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7. 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边BC与x轴平行,A,B两点纵坐标分别为4,2,反比例函数$y=\frac{k}{x}$经过A,B两点,若菱形ABCD面积为8,则k值为 (
A.$-8\sqrt{3}$
B.$-2\sqrt{3}$
C.$-8$
D.$-6\sqrt{3}$
A
)A.$-8\sqrt{3}$
B.$-2\sqrt{3}$
C.$-8$
D.$-6\sqrt{3}$
答案
7. A
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先根据反比例函数上点的坐标特征，用k表示出A、B两点的坐标；其次利用菱形对边平行的性质，得到菱形上下边的距离（即高）为A、B两点的纵坐标差，结合菱形面积求出边长；最后根据两点间距离公式列方程求解k，结合点所在象限确定k的符号即可。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$经过A、B两点，A、B两点纵坐标分别为4，2
∴设$A(\frac{k}{4},4)$，$B(\frac{k}{2},2)$
∵菱形ABCD的边BC与x轴平行，AD//BC
∴菱形AD与BC边之间的高$h=4-2=2$
已知菱形ABCD面积为8，菱形面积=底×高，即$BC × h = 8$
代入h=2得：$BC=\frac{8}{2}=4$
∵菱形四边相等，
∴$AB=BC=4$
根据两点间距离公式，AB的长度为：
$\sqrt{(\frac{k}{4}-\frac{k}{2})^2 + (4-2)^2}=4$
化简得：$\sqrt{(-\frac{k}{4})^2 + 2^2}=4$
两边平方：$\frac{k^2}{16} + 4 = 16$
移项计算：$\frac{k^2}{16}=12$，$k^2=192$，解得$k=\pm 8\sqrt{3}$
由图像可知A、B两点在第二象限，横坐标均为负数，$k=xy＜0$
∴$k=-8\sqrt{3}$
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，菱形的性质，两点间距离公式
【点评】
本题综合考查反比例函数与菱形的相关性质，解题的核心是通过菱形面积公式求出边长，再结合反比例函数上点的坐标特征建立方程求解，需注意根据函数图像所在象限判断k的正负，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：首先根据反比例函数上点的坐标特征，用k表示出A、B两点的坐标；其次利用菱形对边平行的性质，得到菱形上下边的距离（即高）为A、B两点的纵坐标差，结合菱形面积求出边长；最后根据两点间距离公式列方程求解k，结合点所在象限确定k的符号即可。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$经过A、B两点，A、B两点纵坐标分别为4，2
∴设$A(\frac{k}{4},4)$，$B(\frac{k}{2},2)$
∵菱形ABCD的边BC与x轴平行，AD//BC
∴菱形AD与BC边之间的高$h=4-2=2$
已知菱形ABCD面积为8，菱形面积=底×高，即$BC × h = 8$
代入h=2得：$BC=\frac{8}{2}=4$
∵菱形四边相等，
∴$AB=BC=4$
根据两点间距离公式，AB的长度为：
$\sqrt{(\frac{k}{4}-\frac{k}{2})^2 + (4-2)^2}=4$
化简得：$\sqrt{(-\frac{k}{4})^2 + 2^2}=4$
两边平方：$\frac{k^2}{16} + 4 = 16$
移项计算：$\frac{k^2}{16}=12$，$k^2=192$，解得$k=\pm 8\sqrt{3}$
由图像可知A、B两点在第二象限，横坐标均为负数，$k=xy＜0$
∴$k=-8\sqrt{3}$
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，菱形的性质，两点间距离公式
【点评】
本题综合考查反比例函数与菱形的相关性质，解题的核心是通过菱形面积公式求出边长，再结合反比例函数上点的坐标特征建立方程求解，需注意根据函数图像所在象限判断k的正负，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8. 如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过$□ ABCD$对角线的交点$P$，已知点$A,C,D$在坐标轴上，$BD⊥ DC$，$□ ABCD$的面积为6，则$k=$
-3
。答案
8. -3
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先结合平行四边形的性质与已知垂直条件，分析各点坐标的关系：AB平行x轴，BD垂直x轴，A在y轴，C、D在x轴；2. 利用平行四边形对角线互相平分的性质，得出P是对角线中点，可通过设点坐标表示P点坐标；3. 结合平行四边形面积为6，得到坐标乘积的等量关系；4. 将P点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值，注意图象在第二象限，k为负数。
