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9.(教材变式)某商场分批购进电视机，预计全年购进的电视机台数为3600，每批购进的电视机台数均为x，且每批均需付运费400元.
(1)写出该商场全年购进电视机支付的总运费y(单位:元)关于每批购进的电视机台数x的函数解析式.
(2)如果要求全年支付的总运费不超过5万元，那么每批至少需要购进多少台电视机？
(1)写出该商场全年购进电视机支付的总运费y(单位:元)关于每批购进的电视机台数x的函数解析式.
(2)如果要求全年支付的总运费不超过5万元，那么每批至少需要购进多少台电视机？
答案
9. 解:(1)根据题意可知,$y=\frac{3600}{x}×400$,
即 $y=\frac{1440000}{x}$.
(2)当 $y=50000$ 时,$x=\frac{1440000}{50000}=28.8$.
∵当 $x＞0$ 时,y 随 x 的增大而减小，
∴当 $y≤50000$ 时,$x≥28.8$.
∵台数应取整数,进货批次也应是整数，
∴每批购进的电视机台数要能整除 3 600，
∴每批至少需要购进 30 台电视机.
即 $y=\frac{1440000}{x}$.
(2)当 $y=50000$ 时,$x=\frac{1440000}{50000}=28.8$.
∵当 $x＞0$ 时,y 随 x 的增大而减小，
∴当 $y≤50000$ 时,$x≥28.8$.
∵台数应取整数,进货批次也应是整数，
∴每批购进的电视机台数要能整除 3 600，
∴每批至少需要购进 30 台电视机.
解析
【分析】
(1) 求解总运费的函数解析式，先明确数量关系：总运费=每批运费×全年进货批次。已知全年购进总量为3600台，每批购进x台，即可得进货批次为$\frac{3600}{x}$，结合每批运费400元，代入关系就能推导得到y与x的函数式，注意x的取值需符合实际意义。
(2) 总运费不超过5万元即$y≤50000$，将第一问得到的函数式代入不等式求解，再结合反比例函数$y=\frac{1440000}{x}$的增减性确定x的取值范围；最后结合实际限制：每批台数、进货批次均为正整数，即x要能整除3600，即可得到符合要求的最小x值。
【解析】
解：(1) 由题意可知，全年购进电视机的批次为$\frac{3600}{x}$，每批运费为400元，因此总运费：
$y=\frac{3600}{x}×400$
整理得函数解析式为：$y=\frac{1440000}{x}$（x为正整数，且x是3600的正因数）
(2) 已知全年总运费不超过5万元，即$y≤50000$，代入解析式得：
$\frac{1440000}{x}≤50000$
由于$x＞0$，不等号两边同乘x方向不变，解得$x≥28.8$
又因为反比例函数$y=\frac{1440000}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，上述解集符合函数性质。
结合实际意义，每批购进台数x、进货批次$\frac{3600}{x}$均为正整数，即x需为3600的正因数，大于等于28.8的最小符合条件的正整数为30。
【答案】
(1) $y=\frac{1440000}{x}$（x为正整数，且x是3600的正因数）
(2) 每批至少需要购进30台电视机
【知识点】
反比例函数应用，不等式求解，实际问题取整
【点评】
本题结合生活进货场景考查函数与不等式的综合运用，解题时要注意结合实际问题的隐含限制条件对结果进行取舍，避免忽略台数、批次均为整数的要求得到错误答案。
【难度系数】
0.6
(1) 求解总运费的函数解析式，先明确数量关系：总运费=每批运费×全年进货批次。已知全年购进总量为3600台，每批购进x台，即可得进货批次为$\frac{3600}{x}$，结合每批运费400元，代入关系就能推导得到y与x的函数式，注意x的取值需符合实际意义。
(2) 总运费不超过5万元即$y≤50000$，将第一问得到的函数式代入不等式求解，再结合反比例函数$y=\frac{1440000}{x}$的增减性确定x的取值范围；最后结合实际限制：每批台数、进货批次均为正整数，即x要能整除3600，即可得到符合要求的最小x值。
【解析】
解：(1) 由题意可知，全年购进电视机的批次为$\frac{3600}{x}$，每批运费为400元，因此总运费：
$y=\frac{3600}{x}×400$
整理得函数解析式为：$y=\frac{1440000}{x}$（x为正整数，且x是3600的正因数）
(2) 已知全年总运费不超过5万元，即$y≤50000$，代入解析式得：
$\frac{1440000}{x}≤50000$
由于$x＞0$，不等号两边同乘x方向不变，解得$x≥28.8$
又因为反比例函数$y=\frac{1440000}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，上述解集符合函数性质。
结合实际意义，每批购进台数x、进货批次$\frac{3600}{x}$均为正整数，即x需为3600的正因数，大于等于28.8的最小符合条件的正整数为30。
【答案】
(1) $y=\frac{1440000}{x}$（x为正整数，且x是3600的正因数）
(2) 每批至少需要购进30台电视机
【知识点】
反比例函数应用，不等式求解，实际问题取整
【点评】
