登录
8. 如图，直线$y=kx+b$（$k,b$为常数）与双曲线$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数）相交于$A(2,a),B(-1,2)$两点.
（1）求直线$y=kx+b$的解析式；
（2）在双曲线$y=\frac{m}{x}$上任取两点$M(x_1,y_1)$和$N(x_2,y_2)$，若$x_1＜x_2$，试确定$y_1$和$y_2$的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于$x$的不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集.
（1）求直线$y=kx+b$的解析式；
（2）在双曲线$y=\frac{m}{x}$上任取两点$M(x_1,y_1)$和$N(x_2,y_2)$，若$x_1＜x_2$，试确定$y_1$和$y_2$的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于$x$的不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集.
答案
(1) 由题意,将B点代入双曲线解析式$y=\frac{m}{x},\therefore 2=\frac{m}{-1},\therefore m=-2,\therefore$ 双曲线为$y=-\frac{2}{x}$. 又$A(2,a)$在双曲线上,$\therefore a=-1.\therefore A(2,-1)$. 将A,B代入一次函数解析式得$\begin{cases}2k+b=-1,\\-k+b=2.\end{cases}\therefore \begin{cases}k=-1,\\b=1.\end{cases}\therefore$ 直线$y=kx+b$的解析式为$y=-x+1$；
(2) 由题意,可分成两种情形. ① M,N在双曲线的同一支上,由双曲线$y=-\frac{2}{x}$,在同一支上时函数值随x的增大而增大,$\therefore$ 当$x_1＜x_2$时,$y_1＜y_2$. ② M,N在双曲线的不同的一支上,$\because x_1＜x_2,\therefore x_1＜0＜x_2,\therefore$ 此时由图象可得$y_1＞0＞y_2$,即此时当$x_1＜x_2$时,$y_1＞y_2$；
(3) 依据图象,$kx+b＞\frac{m}{x}$即一次函数值大于反比例函数值,$\because A(2,-1),B(-1,2),\therefore$ 不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集为:$x＜-1$或$0＜x＜2$.
(2) 由题意,可分成两种情形. ① M,N在双曲线的同一支上,由双曲线$y=-\frac{2}{x}$,在同一支上时函数值随x的增大而增大,$\therefore$ 当$x_1＜x_2$时,$y_1＜y_2$. ② M,N在双曲线的不同的一支上,$\because x_1＜x_2,\therefore x_1＜0＜x_2,\therefore$ 此时由图象可得$y_1＞0＞y_2$,即此时当$x_1＜x_2$时,$y_1＞y_2$；
(3) 依据图象,$kx+b＞\frac{m}{x}$即一次函数值大于反比例函数值,$\because A(2,-1),B(-1,2),\therefore$ 不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集为:$x＜-1$或$0＜x＜2$.
解析
【分析】
（1）要求一次函数解析式，需先确定A、B两点完整坐标：已知B点坐标，先将其代入反比例函数解析式求出m，得到反比例函数解析式，再将A点横坐标代入反比例函数求出a，得到A点坐标，最后将A、B两点代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到k、b的值。
（2）比较反比例函数上两点纵坐标的大小，需结合反比例函数的单调性分析：反比例函数图象为独立的两支，单调性要分两点在同一支（同一象限）、不同支（不同象限）两种情况讨论，同一支上根据增减性判断，不同支上根据x的正负判断y的正负进而比较大小。
（3）求不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集，本质是找一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，结合两函数交点坐标和x≠0的隐含条件，分x＜0、x＞0两个区间观察图象即可得到结果。
【解析】
(1) 将$B(-1,2)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$2=\frac{m}{-1}$，解得$m=-2$，因此双曲线解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
将$A(2,a)$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$a=-\frac{2}{2}=-1$，即$A(2,-1)$。
将$A(2,-1)$、$B(-1,2)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k+b=-1\\-k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=1\end{cases}$，因此直线解析式为$y=-x+1$。
(2) 由$y=-\frac{2}{x}$可知$k=-2＜0$，函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，分两种情况讨论：
① 当M、N在双曲线的同一支上时，若$x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$；
② 当M、N在双曲线的不同支上时，由$x_1＜x_2$可得$x_1＜0＜x_2$，此时$y_1＞0$，$y_2＜0$，因此$y_1＞y_2$。
(3) 结合两函数交点$B(-1,2)$、$A(2,-1)$，观察图象可得一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为$x＜-1$或$0＜x＜2$。
【答案】
(1) $y=-x+1$
(2) 若M、N在同一支上，$x_1＜x_2$时$y_1＜y_2$；若M、N在不同支上，$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$
