登录
【例】(2025—2026 龙南期末)物理课上，同学们用自制密度计测量液体的密度.如右图，密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度 $ h $（单位：cm）是液体的密度 $ \rho $（单位：$ \mathrm{g/cm}^3 $）的反比例函数.当密度计漂浮在密度为 $ 1 \ \mathrm{g/cm}^3 $ 的水中时，$ h = 20 \ \mathrm{cm} $.
(1)求 $ h $ 关于 $ \rho $ 的函数解析式.
(2)当密度计漂浮在另一种液体中时，$ h = 25 \ \mathrm{cm} $，求该液体的密度 $ \rho $.
【点拨】(1)设 $ h = \frac{k}{\rho} $，把 $ \rho = 1, h = 20 $ 代入即可求出 $ k $；
(2)把 $ h = 25 $ 代入解析式即可求出密度.
【解】(1)设 $ h $ 关于 $ \rho $ 的函数解析式为 $ h = \frac{k}{\rho} $. 把 $ \rho = 1, h = 20 $ 代入，得 $ k = 20 $，
∴$ h $ 关于 $ \rho $ 的函数解析式为 $ h = \frac{20}{\rho} $.
(2)把 $ h = 25 $ 代入 $ h = \frac{20}{\rho} $，得 $ 25 = \frac{20}{\rho} $，解得 $ \rho = 0.8 $，即该液体的密度 $ \rho $ 为 $ 0.8 \ \mathrm{g/cm}^3 $.
(1)求 $ h $ 关于 $ \rho $ 的函数解析式.
(2)当密度计漂浮在另一种液体中时，$ h = 25 \ \mathrm{cm} $，求该液体的密度 $ \rho $.
【点拨】(1)设 $ h = \frac{k}{\rho} $，把 $ \rho = 1, h = 20 $ 代入即可求出 $ k $；
(2)把 $ h = 25 $ 代入解析式即可求出密度.
【解】(1)设 $ h $ 关于 $ \rho $ 的函数解析式为 $ h = \frac{k}{\rho} $. 把 $ \rho = 1, h = 20 $ 代入，得 $ k = 20 $，
∴$ h $ 关于 $ \rho $ 的函数解析式为 $ h = \frac{20}{\rho} $.
(2)把 $ h = 25 $ 代入 $ h = \frac{20}{\rho} $，得 $ 25 = \frac{20}{\rho} $，解得 $ \rho = 0.8 $，即该液体的密度 $ \rho $ 为 $ 0.8 \ \mathrm{g/cm}^3 $.
答案
解：
(1) 设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$。
将$\rho=1$，$h=20$代入解析式，得$20=\frac{k}{1}$，解得$k=20$。
∴$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{20}{\rho}(\rho＞0)$。
(2) 将$h=25$代入$h=\frac{20}{\rho}$，得$25=\frac{20}{\rho}$，
解得$\rho=0.8$。
答：该液体的密度$\rho$为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
(1) 设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$。
将$\rho=1$，$h=20$代入解析式，得$20=\frac{k}{1}$，解得$k=20$。
∴$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{20}{\rho}(\rho＞0)$。
(2) 将$h=25$代入$h=\frac{20}{\rho}$，得$25=\frac{20}{\rho}$，
解得$\rho=0.8$。
答：该液体的密度$\rho$为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
本题已知浸在液体中的高度h是液体密度ρ的反比例函数，求解分两步完成：第一问求函数解析式，先根据反比例函数的定义设出带未知系数的解析式，再将已知的ρ=1、h=20代入解析式，求出未知系数k，即可得到h关于ρ的函数解析式；第二问求液体密度，只需将h=25代入第一问求出的解析式，解关于ρ的方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$。
将$\rho=1\ \mathrm{g/cm^3}$，$h=20\ \mathrm{cm}$代入解析式，得$20=\frac{k}{1}$，解得$k=20$。
