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5.如右图,在平面直角坐标系中,菱形ABCO的顶点O为坐标原点,顶点A,C在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,且点A的纵坐标为$3\sqrt{3}$,点C的纵坐标为$-\sqrt{3}$,点B的坐标为$(a,a)$.
(1)求k的值.
(2)求a的值.
(1)求k的值.
(2)求a的值.
答案
5.解:(1)
如图,过点 $C$ 作 $CE⊥ x$ 轴于点 $E$,过点 $A$ 作 $AF⊥ y$ 轴于点 $F$,则 $CE=\sqrt{3}$.∵四边形 $OABC$ 是菱形,
$\therefore∠ AOB=∠ COB,OA=OC$.
$\because B(a,a)$,
∴点 $B$ 在 $∠ FOE$ 的平分线上,
$\therefore∠ FOB=∠ EOB$,$\therefore∠ AOF=∠ COE$.
又$\because∠ AFO=∠ CEO$,$\therefore△ OAF≌△ OCE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AF=CE=\sqrt{3}$,
$\therefore A(-\sqrt{3},3\sqrt{3})$.
将 $A(-\sqrt{3},3\sqrt{3})$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=-9$.
(2)由(1)可知 $F(0,3\sqrt{3})$,
$\therefore OE=OF=3\sqrt{3}$,$\therefore C(3\sqrt{3},-\sqrt{3})$.
如图,连接 $AC$ 交 $OB$ 于点 $P$,则 $PO=PB,PA=PC$,
$\therefore x_A+x_C=2x_P=x_O+x_B$,$\therefore-\sqrt{3}+3\sqrt{3}=0+a$,
$\therefore a=2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1)求k值需先得到反比例函数上点A的完整坐标，已知点A纵坐标为$3\sqrt{3}$，仅需求出其横坐标。首先由$B(a,a)$可知OB是$∠xOy$的角平分线，结合菱形对角线平分内角的性质，可推出$∠AOF=∠COE$；过A作$AF⊥y$轴、C作$CE⊥x$轴，可证$△ OAF≌△ OCE$，得到$AF=CE=\sqrt{3}$，即点A横坐标为$-\sqrt{3}$，代入反比例函数即可求k。
(2)求a值可利用菱形对角线互相平分的性质，AC和OB的中点重合，根据中点坐标公式，A、C的横坐标之和等于O、B的横坐标之和，先求出点C坐标后代入计算即可得到a的值。
【解析】
(1)如图，过点 $C$ 作 $CE⊥ x$ 轴于点 $E$,过点 $A$ 作 $AF⊥ y$ 轴于点 $F$,则 $CE=\sqrt{3}$。
∵四边形 $OABC$ 是菱形,
$\therefore∠ AOB=∠ COB,OA=OC$。
$\because B(a,a)$,
∴点 $B$ 在 $∠ FOE$ 的平分线上,
$\therefore∠ FOB=∠ EOB$,$\therefore∠ AOF=∠ COE$。
又$\because∠ AFO=∠ CEO=90°$,
$\therefore△ OAF≌△ OCE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AF=CE=\sqrt{3}$,
$\therefore A(-\sqrt{3},3\sqrt{3})$。
将 $A(-\sqrt{3},3\sqrt{3})$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=(-\sqrt{3})×3\sqrt{3}=-9$。
(2)由(1)可知 $△ OAF≌△ OCE$，$\therefore OE=OF=3\sqrt{3}$,
$\therefore C(3\sqrt{3},-\sqrt{3})$。
如图，连接 $AC$ 交 $OB$ 于点 $P$,
∵四边形OABC是菱形，对角线互相平分，
$\therefore PO=PB,PA=PC$，即P是AC和OB的公共中点，
根据中点坐标公式可得：$x_A+x_C=2x_P=x_O+x_B$，
代入坐标得：$-\sqrt{3}+3\sqrt{3}=0+a$,
$\therefore a=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$k=-9$；(2)$a=2\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题关键是结合菱形性质推导角的等量关系证明三角形全等，再利用中点坐标公式建立坐标间的联系，很好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
(1)求k值需先得到反比例函数上点A的完整坐标，已知点A纵坐标为$3\sqrt{3}$，仅需求出其横坐标。首先由$B(a,a)$可知OB是$∠xOy$的角平分线，结合菱形对角线平分内角的性质，可推出$∠AOF=∠COE$；过A作$AF⊥y$轴、C作$CE⊥x$轴，可证$△ OAF≌△ OCE$，得到$AF=CE=\sqrt{3}$，即点A横坐标为$-\sqrt{3}$，代入反比例函数即可求k。
