1. 如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$的顶点$A$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，直角边$BC$在$x$轴上，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=30°$，$OC=4$，连接$OA$。若$∠ AOB=60°$，则$k$的值是（）

A.$4\sqrt{3}$
B.$-4\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$-2\sqrt{3}$

1.B

【分析】
要确定反比例函数中k的值，需先求出图象上点A的坐标。已知图中有多个含特殊角的直角三角形，可先设AB的长度为参数，利用特殊角的三角函数值分别表示出OB、BC的长度，结合OC=4的条件列方程求出AB的长度，进而得到OB的长度，即可确定A点坐标，代入反比例函数解析式计算k即可。
【解析】
设$AB=a$，
$\because ∠ABC=90°$，$∠AOB=60°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$\tan60°=\frac{AB}{OB}$，即$\sqrt{3}=\frac{a}{OB}$，解得$OB=\frac{a}{\sqrt{3}}$。
$\because$ 点$B$在$x$轴负半轴，$OC=4$，点$C$在$x$轴正半轴，
$\therefore BC=OB+OC=\frac{a}{\sqrt{3}}+4$。
又$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ACB=30°$，
$\therefore \tan30°=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\frac{a}{\sqrt{3}}+4}$，
解方程：
两边同乘$\sqrt{3}(\frac{a}{\sqrt{3}}+4)$得：$\frac{a}{\sqrt{3}}+4=\sqrt{3}a$，
整理得：$\sqrt{3}a-\frac{1}{\sqrt{3}}a=4$，即$\frac{2a}{\sqrt{3}}=4$，解得$a=2\sqrt{3}$。
$\therefore OB=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$，
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-2,2\sqrt{3})$，
将$A(-2,2\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$得：$k=(-2)×2\sqrt{3}=-4\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形；坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题的核心是利用特殊角的三角函数值建立等量关系求出点的坐标，既考察了三角函数的应用，也考察了反比例函数的基本性质，是反比例函数综合题的常见考法。
【难度系数】
0.6

2.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=5$,$BC=3$,点$A$在$y$轴的正半轴上,点$B$,$C$在第一象限,直角边$AC$平行于$x$轴.若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过点$B$和边$AC$的中点$D$,则$k$的值为.

2. 12

【分析】
解题思路如下：第一步，先利用勾股定理计算Rt△ABC中AC的长度；第二步，结合AC平行于x轴、点A在y轴上、∠C为直角的条件，用含同一个未知数的式子表示出点B、点D的坐标；第三步，根据反比例函数图象上的点横纵坐标乘积等于k的性质，列方程求解未知数，进而计算出k的值。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
设点$A$的坐标为$(0, m)$（$m＞3$，保证B点在第一象限），
$\because AC// x$轴，$AC=4$，$\therefore$ 点$C$的坐标为$(4, m)$，
$\because ∠ C=90°$，即$BC⊥ AC$，$BC=3$，$\therefore$ 点$B$的横坐标与$C$相同，纵坐标比$C$小3，即$B(4, m-3)$，
$\because D$是$AC$的中点，$\therefore D$的坐标为$(\frac{0+4}{2}, \frac{m+m}{2})$，即$D(2, m)$，
$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过$B$、$D$两点，
$\therefore$ 代入$D$得：$k=2× m$，
代入$B$得：$k=4× (m-3)$，
联立得方程：$2m=4(m-3)$，
解得：$2m=4m-12$，$2m=12$，$m=6$，
$\therefore k=2×6=12$。
【答案】
$12$
【知识点】
勾股定理；反比例函数的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题的核心是结合直角三角形的性质和平面直角坐标系的特征表示出相关点的坐标，再利用反比例函数的性质建立方程求解，有效考查了数形结合的思想和方程思想。
【难度系数】
0.6

3.如右图，在平面直角坐标系中，直线$y=2x+2$与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$M(a,4)$。
(1)求反比例函数的解析式。

(2)若点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，点D在x轴上，连接BC，CD。当四边形ABCD是平行四边形时，求点D的坐标。

3.解:(1)
∵点$ M(a,4)$在直线$ y=2x+2$上，
∴$4=2a+2$,解得 $a=1$,$\therefore M(1,4)$.
将 $M(1,4)$代入 $y=\frac{k}{x}$中,得 $k=1×4=4$,
∴反比例函数的解析式为 $y=\frac{4}{x}(x＞0)$.
(2)对于直线 $y=2x+2$,当 $x=0$ 时,$y=2$;
当 $y=0$ 时,$x=-1$,
$\therefore B(0,2),A(-1,0)$.
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore BC// AD,AD=BC$,
∴点 $C$ 的纵坐标为 2.
∵点 $C$ 在反比例函数的图象上,
∴将 $y=2$ 代入 $y=\frac{4}{x}$中,得 $2=\frac{4}{x}$,解得 $x=2$,
$\therefore C(2,2),\therefore AD=BC=2$.
$\because A(-1,0)$,点 $D$ 在点 $A$ 的右侧,
∴点 $D$ 的坐标为 $(1,0)$.

