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5. (2025—2026乐平期中)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置(如图)，其最快移动速度v(单位：m/s)是载重后总质量m(单位：kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s.当其载重后总质量m＝80 kg时，它的最快移动速度v＝
4.5
m/s.答案
5. 4.5 【解析】设反比例函数解析式为 $v=\dfrac{k}{m}(m＞0)$.
∵机器狗载重后总质量 $m=60\ \mathrm{kg}$ 时,它的最快移动速度 $v=6\ \mathrm{m/s}$,
∴$k=60×6=360$,
∴反比例函数解析式为 $v=\dfrac{360}{m}$.
当 $m=80\ \mathrm{kg}$ 时,$v=\dfrac{360}{80}=4.5(\mathrm{m/s})$.
∵机器狗载重后总质量 $m=60\ \mathrm{kg}$ 时,它的最快移动速度 $v=6\ \mathrm{m/s}$,
∴$k=60×6=360$,
∴反比例函数解析式为 $v=\dfrac{360}{m}$.
当 $m=80\ \mathrm{kg}$ 时,$v=\dfrac{360}{80}=4.5(\mathrm{m/s})$.
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据题目给出的“v是m的反比例函数”这一条件，先设出反比例函数的一般形式；再将已知的m、v对应数值代入解析式，求出比例系数k，得到完整的反比例函数解析式；最后将m=80代入已求出的解析式，计算得到对应的v值即可。
【解析】
设反比例函数解析式为 $v=\dfrac{k}{m}(m＞0)$，
将$m=60\ \mathrm{kg}$，$v=6\ \mathrm{m/s}$代入解析式，得$k=mv=60×6=360$，
因此反比例函数解析式为 $v=\dfrac{360}{m}$，
将$m=80\ \mathrm{kg}$代入解析式，得 $v=\dfrac{360}{80}=4.5(\mathrm{m/s})$。
【答案】
4.5
【知识点】
反比例函数定义，待定系数法，反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数在实际场景中的基础应用，解题关键是正确利用待定系数法求出反比例函数的解析式，代入数值计算时注意避免运算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据题目给出的“v是m的反比例函数”这一条件，先设出反比例函数的一般形式；再将已知的m、v对应数值代入解析式，求出比例系数k，得到完整的反比例函数解析式；最后将m=80代入已求出的解析式，计算得到对应的v值即可。
【解析】
设反比例函数解析式为 $v=\dfrac{k}{m}(m＞0)$，
将$m=60\ \mathrm{kg}$，$v=6\ \mathrm{m/s}$代入解析式，得$k=mv=60×6=360$，
因此反比例函数解析式为 $v=\dfrac{360}{m}$，
将$m=80\ \mathrm{kg}$代入解析式，得 $v=\dfrac{360}{80}=4.5(\mathrm{m/s})$。
【答案】
4.5
【知识点】
反比例函数定义，待定系数法，反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数在实际场景中的基础应用，解题关键是正确利用待定系数法求出反比例函数的解析式，代入数值计算时注意避免运算错误。
【难度系数】
0.8
6. (2025—2026 亳州谯城区期末)某农场组织一批同一型号的收割机抢收秋粮，所需天数y是每天完成的收割量x(单位:亩)的反比例函数，其函数图象如下图所示，且经过点(24,50)。
(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围。
(2)已知该型号收割机每台每天能够收割秋粮15亩，若该农场计划用10天的时间完成收割任务，则需要几台这种型号的收割机？
(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围。
(2)已知该型号收割机每台每天能够收割秋粮15亩，若该农场计划用10天的时间完成收割任务，则需要几台这种型号的收割机？
答案
6. 解:(1)设 y 关于 x 的函数解析式为 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$.
将$(24,50)$代入可得 $k=24×50=1\ 200$,
即 y 关于 x 的函数解析式为 $y=\dfrac{1\ 200}{x}(x＞0)$.
(2)由题意可知,当 $y=10$ 时,
$x=\dfrac{1\ 200}{10}=120$.
∵该型号收割机每台每天能够收割秋粮 15 亩,
∴$120÷15=8$(台).
故需要 8 台这种型号的收割机.
将$(24,50)$代入可得 $k=24×50=1\ 200$,
即 y 关于 x 的函数解析式为 $y=\dfrac{1\ 200}{x}(x＞0)$.
(2)由题意可知,当 $y=10$ 时,
$x=\dfrac{1\ 200}{10}=120$.
∵该型号收割机每台每天能够收割秋粮 15 亩,
∴$120÷15=8$(台).
故需要 8 台这种型号的收割机.
