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【例】山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条（面条在东汉被称为“煮饼”）文化至今已有两千多年的历史.厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度$y$（单位：m）是面条横截面面积$x$（单位：$\mathrm{mm}^2$）的反比例函数，其图象经过$A(4,32)$，$B(a,80)$两点，如
.
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式.
(2)求$a$的值，并解释它的实际意义.
【点拨】(1)直接利用待定系数法求出$y$与$x$之间的函数关系式即可；
(2)利用(1)中所求得$a$的值和其实际意义.
【解】(1)设$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$.将$A(4,32)$代入，得$32=\frac{k}{4}$，
$\therefore k=128$，$\therefore y$与$x$之间的函数关系式为$y=\frac{128}{x}(x＞0)$.
(2)将$B(a,80)$代入$y=\frac{128}{x}$，得$80=\frac{128}{a}$，
$\therefore a=1.6$.
实际意义：当面条的横截面面积为$1.6\ \mathrm{mm}^2$时，面条的总长度为$80\ \mathrm{m}$.
.(1)求$y$与$x$之间的函数关系式.
(2)求$a$的值，并解释它的实际意义.
【点拨】(1)直接利用待定系数法求出$y$与$x$之间的函数关系式即可；
(2)利用(1)中所求得$a$的值和其实际意义.
【解】(1)设$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$.将$A(4,32)$代入，得$32=\frac{k}{4}$，
$\therefore k=128$，$\therefore y$与$x$之间的函数关系式为$y=\frac{128}{x}(x＞0)$.
(2)将$B(a,80)$代入$y=\frac{128}{x}$，得$80=\frac{128}{a}$，
$\therefore a=1.6$.
实际意义：当面条的横截面面积为$1.6\ \mathrm{mm}^2$时，面条的总长度为$80\ \mathrm{m}$.
答案
解：
(1) 设$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$。
将$A(4,32)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$32=\frac{k}{4}$，
解得$k=128$，
∴$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\frac{128}{x}(x＞0)$。
(2) 将$B(a,80)$代入$y=\frac{128}{x}$，得$80=\frac{128}{a}$，
解得$a=1.6$。
实际意义：当面条的横截面面积为$1.6\ \mathrm{mm}^2$时，面条的总长度为$80\ \mathrm{m}$。
答：(1) $y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{128}{x}(x＞0)$；(2) $a$的值为$1.6$，实际意义为当面条横截面面积为$1.6\ \mathrm{mm}^2$时，面条总长度为$80\ \mathrm{m}$。
(1) 设$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$。
将$A(4,32)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$32=\frac{k}{4}$，
解得$k=128$，
∴$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\frac{128}{x}(x＞0)$。
(2) 将$B(a,80)$代入$y=\frac{128}{x}$，得$80=\frac{128}{a}$，
解得$a=1.6$。
实际意义：当面条的横截面面积为$1.6\ \mathrm{mm}^2$时，面条的总长度为$80\ \mathrm{m}$。
答：(1) $y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{128}{x}(x＞0)$；(2) $a$的值为$1.6$，实际意义为当面条横截面面积为$1.6\ \mathrm{mm}^2$时，面条总长度为$80\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 题目明确说明面条总长度$y$是横截面面积$x$的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，由于横截面积为正数，因此标注$x＞0$。已知函数图象过点$A(4,32)$，即$x=4$时$y=32$，将该组数值代入所设解析式即可求出$k$的值，进而得到函数关系式。
(2) 点$B(a,80)$在函数图象上，说明其坐标满足(1)中求出的函数关系式，将$x=a$、$y=80$代入解析式即可求出$a$的值；再结合$x$代表横截面面积、$y$代表面条总长度的实际意义，就可以解释$a$的实际含义。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$。