∴$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{20}{\rho}(\rho＞0)$。
(2) 将$h=25\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{20}{\rho}$，得$25=\frac{20}{\rho}$，
解得$\rho=0.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
【答案】
(1) $h=\frac{20}{\rho}(\rho＞0)$
(2) $0.8\ \mathrm{g/cm^3}$
【知识点】
反比例函数的应用、待定系数法求解析式、反比例函数求值
【点评】
本题结合物理中密度计的实际场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是掌握反比例函数的基本形式，准确代入已知条件计算，能让学生体会到数学在其他学科的实际应用价值。
【难度系数】
0.8
本题已知浸在液体中的高度h是液体密度ρ的反比例函数，求解分两步完成：第一问求函数解析式，先根据反比例函数的定义设出带未知系数的解析式，再将已知的ρ=1、h=20代入解析式，求出未知系数k，即可得到h关于ρ的函数解析式；第二问求液体密度，只需将h=25代入第一问求出的解析式，解关于ρ的方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$。
将$\rho=1\ \mathrm{g/cm^3}$，$h=20\ \mathrm{cm}$代入解析式，得$20=\frac{k}{1}$，解得$k=20$。
∴$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{20}{\rho}(\rho＞0)$。
(2) 将$h=25\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{20}{\rho}$，得$25=\frac{20}{\rho}$，
解得$\rho=0.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
【答案】
(1) $h=\frac{20}{\rho}(\rho＞0)$
(2) $0.8\ \mathrm{g/cm^3}$
【知识点】
反比例函数的应用、待定系数法求解析式、反比例函数求值
【点评】
本题结合物理中密度计的实际场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是掌握反比例函数的基本形式，准确代入已知条件计算，能让学生体会到数学在其他学科的实际应用价值。
【难度系数】
0.8
1.根据物理学知识，作用于物体上的压力F(单位:N)所产生的压强p(单位:Pa)与物体受力面积S(单位:m²)三者之间满足关系式$p=\frac{F}{S}$.如果压力为500 N,压强要大于5 000 Pa,那么下列关于S的说法正确的是 (
A.S小于0.1 m²
B.S大于0.1 m²
C.S小于10 m²
D.S大于10 m²
A
)A.S小于0.1 m²
B.S大于0.1 m²
C.S小于10 m²
D.S大于10 m²
答案
1.A
解析
【分析】首先明确题目给出的压强公式$p=\frac{F}{S}$，已知压力F为定值500N，要求压强p大于5000Pa，解题时先将已知数值代入公式得到关于S的不等式，再结合受力面积S为正数的实际意义求解不等式，即可得到S的取值范围，对应选出正确选项。
【解析】已知压力$F=500\mathrm{N}$，要求压强$p＞5000\mathrm{Pa}$，将$F=500$代入压强公式$p=\frac{F}{S}$，可得不等式：
$\frac{500}{S}＞5000$
由于受力面积S是正数，即$S＞0$，不等式两边同时乘S，不等号方向不变，得：
$500＞5000S$
不等式两边同时除以5000，得：
$S＜\frac{500}{5000}=0.1$
即$S＜0.1\mathrm{m}^2$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】1.反比例函数实际应用 2.一元一次不等式解法 3.实际变量取值范围
【点评】本题结合物理压强公式考查反比例函数与不等式的综合应用，解题关键是正确代入已知条件列不等式，同时要注意实际问题中变量的取值必须符合现实意义，整体解题逻辑简单清晰。
【难度系数】0.9
【解析】已知压力$F=500\mathrm{N}$，要求压强$p＞5000\mathrm{Pa}$，将$F=500$代入压强公式$p=\frac{F}{S}$，可得不等式：
$\frac{500}{S}＞5000$