(3) $x＜-1$或$0＜x＜2$
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数解析式求解，函数不等式的图象解法
【点评】
本题综合考查一次函数与反比例函数的相关知识，解题中需要用到分类讨论思想和数形结合思想，需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，避免忽略分类导致错解。
【难度系数】
0.6
（1）要求一次函数解析式，需先确定A、B两点完整坐标：已知B点坐标，先将其代入反比例函数解析式求出m，得到反比例函数解析式，再将A点横坐标代入反比例函数求出a，得到A点坐标，最后将A、B两点代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到k、b的值。
（2）比较反比例函数上两点纵坐标的大小，需结合反比例函数的单调性分析：反比例函数图象为独立的两支，单调性要分两点在同一支（同一象限）、不同支（不同象限）两种情况讨论，同一支上根据增减性判断，不同支上根据x的正负判断y的正负进而比较大小。
（3）求不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集，本质是找一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，结合两函数交点坐标和x≠0的隐含条件，分x＜0、x＞0两个区间观察图象即可得到结果。
【解析】
(1) 将$B(-1,2)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$2=\frac{m}{-1}$，解得$m=-2$，因此双曲线解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
将$A(2,a)$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$a=-\frac{2}{2}=-1$，即$A(2,-1)$。
将$A(2,-1)$、$B(-1,2)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k+b=-1\\-k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=1\end{cases}$，因此直线解析式为$y=-x+1$。
(2) 由$y=-\frac{2}{x}$可知$k=-2＜0$，函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，分两种情况讨论：
① 当M、N在双曲线的同一支上时，若$x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$；
② 当M、N在双曲线的不同支上时，由$x_1＜x_2$可得$x_1＜0＜x_2$，此时$y_1＞0$，$y_2＜0$，因此$y_1＞y_2$。
(3) 结合两函数交点$B(-1,2)$、$A(2,-1)$，观察图象可得一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为$x＜-1$或$0＜x＜2$。
【答案】
(1) $y=-x+1$
(2) 若M、N在同一支上，$x_1＜x_2$时$y_1＜y_2$；若M、N在不同支上，$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$
(3) $x＜-1$或$0＜x＜2$
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数解析式求解，函数不等式的图象解法
【点评】
本题综合考查一次函数与反比例函数的相关知识，解题中需要用到分类讨论思想和数形结合思想，需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，避免忽略分类导致错解。
【难度系数】
0.6
9. 我们研究反比例函数图象平移后的性质.
初步探究
（1）将反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象向右平移一个单位，可以得到函数$y=\frac{6}{x-1}$的图象，关于$y=\frac{6}{x-1}$这个函数的性质正确的有：
① 该函数图象与$y$轴的交点坐标是$(0,6)$
② 该函数图象是中心对称图形，对称中心是$(-1,0)$
③ 该函数图象关于直线$y=x-1$对称
④ 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
（2）在图中画出函数$y=2-\frac{6}{x-1}$的图象，根据图象写出其两条不同类型的性质：
问题解决
（3）若函数$y=\frac{3x+k}{x+1}$的图象可以由函数$y=\frac{6}{x}$的图象通过平移得到，求$k$的值；
深入思考
（4）当$a＞0$时，对于任意正数$k$，方程$kx+b=\frac{ax}{x+1}$均无解，直接写出$a,b,k$满足的数量关系.
初步探究
（1）将反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象向右平移一个单位，可以得到函数$y=\frac{6}{x-1}$的图象，关于$y=\frac{6}{x-1}$这个函数的性质正确的有：
③④
；① 该函数图象与$y$轴的交点坐标是$(0,6)$
② 该函数图象是中心对称图形，对称中心是$(-1,0)$
③ 该函数图象关于直线$y=x-1$对称
④ 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
（2）在图中画出函数$y=2-\frac{6}{x-1}$的图象，根据图象写出其两条不同类型的性质：
图象关于直线$y=-x+3$对称
；当$x＜1$时，y随x的增大而增大；当$x＞1$时，y随x的增大而增大
.问题解决
（3）若函数$y=\frac{3x+k}{x+1}$的图象可以由函数$y=\frac{6}{x}$的图象通过平移得到，求$k$的值；
深入思考
（4）当$a＞0$时，对于任意正数$k$，方程$kx+b=\frac{ax}{x+1}$均无解，直接写出$a,b,k$满足的数量关系.
答案
(1) ③④
(2) 作图1如图. 根据图象可得性质:① 图象关于直线$y=-x+3$对称;② 当$x＜1$时,y随x的增大而增大;当$x＞1$时,y随x的增大而增大.