将$A(4,32)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$32=\frac{k}{4}$，
解得$k=128$，
∴$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\frac{128}{x}(x＞0)$。
(2) 将$B(a,80)$代入$y=\frac{128}{x}$，得$80=\frac{128}{a}$，
解得$a=1.6$。
实际意义：当面条的横截面面积为$1.6\ \mathrm{mm}^2$时，面条的总长度为$80\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y$与$x$的函数关系式为$\boldsymbol{y=\frac{128}{x}(x＞0)}$；
(2) $a$的值为$\boldsymbol{1.6}$，实际意义为当面条横截面面积为$1.6\ \mathrm{mm}^2$时，面条总长度为$80\ \mathrm{m}$。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合生活中的拉面场景考查反比例函数的基础应用，核心是掌握待定系数法求反比例函数解析式的方法，同时需要结合实际情境理解变量的含义，能将数学计算结果和实际意义对应起来，考查了知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 题目明确说明面条总长度$y$是横截面面积$x$的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，由于横截面积为正数，因此标注$x＞0$。已知函数图象过点$A(4,32)$，即$x=4$时$y=32$，将该组数值代入所设解析式即可求出$k$的值，进而得到函数关系式。
(2) 点$B(a,80)$在函数图象上，说明其坐标满足(1)中求出的函数关系式，将$x=a$、$y=80$代入解析式即可求出$a$的值；再结合$x$代表横截面面积、$y$代表面条总长度的实际意义，就可以解释$a$的实际含义。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$。
将$A(4,32)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$32=\frac{k}{4}$，
解得$k=128$，
∴$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\frac{128}{x}(x＞0)$。
(2) 将$B(a,80)$代入$y=\frac{128}{x}$，得$80=\frac{128}{a}$，
解得$a=1.6$。
实际意义：当面条的横截面面积为$1.6\ \mathrm{mm}^2$时，面条的总长度为$80\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y$与$x$的函数关系式为$\boldsymbol{y=\frac{128}{x}(x＞0)}$；
(2) $a$的值为$\boldsymbol{1.6}$，实际意义为当面条横截面面积为$1.6\ \mathrm{mm}^2$时，面条总长度为$80\ \mathrm{m}$。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合生活中的拉面场景考查反比例函数的基础应用，核心是掌握待定系数法求反比例函数解析式的方法，同时需要结合实际情境理解变量的含义，能将数学计算结果和实际意义对应起来，考查了知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
1.(教材变式)港珠澳大桥全长 55 km，其中主桥长 29.6 km. 张明开车从主桥通过时，汽车的平均速度 $v$(单位：km/h)关于时间 $t$(单位：h)的函数解析式为 (
A.$v=\dfrac{55}{t}$
B.$v=\dfrac{29.6}{t}$
C.$v=29.6t$
D.$v=\dfrac{25.4}{t}$
B
)A.$v=\dfrac{55}{t}$
B.$v=\dfrac{29.6}{t}$
C.$v=29.6t$
D.$v=\dfrac{25.4}{t}$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先明确本题是行程问题中速度与时间的函数关系推导，第一步提取有效信息：题目要求的是汽车通过主桥时的速度与时间的解析式，因此对应路程是主桥长度29.6km，而非港珠澳大桥全长55km；第二步回忆行程问题基本公式：路程=速度×时间，将公式变形为速度=路程÷时间，代入对应路程即可得到函数解析式，最后匹配选项即可。
【解析】
根据行程问题的基本数量关系：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，即$s=vt$。
已知汽车通过主桥行驶的路程$s=29.6\mathrm{km}$，将$s=29.6$代入公式得：$29.6=vt$，
对式子变形可得速度关于时间的函数解析式：$v=\dfrac{29.6}{t}\ (t＞0)$，对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的实际应用、行程问题基本关系