(2)求a值可利用菱形对角线互相平分的性质，AC和OB的中点重合，根据中点坐标公式，A、C的横坐标之和等于O、B的横坐标之和，先求出点C坐标后代入计算即可得到a的值。
【解析】
(1)
如图，过点 $C$ 作 $CE⊥ x$ 轴于点 $E$,过点 $A$ 作 $AF⊥ y$ 轴于点 $F$,则 $CE=\sqrt{3}$。∵四边形 $OABC$ 是菱形,
$\therefore∠ AOB=∠ COB,OA=OC$。
$\because B(a,a)$,
∴点 $B$ 在 $∠ FOE$ 的平分线上,
$\therefore∠ FOB=∠ EOB$,$\therefore∠ AOF=∠ COE$。
又$\because∠ AFO=∠ CEO=90°$,
$\therefore△ OAF≌△ OCE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AF=CE=\sqrt{3}$,
$\therefore A(-\sqrt{3},3\sqrt{3})$。
将 $A(-\sqrt{3},3\sqrt{3})$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=(-\sqrt{3})×3\sqrt{3}=-9$。
(2)由(1)可知 $△ OAF≌△ OCE$，$\therefore OE=OF=3\sqrt{3}$,
$\therefore C(3\sqrt{3},-\sqrt{3})$。
如图，连接 $AC$ 交 $OB$ 于点 $P$,
∵四边形OABC是菱形，对角线互相平分，
$\therefore PO=PB,PA=PC$，即P是AC和OB的公共中点，
根据中点坐标公式可得：$x_A+x_C=2x_P=x_O+x_B$，
代入坐标得：$-\sqrt{3}+3\sqrt{3}=0+a$,
$\therefore a=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$k=-9$；(2)$a=2\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题关键是结合菱形性质推导角的等量关系证明三角形全等，再利用中点坐标公式建立坐标间的联系，很好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
6.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如下图所示，其中$A(-4,0)$，$B(1,0)$，$C(4,4)$，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点C.
(1)求此反比例函数的解析式.
(2)在$x$轴的下方作矩形$ABMN$，使$S_{矩形ABMN}=S_{菱形ABCD}$.请你通过计算说明点$N$在反比例函数的图象上.
(1)求此反比例函数的解析式.
(2)在$x$轴的下方作矩形$ABMN$，使$S_{矩形ABMN}=S_{菱形ABCD}$.请你通过计算说明点$N$在反比例函数的图象上.
答案
6.解:(1)
∵点 $C(4,4)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上,
$\therefore\frac{k}{4}=4$,
$\therefore k=16$,
∴反比例函数的解析式为 $y=\frac{16}{x}$.
(2)$\because A(-4,0),B(1,0),C(4,4)$,
$\therefore AB=5$,$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD}=5×4=20$.
$\because S_{\mathrm{矩形}ABMN}=S_{\mathrm{菱形}ABCD}$,
$\therefore S_{\mathrm{矩形}ABMN}=AB· AN=20$,
$\therefore AN=4$,
∴点 $N$ 的坐标为 $(-4,-4)$.
当 $x=-4$ 时,$y=\frac{16}{-4}=-4$,
∴点 $N$ 在反比例函数 $y=\frac{16}{x}$ 的图象上.
∵点 $C(4,4)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上,
$\therefore\frac{k}{4}=4$,
$\therefore k=16$,
∴反比例函数的解析式为 $y=\frac{16}{x}$.
(2)$\because A(-4,0),B(1,0),C(4,4)$,
$\therefore AB=5$,$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD}=5×4=20$.
$\because S_{\mathrm{矩形}ABMN}=S_{\mathrm{菱形}ABCD}$,
$\therefore S_{\mathrm{矩形}ABMN}=AB· AN=20$,
$\therefore AN=4$,
∴点 $N$ 的坐标为 $(-4,-4)$.
