1. (2025·浙江)已知反比例函数$y=-\frac{7}{x}$. 下列选项正确的是 （）

A.函数图象在第一、三象限
B.y随x的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限
D.y随x的增大而增大

C

【分析】
解题时先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的核心性质：①图象所在象限由$k$的符号决定：$k＞0$时图象在第一、三象限，$k＜0$时图象在第二、四象限；②增减性的表述必须限定“在每个象限内”：$k＞0$时每个象限内$y$随$x$增大而减小，$k＜0$时每个象限内$y$随$x$增大而增大，缺少前提的增减性表述都是错误的。首先确定本题中$k=-7$，再对应性质逐一判断选项即可。
【解析】
对于反比例函数$y=-\frac{7}{x}$，其比例系数$k=-7＜0$：
1. 判断图象象限：$k＜0$时，反比例函数图象位于第二、四象限，因此A选项错误，C选项正确；
2. 判断增减性：$k＜0$时仅在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，B、D选项均未说明“在每个象限内”的前提，表述错误，故B、D排除。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，易错点是忽略反比例函数增减性成立的前提“在同一象限内”，直接笼统判断y随x的变化情况。
【难度系数】
0.7

2. 已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$的图象上，且$x_1＜0＜x_2$，则下列结论一定正确的是（）

A.$y_1+y_2＜0$
B.$y_1+y_2＞0$
C.$y_1-y_2＜0$
D.$y_1-y_2＞0$

D

【分析】
首先回忆反比例函数的性质：当反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$中$k＜0$时，图象分布在第二、四象限，第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负。先根据A、B两点横坐标的符号确定两点所在的象限，得到$y_1$、$y_2$的正负，再逐一分析各选项的代数式符号即可，对于无法直接确定符号的选项可通过举反例排除。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$，其中$k=-2＜0$，因此函数图象分布在第二、四象限。
已知$x_1＜0$，则点$A(x_1,y_1)$在第二象限，因此$y_1＞0$；
已知$x_2＞0$，则点$B(x_2,y_2)$在第四象限，因此$y_2＜0$。
接下来分析各选项：
1. 选项A、B：判断$y_1+y_2$的符号：
举例：若$x_1=-1$，则$y_1=2$；若$x_2=1$，则$y_2=-2$，此时$y_1+y_2=0$，因此$y_1+y_2$的符号不确定，A、B均错误。
2. 选项C、D：判断$y_1-y_2$的符号：
因为$y_1＞0$，$y_2＜0$，所以$-y_2＞0$，则$y_1-y_2=y_1+(-y_2)$，属于正数加正数，结果必然大于0，因此C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；象限内点的坐标特征；代数式符号判断
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是先根据自变量的取值范围判断对应函数值的正负，再结合有理数运算的符号规律分析代数式的符号，不确定的选项可通过举反例快速排除。
【难度系数】
0.7

3. 已知点$A(-4,y_1),B(-2,y_2),C(3,y_3)$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（）

A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$

C

【分析】
解题思路分为三步：第一步先明确k＜0时反比例函数的图象分布和增减性；第二步区分三个点所在的象限，不同象限的点先判断函数值的正负，第四象限的函数值恒为负，第二象限的函数值恒为正，可先得到最小的y值；第三步对同一象限内的两个点，利用函数的增减性比较剩余两个y值的大小，最终排序即可。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
∴ 函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵ 点$A(-4,y_1)$、$B(-2,y_2)$的横坐标为负，两点均在第二象限，第二象限内的点的纵坐标为正，
又
∵ $-4 ＜ -2$，根据增减性可得 $y_1 ＜ y_2$；
∵ 点$C(3,y_3)$的横坐标为正，点$C$在第四象限，第四象限内的点的纵坐标为负，
∴ $y_3 ＜ 0 ＜ y_1 ＜ y_2$，即 $y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用，解题的关键是牢记不同k值下反比例函数的图象分布和增减性，比较函数值大小时要先判断点所在的象限，不能直接跨象限利用增减性比较大小，否则容易出错。
【难度系数】
0.7

4. 在同一直角坐标系中，函数$y=-kx+k$与$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的大致图象可能为 （）

D

【分析】
解题时采用分类讨论法，根据参数k的正负分别判断两个函数的图象特征，再和选项逐一比对排除错误选项即可。首先明确：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象所在象限由k的符号决定；一次函数$y=ax+b(a≠0)$的倾斜方向由a的符号决定，与y轴的交点位置由b的符号决定，我们分$k＞0$和$k＜0$两种情况分析即可。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限；
一次函数$y=-kx+k$中，一次项系数$-k＜0$，图象呈下降趋势，常数项$k＞0$，图象与y轴交于正半轴，因此一次函数图象过第一、二、四象限。
观察选项，B的一次函数呈上升趋势、C的一次函数与y轴交于负半轴，均不符合，排除B、C。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限；
一次函数$y=-kx+k$中，一次项系数$-k＞0$，图象呈上升趋势，常数项$k＜0$，图象与y轴交于负半轴，因此一次函数图象过第一、三、四象限。
观察选项，A的一次函数与y轴交于正半轴不符合，D的图象符合上述特征。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，核心解题方法是分类讨论参数的符号，结合两类函数的图象性质逐一排除错误选项，掌握基础函数的图象性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7