【解析】
设点D的坐标为$(a,0)$，点B的纵坐标为$b$（$a＜0,b＞0$）。
∵ $BD⊥ DC$，DC在x轴上，
∴ B点横坐标与D相同，即$B(a,b)$，BD的长度为$b$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB=CD$，
∵ A在y轴上，AB平行x轴，
∴ A点坐标为$(0,b)$，AB的长度为$0 - a = -a$，即$CD=AB=-a$。
∵ 平行四边形ABCD的面积为6，面积=底×高=$CD× BD$，
∴ $(-a)× b = 6$，即$ab=-6$。
∵ P是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴ P是BD的中点，
∴ P点坐标为$(a, \frac{0+b}{2})=(a, \frac{b}{2})$。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$过点P，
∴ $k = x_P · y_P = a×\frac{b}{2} = \frac{ab}{2}$，
将$ab=-6$代入得：$k=\frac{-6}{2}=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
平行四边形的性质；反比例函数的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题综合考查了平行四边形的性质与反比例函数的相关知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质得到交点P的坐标表达式，结合面积公式建立等量关系求解，是反比例函数与几何图形结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先结合平行四边形的性质与已知垂直条件，分析各点坐标的关系：AB平行x轴，BD垂直x轴，A在y轴，C、D在x轴；2. 利用平行四边形对角线互相平分的性质，得出P是对角线中点，可通过设点坐标表示P点坐标；3. 结合平行四边形面积为6，得到坐标乘积的等量关系；4. 将P点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值，注意图象在第二象限，k为负数。
【解析】
设点D的坐标为$(a,0)$，点B的纵坐标为$b$（$a＜0,b＞0$）。
∵ $BD⊥ DC$，DC在x轴上，
∴ B点横坐标与D相同，即$B(a,b)$，BD的长度为$b$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB=CD$，
∵ A在y轴上，AB平行x轴，
∴ A点坐标为$(0,b)$，AB的长度为$0 - a = -a$，即$CD=AB=-a$。
∵ 平行四边形ABCD的面积为6，面积=底×高=$CD× BD$，
∴ $(-a)× b = 6$，即$ab=-6$。
∵ P是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴ P是BD的中点，
∴ P点坐标为$(a, \frac{0+b}{2})=(a, \frac{b}{2})$。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$过点P，
∴ $k = x_P · y_P = a×\frac{b}{2} = \frac{ab}{2}$，
将$ab=-6$代入得：$k=\frac{-6}{2}=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
平行四边形的性质；反比例函数的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题综合考查了平行四边形的性质与反比例函数的相关知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质得到交点P的坐标表达式，结合面积公式建立等量关系求解，是反比例函数与几何图形结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
9. 如图，一次函数$y=x+2$与反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为(1，m)，点B的坐标为(n，-1)。
（1）求m，n的值和反比例函数的解析式；
（2）点A关于原点O的对称点为$A'$，在x轴上找一点P，使$PA'+PB$最小，求出点P的坐标。
（1）求m，n的值和反比例函数的解析式；
（2）点A关于原点O的对称点为$A'$，在x轴上找一点P，使$PA'+PB$最小，求出点P的坐标。
答案