当 $x=-4$ 时,$y=\frac{16}{-4}=-4$,
∴点 $N$ 在反比例函数 $y=\frac{16}{x}$ 的图象上.
解析
【分析】
(1) 求反比例函数解析式时，我们知道反比例函数的形式为$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$，仅需确定$k$的值即可，已知点$C$在反比例函数图象上，直接将点$C$坐标代入表达式就能求出$k$，进而得到解析式。
(2) 要判断点$N$是否在反比例函数图象上，需先求出$N$的坐标：首先计算线段$AB$的长度，再用“底×高”的公式求出菱形$ABCD$的面积，根据矩形和菱形面积相等的条件，结合矩形面积公式求出矩形的宽，再结合矩形在$x$轴下方的位置特征确定$N$的坐标，最后将$N$的横坐标代入反比例函数解析式，验证纵坐标是否匹配即可。
【解析】
(1) $\because$点$C(4,4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore$将$x=4,y=4$代入解析式得$\frac{k}{4}=4$，
解得$k=16$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{16}{x}$。
(2) $\because A(-4,0),B(1,0)$，
$\therefore AB=1-(-4)=5$，
$\because$菱形$ABCD$的高等于点$C$的纵坐标$4$，
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD}=AB×4=5×4=20$，
$\because S_{矩形ABMN}=S_{菱形ABCD}$，
$\therefore S_{矩形ABMN}=AB· AN=20$，
代入$AB=5$得$5· AN=20$，解得$AN=4$，
$\because$矩形$ABMN$在$x$轴下方，点$A$的横坐标为$-4$，
$\therefore$点$N$的坐标为$(-4,-4)$，
将$x=-4$代入$y=\frac{16}{x}$得$y=\frac{16}{-4}=-4$，和点$N$的纵坐标一致，
$\therefore$点$N$在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上。
【答案】
(1) 反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=\frac{16}{x}}$；
(2) 点$N$在该反比例函数的图象上。
【知识点】
1. 反比例函数解析式的确定
2. 特殊四边形面积计算
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的基础综合题，解题核心是将几何图形的性质和坐标计算相结合，既考查了特殊四边形的面积计算方法，也考查了反比例函数的基本性质，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 求反比例函数解析式时，我们知道反比例函数的形式为$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$，仅需确定$k$的值即可，已知点$C$在反比例函数图象上，直接将点$C$坐标代入表达式就能求出$k$，进而得到解析式。
(2) 要判断点$N$是否在反比例函数图象上，需先求出$N$的坐标：首先计算线段$AB$的长度，再用“底×高”的公式求出菱形$ABCD$的面积，根据矩形和菱形面积相等的条件，结合矩形面积公式求出矩形的宽，再结合矩形在$x$轴下方的位置特征确定$N$的坐标，最后将$N$的横坐标代入反比例函数解析式，验证纵坐标是否匹配即可。
【解析】
(1) $\because$点$C(4,4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore$将$x=4,y=4$代入解析式得$\frac{k}{4}=4$，
解得$k=16$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{16}{x}$。
(2) $\because A(-4,0),B(1,0)$，
$\therefore AB=1-(-4)=5$，
$\because$菱形$ABCD$的高等于点$C$的纵坐标$4$，
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD}=AB×4=5×4=20$，
$\because S_{矩形ABMN}=S_{菱形ABCD}$，
$\therefore S_{矩形ABMN}=AB· AN=20$，
代入$AB=5$得$5· AN=20$，解得$AN=4$，
$\because$矩形$ABMN$在$x$轴下方，点$A$的横坐标为$-4$，
$\therefore$点$N$的坐标为$(-4,-4)$，
将$x=-4$代入$y=\frac{16}{x}$得$y=\frac{16}{-4}=-4$，和点$N$的纵坐标一致，
$\therefore$点$N$在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上。
【答案】
(1) 反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=\frac{16}{x}}$；
(2) 点$N$在该反比例函数的图象上。
【知识点】
1. 反比例函数解析式的确定
2. 特殊四边形面积计算
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的基础综合题，解题核心是将几何图形的性质和坐标计算相结合，既考查了特殊四边形的面积计算方法，也考查了反比例函数的基本性质，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
7.如右图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A的坐标为$(3,-2)$，点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，BC与反比例函数的图象交于点D，连接OD。
(1)点C的坐标为(
(2)求BC所在直线的解析式。
(3)求$△ COD$的面积。
(1)点C的坐标为(
2
，3
)。(2)求BC所在直线的解析式。
(3)求$△ COD$的面积。
答案
7.解:(1)2 3
(2)
如图,过点 $A$ 作 $AF⊥ y$ 轴,过点 $B$ 作 $BG⊥ AF$,交 $FA$ 的延长线于点 $G$,$\therefore∠ OFA=∠ AGB=90°$,
$\therefore∠ OAF+∠ FOA=90°$.