解析
【分析】
(1) 题目明确说明y是x的反比例函数，首先设反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$，结合实际意义，每天的收割量x为正数，因此$x＞0$；再将图象经过的已知点$(24,50)$代入解析式，即可求出常数k的值，进而得到y关于x的函数解析式。
(2) 已知计划完成任务的天数为10，即$y=10$，将其代入(1)中求得的解析式，算出每天需要完成的总收割量x，再除以单台收割机每天的收割量15亩，即可得到需要的收割机台数。
【解析】
(1) 设y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$，
将点$(24,50)$代入解析式，可得$k=24×50=1200$，
因此y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{1200}{x}(x＞0)$。
(2) 当完成任务的天数$y=10$时，代入解析式得$10=\dfrac{1200}{x}$，解得$x=\dfrac{1200}{10}=120$，即每天总共需要收割120亩。
已知每台收割机每天可收割15亩，因此需要的收割机数量为$120÷15=8$（台）。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1200}{x}(x＞0)$
(2) 8台
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合实际生产场景考查反比例函数的应用，解题核心是先利用已知点求出反比例函数解析式，再代入对应变量的值求解，需要注意实际问题中自变量的取值范围要符合现实意义。
【难度系数】
0.8
(1) 题目明确说明y是x的反比例函数，首先设反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$，结合实际意义，每天的收割量x为正数，因此$x＞0$；再将图象经过的已知点$(24,50)$代入解析式，即可求出常数k的值，进而得到y关于x的函数解析式。
(2) 已知计划完成任务的天数为10，即$y=10$，将其代入(1)中求得的解析式，算出每天需要完成的总收割量x，再除以单台收割机每天的收割量15亩，即可得到需要的收割机台数。
【解析】
(1) 设y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$，
将点$(24,50)$代入解析式，可得$k=24×50=1200$，
因此y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{1200}{x}(x＞0)$。
(2) 当完成任务的天数$y=10$时，代入解析式得$10=\dfrac{1200}{x}$，解得$x=\dfrac{1200}{10}=120$，即每天总共需要收割120亩。
已知每台收割机每天可收割15亩，因此需要的收割机数量为$120÷15=8$（台）。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1200}{x}(x＞0)$
(2) 8台
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合实际生产场景考查反比例函数的应用，解题核心是先利用已知点求出反比例函数解析式，再代入对应变量的值求解，需要注意实际问题中自变量的取值范围要符合现实意义。
【难度系数】
0.8
7.应用意识 方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶路程为480 km.设小汽车的行驶时间为t(单位:h)，行驶速度为v(单位:km/h)，且全程限速120 km/h.
(1)求v关于t的函数解析式.
(2)方方上午8时驾驶小汽车从A地出发.
①方方需在当天12时48分至14时(含12时48分和14时)之间到达B地，求小汽车行驶速度v的取值范围；
②方方能否在当天11时30分前到达B地？请说明理由.
(1)求v关于t的函数解析式.
(2)方方上午8时驾驶小汽车从A地出发.
①方方需在当天12时48分至14时(含12时48分和14时)之间到达B地，求小汽车行驶速度v的取值范围；
②方方能否在当天11时30分前到达B地？请说明理由.
答案
7. 解:(1)根据题意,得 $vt=480$,$\therefore v=\dfrac{480}{t}$.
∵$480＞0$,$\therefore$ 当 $v≤120$ 时,$t≥4$,
∴v 关于 t 的函数解析式为 $v=\dfrac{480}{t}(t≥4)$.
(2)①根据题意,得 $4.8≤ t≤6$.
当 $t=4.8$ 时,$v=100$;当 $t=6$ 时,$v=80$.
∵当 $t＞0$ 时,v 随 t 的增大而减小,$\therefore 80≤ v≤100$.
②不能. 理由:若方方要在当天 11 时 30 分前到达 B地,则 $t＜3.5$.
当 $t=3.5$ 时,$v=\dfrac{480}{3.5}=\dfrac{960}{7}$,$\therefore$ 当 $t＜3.5$ 时,$v＞\dfrac{960}{7}＞120$,$\therefore$ 方方不能在当天 11 时 30 分前到达 B 地.
∵$480＞0$,$\therefore$ 当 $v≤120$ 时,$t≥4$,
∴v 关于 t 的函数解析式为 $v=\dfrac{480}{t}(t≥4)$.
(2)①根据题意,得 $4.8≤ t≤6$.
当 $t=4.8$ 时,$v=100$;当 $t=6$ 时,$v=80$.
∵当 $t＞0$ 时,v 随 t 的增大而减小,$\therefore 80≤ v≤100$.
②不能. 理由:若方方要在当天 11 时 30 分前到达 B地,则 $t＜3.5$.
当 $t=3.5$ 时,$v=\dfrac{480}{3.5}=\dfrac{960}{7}$,$\therefore$ 当 $t＜3.5$ 时,$v＞\dfrac{960}{7}＞120$,$\therefore$ 方方不能在当天 11 时 30 分前到达 B 地.