本题结合生活进货场景考查函数与不等式的综合运用，解题时要注意结合实际问题的隐含限制条件对结果进行取舍，避免忽略台数、批次均为整数的要求得到错误答案。
【难度系数】
0.6
10.(2025—2026上饶弋阳检测)如图,关于x的函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$和$y=kx -k$,它们在同一坐标系内的图象大致是 (
B
)答案
10.B 【解析】当 $k＞0$ 时,函数 $y=kx-k$ 的图象在第一、第三、第四象限,反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象在第一、第三象限,故选项 B 符合题意,选项 C 不符合题意;当 $k＜0$ 时,函数 $y=kx-k$ 的图象在第一、第二、第四象限,反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象在第二、第四象限,故选项 A,D 不符合题意.
解析
【分析】
这是一次函数与反比例函数同坐标系的图象判断问题，解题采用分类讨论法：根据参数k的正负分两种情况，结合两类函数的图象和系数的关系，分别推导两个函数图象的所在象限，再和选项比对排除错误选项，就能得到正确答案。首先明确相关性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象是双曲线，$k＞0$时位于一、三象限，$k＜0$时位于二、四象限；一次函数$y=kx-k$的图象是直线，走向由斜率k决定，和y轴的交点由截距$-k$决定，结合k的符号即可确定它的图象特征。
【解析】
分两种情况讨论参数k的符号：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、第三象限；
一次函数$y=kx-k$的斜率$k＞0$，直线呈上升趋势，截距$-k＜0$，直线与y轴交于负半轴，因此图象经过第一、第三、第四象限。
对照选项，B符合该情况，C中一次函数与y轴交于正半轴，不符合要求，排除C。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、第四象限；
一次函数$y=kx-k$的斜率$k＜0$，直线呈下降趋势，截距$-k＞0$，直线与y轴交于正半轴，因此图象经过第一、第二、第四象限。
对照选项，A中一次函数与y轴交于负半轴，D中一次函数呈上升趋势，均不符合要求，排除A、D。
综上，只有选项B符合条件。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象性质；一次函数图象性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的经典题型，核心考查函数图象与系数的对应关系，通过分类讨论参数正负、逐一验证选项即可快速解题，能有效训练逻辑推理和图象分析能力。
【难度系数】
0.7
这是一次函数与反比例函数同坐标系的图象判断问题，解题采用分类讨论法：根据参数k的正负分两种情况，结合两类函数的图象和系数的关系，分别推导两个函数图象的所在象限，再和选项比对排除错误选项，就能得到正确答案。首先明确相关性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象是双曲线，$k＞0$时位于一、三象限，$k＜0$时位于二、四象限；一次函数$y=kx-k$的图象是直线，走向由斜率k决定，和y轴的交点由截距$-k$决定，结合k的符号即可确定它的图象特征。
【解析】
分两种情况讨论参数k的符号：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、第三象限；
一次函数$y=kx-k$的斜率$k＞0$，直线呈上升趋势，截距$-k＜0$，直线与y轴交于负半轴，因此图象经过第一、第三、第四象限。
对照选项，B符合该情况，C中一次函数与y轴交于正半轴，不符合要求，排除C。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、第四象限；
一次函数$y=kx-k$的斜率$k＜0$，直线呈下降趋势，截距$-k＞0$，直线与y轴交于正半轴，因此图象经过第一、第二、第四象限。
对照选项，A中一次函数与y轴交于负半轴，D中一次函数呈上升趋势，均不符合要求，排除A、D。
综上，只有选项B符合条件。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象性质；一次函数图象性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的经典题型，核心考查函数图象与系数的对应关系，通过分类讨论参数正负、逐一验证选项即可快速解题，能有效训练逻辑推理和图象分析能力。
【难度系数】
0.7
11.新定义题 定义:一次函数$y=ax+b$的“特征数”为$[a,b]$.一次函数$y=2x+m$的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象交于点$A,B$.若点$A,B$关于原点对称,则一次函数$y=2x+m$的“特征数”是 (
A.$[2,0]$
B.$[2,3]$
C.$[2,-3]$
D.$[2,-6]$
C
)A.$[2,0]$
B.$[2,3]$
C.$[2,-3]$
D.$[2,-6]$
答案
11.C 【解析】由题意,得直线 $y=2x+m$ 向上平移 3 个单位长度后得到直线 $y=2x+m+3$.