【分析】
(1) 要确定反比例函数解析式，需先得到反比例函数上已知点的坐标。点M在一次函数图象上，将点M的纵坐标代入一次函数解析式可求出横坐标，得到M点完整坐标后，代入反比例函数即可求出k的值，确定反比例函数解析式。
(2) 先求出一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标。根据平行四边形对边平行且相等的性质，AD在x轴上，因此BC与x轴平行，可得点C的纵坐标和点B的纵坐标相同，将该纵坐标代入反比例函数解析式求出点C坐标，得到BC的长度后，结合A点坐标即可求出D点坐标。
【解析】
(1)
∵点$ M(a,4)$在直线$ y=2x+2$上，
∴$4=2a+2$，解得 $a=1$，$\therefore M(1,4)$。
将 $M(1,4)$代入 $y=\frac{k}{x}$中，得 $k=1×4=4$，
∴反比例函数的解析式为 $y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
(2) 对于直线 $y=2x+2$，当 $x=0$ 时，$y=2$；当 $y=0$ 时，$x=-1$，
$\therefore B(0,2)$，$A(-1,0)$。
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形， $\therefore BC// AD$，$AD=BC$，
∴点 $C$ 的纵坐标与B点相同，为2。
∵点 $C$ 在反比例函数的图象上，
∴将 $y=2$ 代入 $y=\frac{4}{x}$中，得 $2=\frac{4}{x}$，解得 $x=2$，
$\therefore C(2,2)$，$\therefore AD=BC=2$。
$\because A(-1,0)$，点 $D$ 在点 $A$ 的右侧且在x轴上，
∴点 $D$ 的坐标为 $(1,0)$。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{x}(x＞0)$
(2) $(1,0)$
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数解析式求解；平行四边形的性质
【点评】
本题是函数与几何结合的基础综合题，解题核心是利用点在函数图象上的坐标特征求未知点坐标，再结合平行四边形的性质计算所求点坐标，是反比例函数综合类题目的常规考法。
【难度系数】
0.7

4. 如右图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象分别与AB,BC交于点$D(4,1)$和点E,且D为AB的中点.
(1)求反比例函数的解析式和点E的坐标.
(2)若一次函数$y=x+m$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象相交于点M,当点M在反比例函数图象上D,E之间的部分时(点M可与点D,E重合),直接写出$m$的取值范围.

4.解:(1)
∵反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象经过点 $D(4,1)$,
$\therefore k=4×1=4$,
∴反比例函数的解析式为 $y=\frac{4}{x}(x＞0)$.
∵四边形 $OABC$ 是矩形,且 $D$ 为 $AB$ 的中点,
$\therefore B(4,2)$,
∴点 $E$ 的纵坐标为 2.
把 $y=2$ 代入 $y=\frac{4}{x}$,得 $2=\frac{4}{x}$,解得 $x=2$,$\therefore E(2,2)$.
(2)$-3≤ m≤0$.
【解析】(2)把 $D(4,1)$ 代入 $y=x+m$,得 $1=4+m$,解得 $m=-3$. 把 $E(2,2)$ 代入 $y=x+m$,得 $2=2+m$,解得 $m=0$,$\therefore m$ 的取值范围是 $-3≤ m≤0$.

【分析】
(1) 求反比例函数解析式可使用待定系数法，将已知点D的坐标代入反比例函数表达式即可求出k值，得到解析式；再结合矩形的性质和“D是AB中点”的条件，先求出点B的坐标，得到点E的纵坐标，再将纵坐标代入反比例函数解析式即可求出点E的横坐标，得到E点坐标。
(2) 一次函数$y=x+m$的m值决定直线的上下平移位置，当点M在D、E之间的反比例函数图象上时，直线过E点时m取最大值，过D点时m取最小值，将D、E两点分别代入一次函数表达式求出对应的m值，即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) ①求反比例函数解析式：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$D(4,1)$，
将$x=4,y=1$代入解析式得：$k=4×1=4$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
②求点E坐标：
∵四边形OABC是矩形，D为AB的中点，$D(4,1)$，
∴AB垂直于x轴，点B的横坐标与D相同为4，AB的长度为$2×1=2$，即B点纵坐标为2，故$B(4,2)$。
又
∵点E在BC边上，BC平行于x轴，
∴点E的纵坐标与B相同为2。
将$y=2$代入$y=\frac{4}{x}$得：$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$，
∴点E的坐标为$(2,2)$。
(2) 求m的取值范围：
当一次函数$y=x+m$经过点$D(4,1)$时，将$x=4,y=1$代入得：
$1=4+m$，解得$m=-3$；
当一次函数$y=x+m$经过点$E(2,2)$时，将$x=2,y=2$代入得：
$2=2+m$，解得$m=0$。
∵一次函数$y=x+m$中斜率为正，直线向上平移时m增大，向下平移时m减小，当点M在D、E之间的反比例函数图象上时，对应的m在上述两个值之间，
∴m的取值范围是$-3≤ m≤0$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}(x＞0)}$，点E的坐标为$\boldsymbol{(2,2)}$；
(2) $\boldsymbol{-3≤ m≤0}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；一次函数与反比例函数交点问题
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础综合题，解题核心是掌握“点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式”这一性质，结合矩形边与坐标轴平行的特点即可快速求出未知点坐标，再根据一次函数的平移规律求解参数范围，是该类综合题的常考基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7