由于受力面积S是正数，即$S＞0$，不等式两边同时乘S，不等号方向不变，得：
$500＞5000S$
不等式两边同时除以5000，得：
$S＜\frac{500}{5000}=0.1$
即$S＜0.1\mathrm{m}^2$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】1.反比例函数实际应用 2.一元一次不等式解法 3.实际变量取值范围
【点评】本题结合物理压强公式考查反比例函数与不等式的综合应用，解题关键是正确代入已知条件列不等式，同时要注意实际问题中变量的取值必须符合现实意义，整体解题逻辑简单清晰。
【难度系数】0.9
2.(教材变式)公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理(阻力×阻力臂＝动力×动力臂)”.小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1500 N和0.4 m，则动力F(单位：N)关于动力臂L(单位：m)的函数解析式正确的是 (
A.$F=\dfrac{1500}{L}$
B.$F=\dfrac{700}{L}$
C.$F=\dfrac{600}{L}$
D.$F=\dfrac{0.4}{L}$
C
)A.$F=\dfrac{1500}{L}$
B.$F=\dfrac{700}{L}$
C.$F=\dfrac{600}{L}$
D.$F=\dfrac{0.4}{L}$
答案
2.C
解析
【分析】
解决本题需紧扣题干给出的杠杆原理等量关系：阻力×阻力臂＝动力×动力臂。首先代入已知的阻力、阻力臂数值，计算两者的乘积；再根据等量关系列出关于动力F和动力臂L的等式，将等式变形为F用L表示的形式，最后对照选项选出答案即可。
【解析】
解：根据杠杆原理“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”，将已知阻力1500N、阻力臂0.4m，动力F、动力臂L代入公式，可得：
$1500 × 0.4 = F · L$
计算左边的乘积：$600 = F · L$
对等式进行变形，将F单独放在等号左侧，得：
$F = \dfrac{600}{L}$
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用，杠杆原理应用
【点评】
本题是结合物理知识的跨学科基础题，考查反比例函数解析式的求解，解题核心是准确代入已知量、正确变形公式，难度较低。
【难度系数】
0.85
解决本题需紧扣题干给出的杠杆原理等量关系：阻力×阻力臂＝动力×动力臂。首先代入已知的阻力、阻力臂数值，计算两者的乘积；再根据等量关系列出关于动力F和动力臂L的等式，将等式变形为F用L表示的形式，最后对照选项选出答案即可。
【解析】
解：根据杠杆原理“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”，将已知阻力1500N、阻力臂0.4m，动力F、动力臂L代入公式，可得：
$1500 × 0.4 = F · L$
计算左边的乘积：$600 = F · L$
对等式进行变形，将F单独放在等号左侧，得：
$F = \dfrac{600}{L}$
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用，杠杆原理应用
【点评】
本题是结合物理知识的跨学科基础题，考查反比例函数解析式的求解，解题核心是准确代入已知量、正确变形公式，难度较低。
【难度系数】
0.85
变式题 一杠杆装置如图所示，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变.甲、乙、丙、丁四名同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力$F_甲$，$F_乙$，$F_丙$，$F_丁$，将相同质量的水桶吊起同样的高度.若$F_乙＜F_丙＜F_甲＜F_丁$，则这四名同学中，对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（
A.甲同学
B.乙同学
C.丙同学
D.丁同学
B
）A.甲同学
B.乙同学
C.丙同学
D.丁同学
答案
变式题 B 【解析】由物理学知识可知，阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例.
∵$F_乙＜F_丙＜F_甲＜F_丁$，且将相同质量的水桶吊起同样的高度，
∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远.
∵$F_乙＜F_丙＜F_甲＜F_丁$，且将相同质量的水桶吊起同样的高度，
∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远.