设点 A 的横坐标为 $x_1$,点 B 的横坐标为 $x_2$.
联立$\begin{cases}y=2x+m+3,\\y=\frac{3}{x},\end{cases}$得 $2x^2+(m+3)x-3=0$.
由题意可知,$x_1,x_2$ 是方程的两根，
∴$x_1+x_2=-\frac{m+3}{2}$.
又
∵点 A,B 关于原点对称，
∴$-\frac{m+3}{2}=0$,
∴$m=-3$.
根据定义可知,一次函数 $y=2x+m$ 的“特征数”是 $[2,-3]$.
设点 A 的横坐标为 $x_1$,点 B 的横坐标为 $x_2$.
联立$\begin{cases}y=2x+m+3,\\y=\frac{3}{x},\end{cases}$得 $2x^2+(m+3)x-3=0$.
由题意可知,$x_1,x_2$ 是方程的两根，
∴$x_1+x_2=-\frac{m+3}{2}$.
又
∵点 A,B 关于原点对称，
∴$-\frac{m+3}{2}=0$,
∴$m=-3$.
根据定义可知,一次函数 $y=2x+m$ 的“特征数”是 $[2,-3]$.
解析
【分析】
解题思路可分为四步：第一步，根据一次函数平移“上加下减”的规律，写出平移后的直线解析式；第二步，利用“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的性质，得到两个交点的横坐标之和为0；第三步，联立平移后的直线与反比例函数解析式，得到一元二次方程，结合根与系数的关系表示出两根之和，令其等于0即可求出m的值；第四步，根据“特征数”的定义得出最终结果。
【解析】
解：根据一次函数平移规律，将$y=2x+m$向上平移3个单位长度后，所得直线解析式为$y=2x+m+3$。
联立平移后的直线与反比例函数解析式：
$\begin{cases}y=2x+m+3\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$
消去$y$整理得：$2x^2+(m+3)x-3=0$
设交点$A$的横坐标为$x_1$，交点$B$的横坐标为$x_2$，则$x_1、x_2$是上述方程的两根。
∵点$A、B$关于原点对称，两点横坐标互为相反数
∴$x_1+x_2=0$
根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{m+3}{2}$
代入$x_1+x_2=0$得：$-\frac{m+3}{2}=0$，解得$m=-3$
根据“特征数”的定义，一次函数$y=2x+m$的特征数为$[2,-3]$。
【答案】
C
【知识点】
1.一次函数图象平移 2.一元二次方程根与系数关系 3.关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于新定义综合题，将新定义规则与一次函数、反比例函数、一元二次方程的核心知识点结合考查，解题关键是找到“两点关于原点对称”和方程两根之和的关联，能较好地检验学生知识综合运用的能力。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为四步：第一步，根据一次函数平移“上加下减”的规律，写出平移后的直线解析式；第二步，利用“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的性质，得到两个交点的横坐标之和为0；第三步，联立平移后的直线与反比例函数解析式，得到一元二次方程，结合根与系数的关系表示出两根之和，令其等于0即可求出m的值；第四步，根据“特征数”的定义得出最终结果。
【解析】
解：根据一次函数平移规律，将$y=2x+m$向上平移3个单位长度后，所得直线解析式为$y=2x+m+3$。
联立平移后的直线与反比例函数解析式：
$\begin{cases}y=2x+m+3\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$
消去$y$整理得：$2x^2+(m+3)x-3=0$
设交点$A$的横坐标为$x_1$，交点$B$的横坐标为$x_2$，则$x_1、x_2$是上述方程的两根。
∵点$A、B$关于原点对称，两点横坐标互为相反数
∴$x_1+x_2=0$
根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{m+3}{2}$
代入$x_1+x_2=0$得：$-\frac{m+3}{2}=0$，解得$m=-3$
根据“特征数”的定义，一次函数$y=2x+m$的特征数为$[2,-3]$。
【答案】
C
【知识点】
1.一次函数图象平移 2.一元二次方程根与系数关系 3.关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于新定义综合题，将新定义规则与一次函数、反比例函数、一元二次方程的核心知识点结合考查，解题关键是找到“两点关于原点对称”和方程两根之和的关联，能较好地检验学生知识综合运用的能力。
【难度系数】
0.6
12. (2026苏州,有改动)如下图,一次函数$y=ax+b$的图象经过点$A(-4,0),B(0,2)$,点P在一次函数的图象上.过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象于M,N两点,连接MN.