∵四边形 $OABC$ 为正方形,
$\therefore OA=AB,∠ OAB=90°$,
$\therefore∠ OAF+∠ GAB=90°$,
$\therefore∠ FOA=∠ GAB$,
$\therefore△ GAB≌△ FOA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AG=OF=2,BG=FA=3$,
$\therefore B(5,1)$.
设 $BC$ 所在直线的解析式为 $y=k_1x+b(k_1≠0)$,则
$\begin{cases}3=2k_1+b,\\1=5k_1+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-\frac{2}{3},\\b=\frac{13}{3},\end{cases}$
∴$BC$ 所在直线的解析式为 $y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}$.
(3)$\because C(2,3)$,
$\therefore OC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},k=6$.
联立,得$\begin{cases}y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3},\\y=\frac{6}{x},\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{9}{2},\\y=\frac{4}{3}\end{cases}$或$\begin{cases}x=2,\\y=3,\end{cases}$
$\therefore D(\frac{9}{2},\frac{4}{3})$,
$\therefore CD=\sqrt{(\frac{9}{2}-2)^2+(\frac{4}{3}-3)^2}=\frac{5\sqrt{13}}{6}$,
$\therefore S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×\sqrt{13}×\frac{5\sqrt{13}}{6}=\frac{65}{12}$.
解析
【分析】
(1) 已知四边形ABCO是正方形，OA与OC长度相等且互相垂直，点A坐标为$(3,-2)$，将线段OA绕原点O逆时针旋转90°即可得到OC，根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：原坐标$(x,y)$旋转后变为$(-y,x)$，可直接求出点C的坐标。
(2) 求BC所在直线的解析式需要先确定点B的坐标：可通过构造全等三角形求解，过点A作$AF⊥y$轴，过点B作$BG⊥AF$交FA的延长线于G，利用正方形边相等、内角为直角的性质证明$△ FOA≌△ GAB$，求出AG、BG的长度即可得到点B坐标，再将B、C两点坐标代入一次函数一般式，解二元一次方程组即可得到直线解析式。
(3) 先将点C坐标代入反比例函数解析式求出$k$值，再联立BC的直线解析式和反比例函数解析式，解方程组得到交点D的坐标（排除点C）；再用勾股定理分别求出OC、CD的长度，结合正方形内角为直角可知$OC⊥BC$，利用直角三角形面积公式即可求出$△ COD$的面积。
【解析】
(1) 根据正方形的性质和坐标旋转规律，可得点C坐标为$(2,3)$。
(2) 如图,过点 $A$ 作 $AF⊥ y$ 轴,过点 $B$ 作 $BG⊥ AF$,交 $FA$ 的延长线于点 $G$,
$\therefore∠ OFA=∠ AGB=90°$,
$\therefore∠ OAF+∠ FOA=90°$.
∵四边形 $OABC$ 为正方形,
$\therefore OA=AB,∠ OAB=90°$,
$\therefore∠ OAF+∠ GAB=90°$,
$\therefore∠ FOA=∠ GAB$,
$\therefore△ GAB≌△ FOA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AG=OF=2,BG=FA=3$,
$\therefore B(5,1)$.
设 $BC$ 所在直线的解析式为 $y=k_1x+b(k_1≠0)$,则
$\begin{cases}3=2k_1+b,\\1=5k_1+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-\frac{2}{3},\\b=\frac{13}{3},\end{cases}$
∴$BC$ 所在直线的解析式为 $y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}$.
(3) $\because C(2,3)$,
$\therefore OC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},k=2×3=6$.
