标求出m，得到两个完整交点；第二步结合图象位置筛选符合不等式的区间。
【解析】
1. 求反比例函数解析式及B点坐标：
将点$A(-2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-2}$，解得$k=-8$，即反比例函数为$y=-\frac{8}{x}$。
将点$B(m,-2)$代入$y=-\frac{8}{x}$，得$-2=\frac{-8}{m}$，解得$m=4$，即$B(4,-2)$。
2. 求一次函数解析式，确定一次函数值大于0的范围：
将$A(-2,4)$、$B(4,-2)$代入$y=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases}4=-2a+b\\-2=4a+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$，即一次函数为$y=-x+2$。
令$y=0$，得$x=2$，因此$ax+b＞0$的解集为$x＜2$。
3. 结合图象判断$ax+b＜\frac{k}{x}$的范围：
观察图象，一次函数值小于反比例函数值的区间为$-2＜x＜0$或$x＞4$。
结合$x＜2$的条件，最终满足$0＜ax+b＜\frac{k}{x}$的解集为$-2＜x＜0$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数与一次函数综合，函数图象与不等式，待定系数法求解析式
【点评】
本题考查函数与不等式的结合，核心是掌握数形结合的思想，将不等式的大小关系转化为函数图象的上下位置关系，能有效降低解题难度，减少计算量。
【难度系数】
0.7

3. 如图，A，B是反比例函数$y=\frac{4}{x}$在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则$△ OAB$的面积是 （）

A.4
B.3
C.2
D.1

B

【分析】
首先根据反比例函数解析式和A、B两点的横坐标，求出两点的坐标；由于△OAB是不规则三角形，直接计算面积较复杂，因此采用割补法，结合反比例函数中k的几何意义，将△OAB的面积转化为直角梯形的面积求解，简化计算过程。
【解析】
解：
∵A，B在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，横坐标分别为2和4
∴当$x=2$时，$y=\frac{4}{2}=2$，即$A(2,2)$；
当$x=4$时，$y=\frac{4}{4}=1$，即$B(4,1)$。
过点A作$AC⊥ x$轴于点C，过点B作$BD⊥ x$轴于点D，则$C(2,0)$，$D(4,0)$。
根据反比例函数$k$的几何意义可得：$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}=\frac{1}{2}×|4|=2$。
∵$S_{四边形OABD}=S_{△ OAB}+S_{△ BOD}$，同时$S_{四边形OABD}=S_{梯形ACDB}+S_{△ AOC}$
∴$S_{△ OAB}=S_{梯形ACDB}$
梯形ACDB的上底$AC=2$，下底$BD=1$，高$CD=4-2=2$，
∴$S_{梯形ACDB}=\frac{1}{2}×(2+1)×2=3$，即$S_{△ OAB}=3$。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的性质 2.割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型题型，核心是利用反比例函数k的几何意义，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积计算，掌握这种转化思路能大幅提高这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7

4. (2024·包头)若反比例函数$y_1=\frac{2}{x}, y_2=-\frac{3}{x}$，当$1≤ x≤3$时，函数$y_1$的最大值是$a$，函数$y_2$的最大值是$b$，则$a^b=$.

解：
对于反比例函数$y_1=\frac{2}{x}$，其中$k=2＞0$，
当$x＞0$时，$y_1$随$x$的增大而减小，
在$1≤ x≤3$范围内，当$x=1$时，$y_1$取得最大值，
即$a=\frac{2}{1}=2$。
对于反比例函数$y_2=-\frac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，
当$x＞0$时，$y_2$随$x$的增大而增大，
在$1≤ x≤3$范围内，当$x=3$时，$y_2$取得最大值，
即$b=\frac{-3}{3}=-1$。
因此$a^b=2^{-1}=\frac{1}{2}$。

【分析】
要解这道题，需先结合反比例函数的性质分别判断两个函数在$1≤x≤3$区间内的增减性，再根据增减性确定最大值对应的x取值，算出a、b的值，最后代入计算$a^b$即可。具体思考路径：①回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的增减性规律：当$k＞0$时，$x＞0$区间内y随x增大而减小，最大值出现在区间最小x处；当$k＜0$时，$x＞0$区间内y随x增大而增大，最大值出现在区间最大x处。②代入对应x值求出a、b后，结合负整数指数幂的运算法则计算最终结果。
【解析】
对于反比例函数$y_1=\frac{2}{x}$，其中$k=2＞0$，
当$x＞0$时，$y_1$随$x$的增大而减小，
在$1≤ x≤3$范围内，当$x=1$时，$y_1$取得最大值，
即$a=\frac{2}{1}=2$。
对于反比例函数$y_2=-\frac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，
当$x＞0$时，$y_2$随$x$的增大而增大，
在$1≤ x≤3$范围内，当$x=3$时，$y_2$取得最大值，
即$b=\frac{-3}{3}=-1$。
因此$a^b=2^{-1}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的增减性；负整数指数幂运算
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题型，解题核心是根据k的正负判断函数在给定区间的单调性，进而确定最值点，掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8