解析
【分析】
解题时首先结合杠杆平衡原理梳理各个量的关系：题目中水桶质量相同，因此水桶对杆的拉力（阻力）大小相等，且题目明确阻力作用点到支点的距离（阻力臂）固定。根据杠杆平衡公式“阻力×阻力臂=动力×动力臂”，可知阻力与阻力臂的乘积是定值，因此动力和动力臂成反比例关系，即动力越小，对应的动力臂（压力作用点到支点的距离）就越大，最后对比四名同学的动力大小即可判断谁的动力臂最远。
【解析】
根据杠杆平衡条件可得：$ F_{阻}L_{阻}=F_{动}L_{动} $。
由题意可知，水桶质量相同，因此阻力$ F_{阻} $大小相等，且阻力臂$ L_{阻} $固定不变，因此$ F_{阻}L_{阻} $为定值，即动力$ F_{动} $与动力臂$ L_{动} $成反比例关系：动力越小，对应的动力臂越长。
已知$ F_乙＜F_丙＜F_甲＜F_丁 $，乙的动力最小，因此乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数应用；杠杆平衡条件；反比例性质
【点评】
本题结合物理杠杆场景考查反比例关系的实际应用，需要先结合已知条件判断两个量的反比例关系，再根据量的大小关系推导对应量的大小，属于跨学科的基础应用题型，侧重考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合杠杆平衡原理梳理各个量的关系：题目中水桶质量相同，因此水桶对杆的拉力（阻力）大小相等，且题目明确阻力作用点到支点的距离（阻力臂）固定。根据杠杆平衡公式“阻力×阻力臂=动力×动力臂”，可知阻力与阻力臂的乘积是定值，因此动力和动力臂成反比例关系，即动力越小，对应的动力臂（压力作用点到支点的距离）就越大，最后对比四名同学的动力大小即可判断谁的动力臂最远。
【解析】
根据杠杆平衡条件可得：$ F_{阻}L_{阻}=F_{动}L_{动} $。
由题意可知，水桶质量相同，因此阻力$ F_{阻} $大小相等，且阻力臂$ L_{阻} $固定不变，因此$ F_{阻}L_{阻} $为定值，即动力$ F_{动} $与动力臂$ L_{动} $成反比例关系：动力越小，对应的动力臂越长。
已知$ F_乙＜F_丙＜F_甲＜F_丁 $，乙的动力最小，因此乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数应用；杠杆平衡条件；反比例性质
【点评】
本题结合物理杠杆场景考查反比例关系的实际应用，需要先结合已知条件判断两个量的反比例关系，再根据量的大小关系推导对应量的大小，属于跨学科的基础应用题型，侧重考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强$ p $（单位：$\mathrm{Pa}$）是它的受力面积$ S $（单位：$\mathrm{m}^2$）的反比例函数，其函数图象如图所示. 当$ S=0.25 \ \mathrm{m}^2 $时，该物体承受的压强$ p $为
400
$\mathrm{Pa}$.答案
3.400
解析
【分析】
题目明确压强p是受力面积S的反比例函数，解题思路如下：首先根据反比例函数的定义设出函数的一般形式，再从函数图象中提取一组已知的S与p的对应值，代入解析式求出比例系数k，确定完整的函数解析式，最后将S=0.25代入解析式计算，即可得到对应的压强p的值。
【解析】
设p与S的反比例函数解析式为$p=\frac{k}{S}$（$k$为常数，$k≠0$）。
由函数图象可知，当$S=0.2\ \mathrm{m}^2$时，$p=500\ \mathrm{Pa}$，将其代入解析式得：
$500=\frac{k}{0.2}$
解得$k=500×0.2=100$，
所以p与S的函数解析式为$p=\frac{100}{S}$（$S＞0$）。
当$S=0.25\ \mathrm{m}^2$时，代入解析式得：
$p=\frac{100}{0.25}=400$（$\mathrm{Pa}$）
【答案】
400
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合物理学科的压强相关知识考查反比例函数的实际应用，解题核心是利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再代入求值，需要注意从图象中准确提取已知条件，计算时细心避免出错即可。
【难度系数】
0.8
题目明确压强p是受力面积S的反比例函数，解题思路如下：首先根据反比例函数的定义设出函数的一般形式，再从函数图象中提取一组已知的S与p的对应值，代入解析式求出比例系数k，确定完整的函数解析式，最后将S=0.25代入解析式计算，即可得到对应的压强p的值。
【解析】
设p与S的反比例函数解析式为$p=\frac{k}{S}$（$k$为常数，$k≠0$）。
由函数图象可知，当$S=0.2\ \mathrm{m}^2$时，$p=500\ \mathrm{Pa}$，将其代入解析式得：
$500=\frac{k}{0.2}$
解得$k=500×0.2=100$，
所以p与S的函数解析式为$p=\frac{100}{S}$（$S＞0$）。
当$S=0.25\ \mathrm{m}^2$时，代入解析式得：
$p=\frac{100}{0.25}=400$（$\mathrm{Pa}$）
【答案】
400
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合物理学科的压强相关知识考查反比例函数的实际应用，解题核心是利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再代入求值，需要注意从图象中准确提取已知条件，计算时细心避免出错即可。
【难度系数】
0.8