5. 若点A(-1,2),B(1,m),C(4,n)都在同一个反比例函数的图象上,则m,n的大小关系是mn.(填“＞”“=”或“＜”)

＜

【分析】
要比较m和n的大小，首先需确定反比例函数的核心参数k。解题思路如下：第一步，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入已知点A的坐标求出k的值；第二步，根据k的正负判断反比例函数的增减性；第三步，判断B、C两点所在的象限，结合同象限内的增减性，通过横坐标的大小关系推导纵坐标m、n的大小。
【解析】
1. 设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$
2. 将点A(-1,2)代入解析式，得：$2=\frac{k}{-1}$，解得$k=-2$，即反比例函数为$y=-\frac{2}{x}$
3. 因为$k=-2＜0$，所以该反比例函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大
4. 点B(1,m)、C(4,n)的横坐标均大于0，两点都在第四象限，且$1＜4$，根据增减性可得$m＜n$
【答案】
＜
【知识点】
1. 反比例函数解析式求法
2. 反比例函数的增减性
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题关键是先求出k值确定函数增减性，注意只有在同一象限内才能直接用增减性比较函数值大小，是反比例函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=x+2$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(1,m)$,与$x$轴交于点$C$.
(1) 求点$A$的坐标和反比例函数的解析式;
(2) 点$B$是反比例函数图象上一点且纵坐标是1,连接$AB,CB$,求$△ ACB$的面积.

(1) $\because$ 一次函数$y=x+2$的图象过点$A(1,m),\therefore m=1+2=3,\therefore A(1,3).\because$ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$\therefore k=1×3=3,\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$；
(2) $\because$ 点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1,$\therefore B(3,1)$. 作$BD// x$轴,交直线AC于点D,则D点的纵坐标为1,代入$y=x+2$得,$1=x+2$,解得$x=-1,\therefore D(-1,1),\therefore BD=3+1=4,\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$.

【分析】
(1) 已知点A在一次函数图象上且横坐标为1，将x=1代入一次函数解析式即可求出m的值，得到点A的坐标；再将点A坐标代入反比例函数解析式，利用待定系数法求出k的值，即可得到反比例函数的解析式。
(2) 先根据点B在反比例函数图象上且纵坐标为1，代入反比例函数解析式求出点B的横坐标，得到点B坐标；要求△ACB的面积，可作辅助线BD平行于x轴，交直线AC于点D，求出点D的坐标得到BD的长度，再将△ACB的面积转化为以BD为底，两个小三角形高的和为高的三角形面积，代入公式计算即可。
【解析】
(1) $\because$ 一次函数$y=x+2$的图象过点$A(1,m)$，
$\therefore$ 将$x=1$代入$y=x+2$，得$m=1+2=3$，
$\therefore$ 点A的坐标为$(1,3)$。
$\because$ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore$ 将$A(1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×3=3$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
(2) $\because$ 点B是反比例函数$y=\frac{3}{x}$图象上一点且纵坐标是1，
$\therefore$ 将$y=1$代入$y=\frac{3}{x}$，得$x=3$，
$\therefore$ 点B的坐标为$(3,1)$。
作$BD// x$轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，
将$y=1$代入$y=x+2$，得$1=x+2$，解得$x=-1$，
$\therefore D(-1,1)$，
$\therefore BD=3 - (-1)=4$。
△ACB的面积可拆分为△ABD和△CBD的面积之和，两三角形同底BD，高的和为A到BD的竖直距离与C到BD的竖直距离之和，即$(3-1)+(1-0)=3$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$(1,3)$，反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$；
(2) $△ ACB$的面积为$6$。

【知识点】
一次函数点坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，第一问属于基础考点，考查待定系数法的应用；第二问考查坐标系中三角形面积的求解，作平行于坐标轴的辅助线进行割补是这类问题的常用解题技巧，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7

7. 如图，一次函数$y=ax+b$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于点$A(2,3)$，$B(m,-2)$，则不等式$ax+b＞\frac{k}{x}$的解是 （）

A.$-3＜x＜0$或$x＞2$
B.$x＜-3$或$0＜x＜2$
C.$-2＜x＜0$或$x＞2$
D.$-3＜x＜0$或$x＞3$

A

【分析】求解不等式$ax+b＞\frac{k}{x}$可利用函数图象的几何意义：一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的x的取值范围就是该不等式的解集。解题思路如下：首先利用已知点A的坐标求出反比例函数的系数k，得到反比例函数解析式；再将点B的纵坐标代入反比例解析式求出m的值，确定点B的坐标；最后结合两个交点的坐标，分区间观察图象，找到一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
∵ 点$A(2,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴ 代入得$k=2×3=6$，即反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$
2. 求点B的横坐标m：
∵ 点$B(m,-2)$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上
∴ 代入得$-2=\frac{6}{m}$，解得$m=-3$，即点B坐标为$(-3,-2)$
3. 结合图象确定不等式解集：
两函数交点为$A(2,3)$、$B(-3,-2)$，观察图象可得：
当$-3＜x＜0$或$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足$ax+b＞\frac{k}{x}$
【答案】A
【知识点】反比例函数解析式求解、图象法解不等式、一次函数与反比例函数交点
【点评】本题核心是理解函数值大小关系和图象上下位置的对应关系，解题时要注意反比例函数图象与坐标轴无交点，需分x＞0和x＜0两个区间分别判断取值范围，避免漏解。
【难度系数】0.7