(1)求$a,b$的值.
(2)若$△ PMN$是腰长为3的等腰直角三角形,求点P的坐标和$k$的值.
全国中考真题
(1)求$a,b$的值.
(2)若$△ PMN$是腰长为3的等腰直角三角形,求点P的坐标和$k$的值.
全国中考真题
答案
12. 解:(1)
∵一次函数 $y=ax+b$ 的图象经过点 $A(-4,0),B(0,2)$,
∴$\begin{cases}-4a+b=0,\\b=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=2.\end{cases}$
(2)由(1)可知,一次函数的解析式为 $y=\frac{1}{2}x+2$.
∵点 P 在一次函数的图象上，
∴设点 P 的坐标为 $(t,\frac{1}{2}t+2)$.
∵$△PMN$ 是腰长为 3 的等腰直角三角形，
∴$PM=PN=3$,
∴点 M 的坐标为 $(t-3,\frac{1}{2}t+2)$,点 N 的坐标为 $(t,\frac{1}{2}t-1)$.
∵点 M,N 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$ 的图象上，
∴$k=(t-3)(\frac{1}{2}t+2)=t(\frac{1}{2}t-1)$,
解得 $t=4$,
∴点 P 的坐标为 $(4,4)$,则点 M 的坐标为 $(1,4)$.
将 $M(1,4)$ 代入 $y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$，
解得 $k=4$.
故点 P 的坐标为 $(4,4)$,$k$ 的值为 4.
∵一次函数 $y=ax+b$ 的图象经过点 $A(-4,0),B(0,2)$,
∴$\begin{cases}-4a+b=0,\\b=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=2.\end{cases}$
(2)由(1)可知,一次函数的解析式为 $y=\frac{1}{2}x+2$.
∵点 P 在一次函数的图象上，
∴设点 P 的坐标为 $(t,\frac{1}{2}t+2)$.
∵$△PMN$ 是腰长为 3 的等腰直角三角形，
∴$PM=PN=3$,
∴点 M 的坐标为 $(t-3,\frac{1}{2}t+2)$,点 N 的坐标为 $(t,\frac{1}{2}t-1)$.
∵点 M,N 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$ 的图象上，
∴$k=(t-3)(\frac{1}{2}t+2)=t(\frac{1}{2}t-1)$,
解得 $t=4$,
∴点 P 的坐标为 $(4,4)$,则点 M 的坐标为 $(1,4)$.
将 $M(1,4)$ 代入 $y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$，
解得 $k=4$.
故点 P 的坐标为 $(4,4)$,$k$ 的值为 4.