联立,得$\begin{cases}y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3},\\y=\frac{6}{x},\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{9}{2},\\y=\frac{4}{3}\end{cases}$或$\begin{cases}x=2,\\y=3,\end{cases}$
$\therefore D(\frac{9}{2},\frac{4}{3})$,
$\therefore CD=\sqrt{(\frac{9}{2}-2)^2+(\frac{4}{3}-3)^2}=\frac{5\sqrt{13}}{6}$,
$\therefore S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×\sqrt{13}×\frac{5\sqrt{13}}{6}=\frac{65}{12}$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{3}$
(2)，BC所在直线的解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}}$
(3) $\boldsymbol{\frac{65}{12}}$
【知识点】
正方形的性质，一次函数解析式求解，反比例函数综合
【点评】
本题是反比例函数与正方形结合的综合题，将几何性质和函数计算相结合，既考查了全等三角形证明、坐标变换等几何知识，也考查了函数解析式求解、交点计算、面积计算等代数知识，需要学生具备数形结合的思维，熟练掌握几何与函数的相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
(1) 已知四边形ABCO是正方形，OA与OC长度相等且互相垂直，点A坐标为$(3,-2)$，将线段OA绕原点O逆时针旋转90°即可得到OC，根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：原坐标$(x,y)$旋转后变为$(-y,x)$，可直接求出点C的坐标。
(2) 求BC所在直线的解析式需要先确定点B的坐标：可通过构造全等三角形求解，过点A作$AF⊥y$轴，过点B作$BG⊥AF$交FA的延长线于G，利用正方形边相等、内角为直角的性质证明$△ FOA≌△ GAB$，求出AG、BG的长度即可得到点B坐标，再将B、C两点坐标代入一次函数一般式，解二元一次方程组即可得到直线解析式。
(3) 先将点C坐标代入反比例函数解析式求出$k$值，再联立BC的直线解析式和反比例函数解析式，解方程组得到交点D的坐标（排除点C）；再用勾股定理分别求出OC、CD的长度，结合正方形内角为直角可知$OC⊥BC$，利用直角三角形面积公式即可求出$△ COD$的面积。
【解析】
(1) 根据正方形的性质和坐标旋转规律，可得点C坐标为$(2,3)$。
(2) 如图,过点 $A$ 作 $AF⊥ y$ 轴,过点 $B$ 作 $BG⊥ AF$,交 $FA$ 的延长线于点 $G$,
$\therefore∠ OFA=∠ AGB=90°$,
$\therefore∠ OAF+∠ FOA=90°$.
∵四边形 $OABC$ 为正方形,
$\therefore OA=AB,∠ OAB=90°$,
$\therefore∠ OAF+∠ GAB=90°$,
$\therefore∠ FOA=∠ GAB$,
$\therefore△ GAB≌△ FOA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AG=OF=2,BG=FA=3$,
$\therefore B(5,1)$.
设 $BC$ 所在直线的解析式为 $y=k_1x+b(k_1≠0)$,则
$\begin{cases}3=2k_1+b,\\1=5k_1+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-\frac{2}{3},\\b=\frac{13}{3},\end{cases}$
∴$BC$ 所在直线的解析式为 $y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}$.
(3) $\because C(2,3)$,
$\therefore OC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},k=2×3=6$.
联立,得$\begin{cases}y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3},\\y=\frac{6}{x},\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{9}{2},\\y=\frac{4}{3}\end{cases}$或$\begin{cases}x=2,\\y=3,\end{cases}$
$\therefore D(\frac{9}{2},\frac{4}{3})$,
$\therefore CD=\sqrt{(\frac{9}{2}-2)^2+(\frac{4}{3}-3)^2}=\frac{5\sqrt{13}}{6}$,
$\therefore S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×\sqrt{13}×\frac{5\sqrt{13}}{6}=\frac{65}{12}$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{3}$
(2)
，BC所在直线的解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}}$(3) $\boldsymbol{\frac{65}{12}}$
【知识点】
正方形的性质，一次函数解析式求解，反比例函数综合
【点评】
本题是反比例函数与正方形结合的综合题，将几何性质和函数计算相结合，既考查了全等三角形证明、坐标变换等几何知识，也考查了函数解析式求解、交点计算、面积计算等代数知识，需要学生具备数形结合的思维，熟练掌握几何与函数的相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