(3) 由题意得,函数$y=\frac{3x+k}{x+1}=\frac{3(x+1)+k-3}{x+1}=3+\frac{k-3}{x+1}$,又$\because$ 函数$y=\frac{3x+k}{x+1}$的图象可以由函数$y=\frac{6}{x}$的图象通过平移得到,$\therefore k-3=6,\therefore k=9$.
(4) 由题意得,$kx+b=\frac{ax}{x+1}=\frac{a(x+1)-a}{x+1}=a-\frac{a}{x+1},\therefore kx+b-a=\frac{-a}{x+1}$.$\because$ 当$a＞0$时,对于任意正数k,方程$kx+b=\frac{ax}{x+1}$均无解,$\therefore$ 函数$y=kx+b-a$与函数$y=\frac{-a}{x+1}$没有交点. 如图2. 结合图象可得,当直线$y=kx+b-a$过$(-1,0)$时符合题意,即经过$(-1,0)$的直线可以和它有交点,$\therefore -k+b-a=0$即$k+a-b=0$.
解析
【分析】
（1）首先明确$y=\frac{6}{x-1}$是由$y=\frac{6}{x}$向右平移1个单位得到的，平移过程中函数的对称中心、对称轴、增减性规律也会对应平移，逐一验证4个结论即可：①代入x=0计算y轴交点；②原反比例函数对称中心为(0,0)，右移1个单位后对称中心变为(1,0)；③原函数对称轴为$y=x$，右移1个单位后对称轴变为$y=x-1$；④x＜0属于函数的左分支，该分支上y随x增大而减小，据此判断正确选项。
（2）先将$y=2-\frac{6}{x-1}$变形为$y=-\frac{6}{x-1}+2$，可知其是由$y=-\frac{6}{x}$向右平移1个单位、向上平移2个单位得到，先确定渐近线x=1、y=2，再描点画图，从对称性、增减性、渐近线等角度写性质即可。
（3）将$y=\frac{3x+k}{x+1}$用分离常数法变形为平移型反比例函数的标准形式$y=c+\frac{m}{x+n}$，因为该函数由$y=\frac{6}{x}$平移得到，所以反比例项的分子为6，列方程即可求k。
（4）先将方程右侧的分式函数分离常数，把方程转化为一次函数等于反比例函数的形式，方程无解等价于两个函数图象无交点，结合图象可知当一次函数恒过反比例函数两条渐近线的交点(-1,0)时，对任意正数k方程都无解，代入点坐标即可得到三者的数量关系。
【解析】
（1）逐个分析选项：
① 令x=0，得$y=\frac{6}{0-1}=-6$，即与y轴交点为$(0,-6)$，①错误；
② $y=\frac{6}{x}$的对称中心为$(0,0)$，向右平移1个单位后，对称中心变为$(1,0)$，②错误；
③ $y=\frac{6}{x}$的对称轴为$y=x$，向右平移1个单位后，对称轴变为$y=x-1$，③正确；
④ 当x＜0时，函数位于x＜1的分支，该分支上y随x的增大而减小，④正确。
（2）$y=2-\frac{6}{x-1}=-\frac{6}{x-1}+2$，是将$y=-\frac{6}{x}$右移1个单位、上移2个单位得到，渐近线为$x=1$和$y=2$，描点画图如下：
根据图象可写性质：①图象关于直线$y=-x+3$对称；②当$x＜1$时，y随x的增大而增大，当$x＞1$时，y随x的增大而增大（性质合理即可）。
（3）对$y=\frac{3x+k}{x+1}$分离常数：
$y=\frac{3(x+1)+k-3}{x+1}=3+\frac{k-3}{x+1}$
∵ 该函数图象由$y=\frac{6}{x}$平移得到，
∴ 反比例项的分子为6，即$k-3=6$，解得$k=9$。
（4）先将方程右侧变形：
$\frac{ax}{x+1}=\frac{a(x+1)-a}{x+1}=a-\frac{a}{x+1}$
原方程$kx+b=\frac{ax}{x+1}$整理得$kx+b-a=\frac{-a}{x+1}$
方程无解即一次函数$y=kx+b-a$与反比例函数$y=\frac{-a}{x+1}$无交点，反比例函数的渐近线为$x=-1$和$y=0$，要使对任意正数k两函数均无交点，需直线恒过两渐近线交点$(-1,0)$，代入得：
$-k + b - a=0$，整理得$k+a-b=0$。
【答案】
(1) $\boxed{③④}$
(2) 作图如下：