9. (1) 将点$A(1,m)$,点$B(n,-1)$分别代入$y=x+2$之中,得:$m=1+2,-1=n+2$,解得:$m=3,n=-3$,$\therefore$ 点$A(1,3)$,点$B(-3,-1)$,将点$(1,3)$代入$y=\frac{a}{x}$之中,得:$a=1×3=3$,$\therefore$ 反比例函数的解析式为:$y=\frac{3}{x}$,故得$m=3,n=-3$,反比例函数的解析式为:$y=\frac{3}{x}$. (2) 作点$B$关于$x$轴的对称点$B'$,连接$A'B'$交$x$轴于点$P$,连接$PB$,如图
,则$PA'+PB$为最小,故得点$P$为所求作的点. 理由如下:在$x$轴上任取一点$M$,连接$MB,MB',MA'$,$\because$ 点$B$关于$x$轴的对称点$B'$,$\therefore x$轴为线段$BB'$的垂直平分线,$\therefore PB=PB',MB=MB'$,$\therefore MA'+MB=MA'+MB'$,$PA'+PB=PA'+PB'=A'B'$,根据“两点之间线段最短”得:$A'B'≤ MA'+MB'$,即:$PA'+PB≤ MA'+MB$,$\therefore PA'+PB$为最小. $\because$ 点$A(1,3)$,点$A$与点$A'$关于原点$O$对称,$\therefore$ 点$A'$的坐标为$(-1,-3)$. 又$\because$ 点$B(-3,-1)$,点$B$和点$B'$关于$x$轴对称,$\therefore$ 点$B'$的坐标为$(-3,1)$,设直线$A'B'$的解析式为:$y=kx+b$,将点$A'(-1,-3),B'(-3,1)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}-k+b=-3,\\-3k+b=1,\end{cases}$解得:$\begin{cases}k=-2,\\b=-5,\end{cases}$$\therefore$ 直线$A'B'$的解析式为:$y=-2x-5$,对于$y=-2x-5$,当$y=0$时,$x=-2.5$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-2.5,0)$.解析
【分析】
（1）已知点A、B均在一次函数$y=x+2$的图象上，将两点坐标分别代入一次函数解析式，即可求出m、n的值，得到点A的完整坐标后，再代入反比例函数解析式求出a的值，就能得到反比例函数的解析式。
（2）本题属于最短路径（将军饮马）类问题：首先根据关于原点对称的点的坐标特征求出$A'$的坐标，观察可知$A'$和点B都在x轴下方，因此作点B关于x轴的对称点$B'$，根据轴对称性质可得$PB=PB'$，此时$PA'+PB=PA'+PB'$，根据“两点之间线段最短”，当P为$A'B'$与x轴的交点时，$PA'+PB$的取值最小。最后用待定系数法求出直线$A'B'$的解析式，令$y=0$即可求出P点的坐标。
【解析】
（1）将点$A(1,m)$、点$B(n,-1)$分别代入$y=x+2$，得：
$m=1+2$，$-1=n+2$
解得：$m=3$，$n=-3$，即$A(1,3)$，$B(-3,-1)$。
将$A(1,3)$代入$y=\frac{a}{x}$，得$a=1×3=3$，因此反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
（2）作点$B$关于$x$轴的对称点$B'$，连接$A'B'$交$x$轴于点$P$，连接$PB$，如图，此时$PA'+PB$的值最小。
理由：在x轴上任取一点M，连接$MB、MB'、MA'$，因为x轴是线段$BB'$的垂直平分线，所以$PB=PB'$，$MB=MB'$，因此$PA'+PB=PA'+PB'=A'B'$，$MA'+MB=MA'+MB'$。根据“两点之间线段最短”，$A'B'≤ MA'+MB'$，即$PA'+PB≤ MA'+MB$，故此时$PA'+PB$最小。
因为点$A(1,3)$与$A'$关于原点对称，所以$A'$的坐标为$(-1,-3)$；点$B(-3,-1)$与$B'$关于x轴对称，所以$B'$的坐标为$(-3,1)$。
设直线$A'B'$的解析式为$y=kx+b$，将$A'(-1,-3)$、$B'(-3,1)$代入得：
$\begin{cases}-k+b=-3\\-3k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=-5\end{cases}$，即直线$A'B'$的解析式为$y=-2x-5$。
令$y=0$，则$0=-2x-5$，解得$x=-2.5$，所以点P的坐标为$(-2.5,0)$。
【答案】
(1) $m=3$，$n=-3$，反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$；
(2) 点P的坐标为$(-2.5,0)$，作图如图。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 对称点的坐标特征
3. 最短路径问题
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，既考查了代入求参的基础运算能力，也结合轴对称性质考查了经典的最短路径模型，能够有效检验学生对函数知识和几何最值模型的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）已知点A、B均在一次函数$y=x+2$的图象上，将两点坐标分别代入一次函数解析式，即可求出m、n的值，得到点A的完整坐标后，再代入反比例函数解析式求出a的值，就能得到反比例函数的解析式。