5. (2025·南京)已知反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$，则当$1≤ x≤ 3$时，$\dfrac{y}{x}$的最小值是。

$\dfrac{2}{3}$

【分析】
要求$1≤ x≤3$时$\dfrac{y}{x}$的最小值，可先将已知的反比例函数解析式$y=\dfrac{6}{x}$代入$\dfrac{y}{x}$，把待求式转化为仅含自变量x的代数式，再结合x的取值范围，分析代数式的增减性，即可找到最值对应的x取值，代入计算即可。
【解析】
将$y=\dfrac{6}{x}$代入$\dfrac{y}{x}$，可得：
$\dfrac{y}{x}=\dfrac{\dfrac{6}{x}}{x}=\dfrac{6}{x^2}$
已知$1≤ x≤3$，且x为正数，$x^2$随x的增大而增大，因此$\dfrac{6}{x^2}$随x的增大而减小。
则当x取最大值3时，$\dfrac{y}{x}$取得最小值，代入计算得：
$\dfrac{6}{3^2}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数性质，代数式化简，函数最值求解
【点评】
本题是反比例函数与代数式最值的结合题型，解题核心是先通过代入消元将双变量代数式转化为仅含自变量的形式，再结合自变量取值范围和函数增减性求最值，是基础类的综合考题。
【难度系数】
0.7

6. 已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$ 的图象和 $y=-\frac{k}{x}$ 的图象在同一平面直角坐标系中.
(1) 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象上有一点 $A(3,m)$.
① 若直线 $y=2x-1$ 经过点 $A$,求此时 $k$ 的值;
② 若点 $B(t,n)$ 也在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象上,且 $m＞n$,直接写出 $t$ 的取值范围.
(2) 当 $1≤x≤4$ 时,函数 $y=\frac{k}{x}$ 的最小值为 $a$,函数 $y=-\frac{k}{x}$ 的最大值为 $a-3$,求此时 $k$ 和 $a$ 的值.

6. (1) ① 将$A(3,m)$代入$y=2x-1$,得$m=5$,即$A(3,5)$,再将点$A$代入$y=\frac{k}{x}$中,$\therefore k=3×5=15$. ② 如图,由图可知,当$m＞n$时,则$t＜0$或$t＞3$. (2) 当$1≤ x≤4$时,函数$y=\frac{k}{x}$的最小值为$a$,故$4a=k$,当$1≤ x≤4$时,函数$y=-\frac{k}{x}$的最大值为$a-3$,故$4(a-3)=-k$,解方程组$\begin{cases}4a=k,\\4(a-3)=-k,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=6\\a=\dfrac{3}{2}.\end{cases}$

【分析】
(1)① 解题思路：已知点A在一次函数图象上，先将点A的横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标m，得到点A的完整坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
② 解题思路：k＞0时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。结合点A在第一象限，纵坐标m＞0，分两种情况讨论：若点B在第三象限，纵坐标n＜0，必然满足m＞n，此时t＜0；若点B在第一象限，要满足m＞n，根据增减性可知横坐标需大于3，即t＞3，综合可得t的取值范围。
(2) 解题思路：k＞0时，$y=\frac{k}{x}$在x＞0的范围内y随x增大而减小，因此在$1≤x≤4$区间内，x取最大值4时y取得最小值a，得到k与a的第一个关系式；对于$y=-\frac{k}{x}$，由于$-k＜0$，在x＞0的范围内y随x增大而增大，因此在$1≤x≤4$区间内，x取最大值4时y取得最大值$a-3$，得到k与a的第二个关系式，联立两个关系式组成方程组求解，即可得到k和a的值。
【解析】
(1) ① 将$A(3,m)$代入$y=2x-1$，得：
$m=2×3-1=5$，即$A(3,5)$，
再将点$A(3,5)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$k=3×5=15$。
② 由反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的性质，结合图象分析可得：当$m＞n$时，$t$的取值范围为$t＜0$或$t＞3$。
(2) 当$1≤x≤4$时，$k＞0$，$y=\frac{k}{x}$随$x$的增大而减小，因此$x=4$时$y$取最小值$a$，即$\frac{k}{4}=a$，整理得$4a=k$ ①；
当$1≤x≤4$时，$-k＜0$，$y=-\frac{k}{x}$随$x$的增大而增大，因此$x=4$时$y$取最大值$a-3$，即$-\frac{k}{4}=a-3$，整理得$4(a-3)=-k$ ②；
将①代入②，得$4(a-3)=-4a$，解得$a=\frac{3}{2}$，
把$a=\frac{3}{2}$代入①，得$k=4×\frac{3}{2}=6$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{k=15}$；② $\boldsymbol{t＜0}$或$\boldsymbol{t＞3}$
(2) $\boldsymbol{k=6}$，$\boldsymbol{a=\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 函数图象上点的坐标特征
3. 反比例函数的增减性与最值
【点评】
本题综合考查反比例函数的相关性质，涉及点与函数图象的关系、利用增减性求最值等内容，解题时要注意结合图象分析，讨论点所在象限时避免漏解。
【难度系数】
0.7