性质：① 图象关于直线$y=-x+3$对称；② 当$x＜1$时，y随x的增大而增大，当$x＞1$时，y随x的增大而增大（答案合理即可）
(3) $\boxed{k=9}$
(4) $\boxed{k+a-b=0}$
【知识点】
反比例函数的平移；反比例函数的性质；函数与方程的关系
【点评】
本题围绕反比例函数的平移展开，考查了平移前后函数性质的变化规律、分离常数的变形方法，以及利用数形结合分析方程无解的问题，既考查了基础性质的应用，也对综合分析能力有一定要求，需要熟练掌握反比例函数的核心性质，灵活运用数形结合思想解题。
【难度系数】
0.5
（1）首先明确$y=\frac{6}{x-1}$是由$y=\frac{6}{x}$向右平移1个单位得到的，平移过程中函数的对称中心、对称轴、增减性规律也会对应平移，逐一验证4个结论即可：①代入x=0计算y轴交点；②原反比例函数对称中心为(0,0)，右移1个单位后对称中心变为(1,0)；③原函数对称轴为$y=x$，右移1个单位后对称轴变为$y=x-1$；④x＜0属于函数的左分支，该分支上y随x增大而减小，据此判断正确选项。
（2）先将$y=2-\frac{6}{x-1}$变形为$y=-\frac{6}{x-1}+2$，可知其是由$y=-\frac{6}{x}$向右平移1个单位、向上平移2个单位得到，先确定渐近线x=1、y=2，再描点画图，从对称性、增减性、渐近线等角度写性质即可。
（3）将$y=\frac{3x+k}{x+1}$用分离常数法变形为平移型反比例函数的标准形式$y=c+\frac{m}{x+n}$，因为该函数由$y=\frac{6}{x}$平移得到，所以反比例项的分子为6，列方程即可求k。
（4）先将方程右侧的分式函数分离常数，把方程转化为一次函数等于反比例函数的形式，方程无解等价于两个函数图象无交点，结合图象可知当一次函数恒过反比例函数两条渐近线的交点(-1,0)时，对任意正数k方程都无解，代入点坐标即可得到三者的数量关系。
【解析】
（1）逐个分析选项：
① 令x=0，得$y=\frac{6}{0-1}=-6$，即与y轴交点为$(0,-6)$，①错误；
② $y=\frac{6}{x}$的对称中心为$(0,0)$，向右平移1个单位后，对称中心变为$(1,0)$，②错误；
③ $y=\frac{6}{x}$的对称轴为$y=x$，向右平移1个单位后，对称轴变为$y=x-1$，③正确；
④ 当x＜0时，函数位于x＜1的分支，该分支上y随x的增大而减小，④正确。
（2）$y=2-\frac{6}{x-1}=-\frac{6}{x-1}+2$，是将$y=-\frac{6}{x}$右移1个单位、上移2个单位得到，渐近线为$x=1$和$y=2$，描点画图如下：
根据图象可写性质：①图象关于直线$y=-x+3$对称；②当$x＜1$时，y随x的增大而增大，当$x＞1$时，y随x的增大而增大（性质合理即可）。
（3）对$y=\frac{3x+k}{x+1}$分离常数：
$y=\frac{3(x+1)+k-3}{x+1}=3+\frac{k-3}{x+1}$
∵ 该函数图象由$y=\frac{6}{x}$平移得到，
∴ 反比例项的分子为6，即$k-3=6$，解得$k=9$。
（4）先将方程右侧变形：
$\frac{ax}{x+1}=\frac{a(x+1)-a}{x+1}=a-\frac{a}{x+1}$
原方程$kx+b=\frac{ax}{x+1}$整理得$kx+b-a=\frac{-a}{x+1}$
方程无解即一次函数$y=kx+b-a$与反比例函数$y=\frac{-a}{x+1}$无交点，反比例函数的渐近线为$x=-1$和$y=0$，要使对任意正数k两函数均无交点，需直线恒过两渐近线交点$(-1,0)$，代入得：
$-k + b - a=0$，整理得$k+a-b=0$。
【答案】
(1) $\boxed{③④}$
(2) 作图如下：
性质：① 图象关于直线$y=-x+3$对称；② 当$x＜1$时，y随x的增大而增大，当$x＞1$时，y随x的增大而增大（答案合理即可）
(3) $\boxed{k=9}$
(4) $\boxed{k+a-b=0}$
【知识点】
反比例函数的平移；反比例函数的性质；函数与方程的关系
【点评】
本题围绕反比例函数的平移展开，考查了平移前后函数性质的变化规律、分离常数的变形方法，以及利用数形结合分析方程无解的问题，既考查了基础性质的应用，也对综合分析能力有一定要求，需要熟练掌握反比例函数的核心性质，灵活运用数形结合思想解题。
【难度系数】
0.5