解析
【分析】
本题是反比例函数在行程问题中的实际应用，解题思路如下：
(1) 首先根据行程问题核心公式“路程=速度×时间”建立等量关系，变形得到v关于t的表达式，再结合全程限速的实际限制，求出t的取值范围，最终得到完整的函数解析式。
(2) ①先计算方方从8时出发，在对应时间点到达的行驶时长，得到t的取值范围；再利用反比例函数的增减性，代入t的两个端点值即可得到v的取值范围。
②先计算8时到11时30分的时长，若要在11时30分前到达，行驶时间需小于该时长，代入解析式求出对应最小速度，和限速比较即可判断是否可行。
【解析】
(1) 根据路程、速度、时间的关系，得 $vt=480$，变形得 $v=\dfrac{480}{t}$。
∵全程限速$120\ \mathrm{km/h}$，即$v≤120$，代入得$\dfrac{480}{t}≤120$，解得$t≥4$，
∴v关于t的函数解析式为 $v=\dfrac{480}{t}(t≥4)$。
(2) ①方方上午8时出发，12时48分到达时，行驶时间$t=12\dfrac{48}{60}-8=4.8\ \mathrm{h}$；14时到达时，行驶时间$t=14-8=6\ \mathrm{h}$，因此行驶时间的范围是$4.8≤ t≤6$。
对于反比例函数$v=\dfrac{480}{t}$，$k=480＞0$，当$t＞0$时，v随t的增大而减小，
当$t=4.8$时，$v=\dfrac{480}{4.8}=100$；当$t=6$时，$v=\dfrac{480}{6}=80$，
∴速度v的取值范围是$80≤ v≤100$。
②不能。理由如下：
若方方在当天11时30分前到达B地，则行驶时间$t＜11.5-8=3.5\ \mathrm{h}$，
当$t=3.5$时，$v=\dfrac{480}{3.5}=\dfrac{960}{7}$，
∵$k＞0$时v随t的减小而增大，
∴当$t＜3.5$时，$v＞\dfrac{960}{7}＞120$，超过了限速要求，因此方方不能在当天11时30分前到达B地。
【答案】
(1) $v=\dfrac{480}{t}(t≥4)$
(2) ① $80≤ v≤100$；② 不能，理由见解析
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 反比例函数的增减性
3. 行程问题公式
【点评】
本题结合日常出行场景考查反比例函数的实际应用，解题时需要注意函数自变量的取值范围必须符合题目给出的实际约束条件，同时要正确进行时间单位的换算，结合反比例函数的性质求解取值范围，能够有效考查学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在行程问题中的实际应用，解题思路如下：
(1) 首先根据行程问题核心公式“路程=速度×时间”建立等量关系，变形得到v关于t的表达式，再结合全程限速的实际限制，求出t的取值范围，最终得到完整的函数解析式。
(2) ①先计算方方从8时出发，在对应时间点到达的行驶时长，得到t的取值范围；再利用反比例函数的增减性，代入t的两个端点值即可得到v的取值范围。
②先计算8时到11时30分的时长，若要在11时30分前到达，行驶时间需小于该时长，代入解析式求出对应最小速度，和限速比较即可判断是否可行。
【解析】
(1) 根据路程、速度、时间的关系，得 $vt=480$，变形得 $v=\dfrac{480}{t}$。
∵全程限速$120\ \mathrm{km/h}$，即$v≤120$，代入得$\dfrac{480}{t}≤120$，解得$t≥4$，
∴v关于t的函数解析式为 $v=\dfrac{480}{t}(t≥4)$。
(2) ①方方上午8时出发，12时48分到达时，行驶时间$t=12\dfrac{48}{60}-8=4.8\ \mathrm{h}$；14时到达时，行驶时间$t=14-8=6\ \mathrm{h}$，因此行驶时间的范围是$4.8≤ t≤6$。
对于反比例函数$v=\dfrac{480}{t}$，$k=480＞0$，当$t＞0$时，v随t的增大而减小，
当$t=4.8$时，$v=\dfrac{480}{4.8}=100$；当$t=6$时，$v=\dfrac{480}{6}=80$，
∴速度v的取值范围是$80≤ v≤100$。
②不能。理由如下：
若方方在当天11时30分前到达B地，则行驶时间$t＜11.5-8=3.5\ \mathrm{h}$，
当$t=3.5$时，$v=\dfrac{480}{3.5}=\dfrac{960}{7}$，
∵$k＞0$时v随t的减小而增大，
∴当$t＜3.5$时，$v＞\dfrac{960}{7}＞120$，超过了限速要求，因此方方不能在当天11时30分前到达B地。
【答案】
(1) $v=\dfrac{480}{t}(t≥4)$
(2) ① $80≤ v≤100$；② 不能，理由见解析
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 反比例函数的增减性
3. 行程问题公式
【点评】
本题结合日常出行场景考查反比例函数的实际应用，解题时需要注意函数自变量的取值范围必须符合题目给出的实际约束条件，同时要正确进行时间单位的换算，结合反比例函数的性质求解取值范围，能够有效考查学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