（2）本题属于最短路径（将军饮马）类问题：首先根据关于原点对称的点的坐标特征求出$A'$的坐标，观察可知$A'$和点B都在x轴下方，因此作点B关于x轴的对称点$B'$，根据轴对称性质可得$PB=PB'$，此时$PA'+PB=PA'+PB'$，根据“两点之间线段最短”，当P为$A'B'$与x轴的交点时，$PA'+PB$的取值最小。最后用待定系数法求出直线$A'B'$的解析式，令$y=0$即可求出P点的坐标。
【解析】
（1）将点$A(1,m)$、点$B(n,-1)$分别代入$y=x+2$，得：
$m=1+2$，$-1=n+2$
解得：$m=3$，$n=-3$，即$A(1,3)$，$B(-3,-1)$。
将$A(1,3)$代入$y=\frac{a}{x}$，得$a=1×3=3$，因此反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
（2）作点$B$关于$x$轴的对称点$B'$，连接$A'B'$交$x$轴于点$P$，连接$PB$，如图
，此时$PA'+PB$的值最小。理由：在x轴上任取一点M，连接$MB、MB'、MA'$，因为x轴是线段$BB'$的垂直平分线，所以$PB=PB'$，$MB=MB'$，因此$PA'+PB=PA'+PB'=A'B'$，$MA'+MB=MA'+MB'$。根据“两点之间线段最短”，$A'B'≤ MA'+MB'$，即$PA'+PB≤ MA'+MB$，故此时$PA'+PB$最小。
因为点$A(1,3)$与$A'$关于原点对称，所以$A'$的坐标为$(-1,-3)$；点$B(-3,-1)$与$B'$关于x轴对称，所以$B'$的坐标为$(-3,1)$。
设直线$A'B'$的解析式为$y=kx+b$，将$A'(-1,-3)$、$B'(-3,1)$代入得：
$\begin{cases}-k+b=-3\\-3k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=-5\end{cases}$，即直线$A'B'$的解析式为$y=-2x-5$。
令$y=0$，则$0=-2x-5$，解得$x=-2.5$，所以点P的坐标为$(-2.5,0)$。
【答案】
(1) $m=3$，$n=-3$，反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$；
(2) 点P的坐标为$(-2.5,0)$，作图如图
。【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 对称点的坐标特征
3. 最短路径问题
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，既考查了代入求参的基础运算能力，也结合轴对称性质考查了经典的最短路径模型，能够有效检验学生对函数知识和几何最值模型的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图，矩形ABCD的两边AB，BC的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是AD的中点，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点E，与BC交于点F，且$CF-BE=1$。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得$S_{△ CEP}=\frac{2}{3}S_{矩形ABCD}$，求此时点P的坐标。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得$S_{△ CEP}=\frac{2}{3}S_{矩形ABCD}$，求此时点P的坐标。
答案
10. (1) $\because E$是$AD$的中点,$\therefore AE=\frac{1}{2}AD=4$. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,由勾股定理得:$BE=\sqrt{3^2+4^2}=5$. $\because CF-BE=1$,$\therefore CF=6$,$\therefore F$的横坐标为$-6$. 设$F(-6,m)$,则$E(-4,m+3)$,$\because E,F$都在反比例函数图象上,$\therefore -6m=-4(m+3)$,解得$m=6$,$\therefore F(-6,6)$,$\therefore k=-36$,$\therefore$ 反比例函数$y=-\frac{36}{x}$; (2) $\because S_{△ CEP}=\frac{2}{3}S_{矩形ABCD}$,$\therefore \frac{1}{2}× CP×4=\frac{2}{3}×8×3$,$\therefore CP=8$,$\therefore P(0,14)$或$(0,-2)$.