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是准确提取题干中的有效路程数据，排除无关的干扰数据（港珠澳大桥全长55km），结合常见的数量关系即可快速列出对应的反比例函数解析式。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确本题是行程问题中速度与时间的函数关系推导，第一步提取有效信息：题目要求的是汽车通过主桥时的速度与时间的解析式，因此对应路程是主桥长度29.6km，而非港珠澳大桥全长55km；第二步回忆行程问题基本公式：路程=速度×时间，将公式变形为速度=路程÷时间，代入对应路程即可得到函数解析式，最后匹配选项即可。
【解析】
根据行程问题的基本数量关系：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，即$s=vt$。
已知汽车通过主桥行驶的路程$s=29.6\mathrm{km}$，将$s=29.6$代入公式得：$29.6=vt$，
对式子变形可得速度关于时间的函数解析式：$v=\dfrac{29.6}{t}\ (t＞0)$，对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的实际应用、行程问题基本关系
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是准确提取题干中的有效路程数据，排除无关的干扰数据（港珠澳大桥全长55km），结合常见的数量关系即可快速列出对应的反比例函数解析式。
【难度系数】
0.9
2.某商品的售价$y$(单位:元/件)为基础价与浮动价之和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量$x$(单位:件)成反比例.根据表中数据可知,$y$关于$x$的函数解析式为
$y=\dfrac{600}{x}+5$
。答案
2. $y=\dfrac{600}{x}+5$
解析
【分析】
根据题意可知售价y由固定的基础价和与月需求量x成反比例的浮动价组成，因此可先设函数的一般形式：设基础价为常数b，浮动价为$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0），即$y=\frac{k}{x}+b$。再将表格中两组x、y的对应值代入该式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
解：设y关于x的函数解析式为$ y = \frac{k}{x} + b $（$k≠0$，b为常数）。
将$\begin{cases} x=100 \\ y=11 \end{cases}$和$\begin{cases} x=120 \\ y=10 \end{cases}$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}\dfrac{k}{100} + b = 11 \quad ① \\\dfrac{k}{120} + b = 10 \quad ②\end{cases}$
用①-②消去b，得：
$\dfrac{k}{100} - \dfrac{k}{120} = 1$
通分计算：$\dfrac{6k - 5k}{600}=1$，解得$k=600$。
将$k=600$代入①式，得：$\dfrac{600}{100} + b =11$，解得$b=5$。
因此y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{600}{x}+5$。
【答案】
$y=\dfrac{600}{x}+5$
【知识点】
反比例函数应用，待定系数法，解二元一次方程组
【点评】
本题是反比例函数结合实际场景的基础题型，解题核心是先根据题意确定函数的结构形式，再利用已知数据通过待定系数法求解未知参数，掌握基础的函数建模思路就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
根据题意可知售价y由固定的基础价和与月需求量x成反比例的浮动价组成，因此可先设函数的一般形式：设基础价为常数b，浮动价为$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0），即$y=\frac{k}{x}+b$。再将表格中两组x、y的对应值代入该式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
解：设y关于x的函数解析式为$ y = \frac{k}{x} + b $（$k≠0$，b为常数）。
将$\begin{cases} x=100 \\ y=11 \end{cases}$和$\begin{cases} x=120 \\ y=10 \end{cases}$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}\dfrac{k}{100} + b = 11 \quad ① \\\dfrac{k}{120} + b = 10 \quad ②\end{cases}$
用①-②消去b，得：
$\dfrac{k}{100} - \dfrac{k}{120} = 1$
通分计算：$\dfrac{6k - 5k}{600}=1$，解得$k=600$。
将$k=600$代入①式，得：$\dfrac{600}{100} + b =11$，解得$b=5$。
因此y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{600}{x}+5$。