解析
【分析】
(1) 求一次函数的系数a、b，已知一次函数图象经过A、B两个已知点，采用待定系数法，将两点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到结果。
(2) 先根据(1)的结果写出一次函数完整解析式，设点P的横坐标为t，用含t的式子表示P的纵坐标；由PM平行x轴、PN平行y轴可知△PMN的直角为∠MPN，结合等腰直角三角形腰长为3，可得PM=PN=3，进而用含t的式子表示出M、N两点的坐标；再根据M、N都在反比例函数图象上，两点横纵坐标的乘积均等于k，列方程求解t，舍去不符合x＞0条件的解，最后求出点P坐标和k的值。
【解析】
(1)
∵一次函数$y=ax+b$的图象经过点$A(-4,0)$，$B(0,2)$，
将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}-4a+b=0\\b=2\end{cases}$
把$b=2$代入$-4a+b=0$，解得$a=\frac{1}{2}$，
即$\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=2\end{cases}$。
(2) 由(1)可得一次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$，
设点P的坐标为$(t,\frac{1}{2}t+2)$，
∵PM平行x轴，PN平行y轴，△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，
∴∠MPN=90°，$PM=PN=3$，
则点M的横坐标为$t-3$，纵坐标与P相同，即$M(t-3,\frac{1}{2}t+2)$；
点N的横坐标与P相同，纵坐标为$\frac{1}{2}t+2-3=\frac{1}{2}t-1$，即$N(t,\frac{1}{2}t-1)$。
∵M、N都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
∴两点横纵坐标乘积相等，即：
$(t-3)(\frac{1}{2}t+2)=t(\frac{1}{2}t-1)$
展开化简得$\frac{3}{2}t=6$，解得$t=4$。
检验：$t=4＞0$，$t-3=1＞0$，符合$x＞0$的条件。
∴点P的坐标为$(4,\frac{1}{2}×4 +2)=(4,4)$，
将$M(1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×4=4$。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{2}$，$b=2$；
(2) 点P的坐标为$(4,4)$，$k$的值为$4$。
【知识点】
待定系数法求解析式；等腰直角三角形的性质；反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题型，先通过待定系数法求解一次函数的系数，再结合几何图形的性质用参数表示相关点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征列方程求解参数，既考察了函数的基础性质，也考察了函数与几何结合的应用能力，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
(1) 求一次函数的系数a、b，已知一次函数图象经过A、B两个已知点，采用待定系数法，将两点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到结果。
(2) 先根据(1)的结果写出一次函数完整解析式，设点P的横坐标为t，用含t的式子表示P的纵坐标；由PM平行x轴、PN平行y轴可知△PMN的直角为∠MPN，结合等腰直角三角形腰长为3，可得PM=PN=3，进而用含t的式子表示出M、N两点的坐标；再根据M、N都在反比例函数图象上，两点横纵坐标的乘积均等于k，列方程求解t，舍去不符合x＞0条件的解，最后求出点P坐标和k的值。
【解析】
(1)
∵一次函数$y=ax+b$的图象经过点$A(-4,0)$，$B(0,2)$，
将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}-4a+b=0\\b=2\end{cases}$
把$b=2$代入$-4a+b=0$，解得$a=\frac{1}{2}$，
即$\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=2\end{cases}$。
(2) 由(1)可得一次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$，
设点P的坐标为$(t,\frac{1}{2}t+2)$，
∵PM平行x轴，PN平行y轴，△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，
∴∠MPN=90°，$PM=PN=3$，
则点M的横坐标为$t-3$，纵坐标与P相同，即$M(t-3,\frac{1}{2}t+2)$；
点N的横坐标与P相同，纵坐标为$\frac{1}{2}t+2-3=\frac{1}{2}t-1$，即$N(t,\frac{1}{2}t-1)$。
∵M、N都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
∴两点横纵坐标乘积相等，即：
$(t-3)(\frac{1}{2}t+2)=t(\frac{1}{2}t-1)$
展开化简得$\frac{3}{2}t=6$，解得$t=4$。
检验：$t=4＞0$，$t-3=1＞0$，符合$x＞0$的条件。
∴点P的坐标为$(4,\frac{1}{2}×4 +2)=(4,4)$，
将$M(1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×4=4$。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{2}$，$b=2$；
(2) 点P的坐标为$(4,4)$，$k$的值为$4$。
【知识点】
待定系数法求解析式；等腰直角三角形的性质；反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题型，先通过待定系数法求解一次函数的系数，再结合几何图形的性质用参数表示相关点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征列方程求解参数，既考察了函数的基础性质，也考察了函数与几何结合的应用能力，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