解析
【分析】
（1）首先利用矩形边长和E为AD中点的条件，结合勾股定理算出BE的长度，再由CF-BE=1得到CF的长度，确定F点的横坐标；因为E、F分别在水平线段AD、BC上，两点纵坐标相差AB的长度3，设出E、F的坐标，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于定值k，列方程求解即可得到k，确定反比例函数解析式。
（2）先计算矩形ABCD的面积，得到△CEP的面积；△CEP以y轴上的CP为底时，高为E点到y轴的水平距离，根据三角形面积公式求出CP的长度，再分点P在C点上方、下方两种情况计算P的坐标即可。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，$BC=8$，E是AD的中点，
∴ $AD=BC=8$，$AE=\frac{1}{2}AD=4$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=3$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵ $CF-BE=1$，
∴ $CF=5+1=6$，
∵ C在y轴上，F在BC上，
∴ F点的横坐标为$-6$，
设$F(-6,m)$，E在AD上，横坐标为$-4$，且E的纵坐标比F大3，即$E(-4,m+3)$，
∵ E、F都在反比例函数图象上，横纵坐标乘积等于k，
∴ $-6m=-4(m+3)$，
解得$m=6$，
∴ $k=-6×6=-36$，
即反比例函数的解析式为$y=-\frac{36}{x}$。
(2) 矩形ABCD的面积为$AB×BC=3×8=24$，
∴ $S_{△ CEP}=\frac{2}{3}×24=16$，
设点P坐标为$(0,p)$，C点纵坐标为6，故$CP=|p-6|$，
△CEP以CP为底时，高为E到y轴的水平距离4，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}×CP×4=16$，
解得$CP=8$，
∴ $|p-6|=8$，即$p-6=8$或$p-6=-8$，
得$p=14$或$p=-2$，
即点P坐标为$(0,14)$或$(0,-2)$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-\dfrac{36}{x}}$
（2）$\boldsymbol{(0,14)}$或$\boldsymbol{(0,-2)}$
【知识点】
反比例函数解析式确定，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数与矩形几何性质的结合，解题时需要灵活完成线段长度和点坐标的转化，求解点P坐标时注意分类讨论，避免漏解，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.65
（1）首先利用矩形边长和E为AD中点的条件，结合勾股定理算出BE的长度，再由CF-BE=1得到CF的长度，确定F点的横坐标；因为E、F分别在水平线段AD、BC上，两点纵坐标相差AB的长度3，设出E、F的坐标，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于定值k，列方程求解即可得到k，确定反比例函数解析式。
（2）先计算矩形ABCD的面积，得到△CEP的面积；△CEP以y轴上的CP为底时，高为E点到y轴的水平距离，根据三角形面积公式求出CP的长度，再分点P在C点上方、下方两种情况计算P的坐标即可。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，$BC=8$，E是AD的中点，
∴ $AD=BC=8$，$AE=\frac{1}{2}AD=4$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=3$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵ $CF-BE=1$，
∴ $CF=5+1=6$，
∵ C在y轴上，F在BC上，
∴ F点的横坐标为$-6$，
设$F(-6,m)$，E在AD上，横坐标为$-4$，且E的纵坐标比F大3，即$E(-4,m+3)$，
∵ E、F都在反比例函数图象上，横纵坐标乘积等于k，
∴ $-6m=-4(m+3)$，
解得$m=6$，
∴ $k=-6×6=-36$，
即反比例函数的解析式为$y=-\frac{36}{x}$。
(2) 矩形ABCD的面积为$AB×BC=3×8=24$，
∴ $S_{△ CEP}=\frac{2}{3}×24=16$，
设点P坐标为$(0,p)$，C点纵坐标为6，故$CP=|p-6|$，
△CEP以CP为底时，高为E到y轴的水平距离4，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}×CP×4=16$，
解得$CP=8$，
∴ $|p-6|=8$，即$p-6=8$或$p-6=-8$，
得$p=14$或$p=-2$，
即点P坐标为$(0,14)$或$(0,-2)$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-\dfrac{36}{x}}$
（2）$\boldsymbol{(0,14)}$或$\boldsymbol{(0,-2)}$
【知识点】
反比例函数解析式确定，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数与矩形几何性质的结合，解题时需要灵活完成线段长度和点坐标的转化，求解点P坐标时注意分类讨论，避免漏解，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.65