【答案】
$y=\dfrac{600}{x}+5$
【知识点】
反比例函数应用，待定系数法，解二元一次方程组
【点评】
本题是反比例函数结合实际场景的基础题型，解题核心是先根据题意确定函数的结构形式，再利用已知数据通过待定系数法求解未知参数，掌握基础的函数建模思路就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
3. (教材变式)甲、乙两地相距 100 km,则汽车由甲地行驶到乙地所用时间 y(单位:h)与平均行驶速度 x(单位:km/h)之间的函数图象大致是 (
B
)答案
3.B
解析
【分析】
首先根据行程问题中“路程=速度×时间”的基本数量关系，推导时间y与速度x的函数解析式，判断函数类型；再结合实际意义确定自变量x和因变量y的取值范围，二者均为正数，因此函数图象只能在第一象限，最后对应选项选出符合要求的图象即可。
【解析】
根据路程、速度、时间的关系可得：$xy=100$，整理得函数解析式为 $y=\frac{100}{x}$。
结合实际意义，平均行驶速度$x＞0$，所用时间$y＞0$，因此该反比例函数的图象是位于第一象限的双曲线的一支，对比选项，只有B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；函数自变量取值范围
【点评】
本题结合生活中的行程问题考查反比例函数的相关知识，解题时要先列出函数关系式，特别注意不能忽略实际问题中自变量和因变量的取值范围，避免误选包含负半轴的图象。
【难度系数】
0.8
首先根据行程问题中“路程=速度×时间”的基本数量关系，推导时间y与速度x的函数解析式，判断函数类型；再结合实际意义确定自变量x和因变量y的取值范围，二者均为正数，因此函数图象只能在第一象限，最后对应选项选出符合要求的图象即可。
【解析】
根据路程、速度、时间的关系可得：$xy=100$，整理得函数解析式为 $y=\frac{100}{x}$。
结合实际意义，平均行驶速度$x＞0$，所用时间$y＞0$，因此该反比例函数的图象是位于第一象限的双曲线的一支，对比选项，只有B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；函数自变量取值范围
【点评】
本题结合生活中的行程问题考查反比例函数的相关知识，解题时要先列出函数关系式，特别注意不能忽略实际问题中自变量和因变量的取值范围，避免误选包含负半轴的图象。
【难度系数】
0.8
4.某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.现测得不同时刻药物的浓度$y$(单位:$mg/m^3$)与时间$x$(单位:$min$)的数据如下表:
则下列图象中,能表示$y$与$x$之间的函数关系的图象是 (
则下列图象中,能表示$y$与$x$之间的函数关系的图象是 (
D
)答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先要明确药熏消毒过程中药物浓度的变化分两个阶段：①药物燃烧阶段：随着时间增加，药物不断释放到空气中，浓度逐渐升高，对应函数图象呈上升趋势；②药物燃烧结束后，浓度随时间增加逐渐降低，该阶段符合反比例函数特征，图象是逐渐靠近x轴的双曲线的一支，且浓度始终为正。接下来逐一对比选项，排除不符合两个阶段变化规律的选项即可得到答案。
【解析】
我们分阶段分析函数变化特征：
1. 燃烧阶段：时间$x≥0$，初始浓度为0，随时间增加浓度$y$不断升高，因此图象首先是从原点出发的上升线段，可直接排除初始阶段下降或变化趋势不符合的选项；
2. 燃烧结束后：药物开始消散，浓度$y$随时间$x$增大而减小，且该阶段$y$与$x$成反比例函数关系，图象为双曲线的一支，会逐渐趋近于$x$轴但不会与$x$轴相交（浓度不可能为负，也不会突然降至0）。
综上，只有D选项的图象完全符合两个阶段的变化规律。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的实际应用，分段函数图象识别
【点评】
本题结合生活中的消毒场景考查函数图象的判断，解题的核心是理清不同阶段因变量随自变量的变化规律，结合对应函数的图象特征进行判断即可，贴近生活实际，注重知识的应用。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确药熏消毒过程中药物浓度的变化分两个阶段：①药物燃烧阶段：随着时间增加，药物不断释放到空气中，浓度逐渐升高，对应函数图象呈上升趋势；②药物燃烧结束后，浓度随时间增加逐渐降低，该阶段符合反比例函数特征，图象是逐渐靠近x轴的双曲线的一支，且浓度始终为正。接下来逐一对比选项，排除不符合两个阶段变化规律的选项即可得到答案。
【解析】
我们分阶段分析函数变化特征：
1. 燃烧阶段：时间$x≥0$，初始浓度为0，随时间增加浓度$y$不断升高，因此图象首先是从原点出发的上升线段，可直接排除初始阶段下降或变化趋势不符合的选项；
2. 燃烧结束后：药物开始消散，浓度$y$随时间$x$增大而减小，且该阶段$y$与$x$成反比例函数关系，图象为双曲线的一支，会逐渐趋近于$x$轴但不会与$x$轴相交（浓度不可能为负，也不会突然降至0）。
综上，只有D选项的图象完全符合两个阶段的变化规律。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的实际应用，分段函数图象识别
【点评】
本题结合生活中的消毒场景考查函数图象的判断，解题的核心是理清不同阶段因变量随自变量的变化规律，结合对应函数的图象特征进行判断即可，贴近生活实际，注重知识的应用。
【难度系数】
0.8
