1. 如图,过反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上任意两点$A,B$分别作$x$轴的垂线,垂足分别为$C,D$,连接$OA,OB$.设$AC$与$OB$的交点为$E$,$△ AOE$与梯形$ECDB$的面积分别为$S_1,S_2$,比较它们的大小,可得 ()

A.$S_1＞S_2$
B.$S_1＜S_2$
C.$S_1=S_2$
D.$S_1,S_2$的大小关系不能确定


变式题图

1.C

【分析】
要比较$S_1$和$S_2$的大小，可先利用反比例函数中k的几何意义，得到$△ OAC$和$△ OBD$的面积关系，再观察两个待求面积与这两个三角形面积的联系：$S_1$是$△ OAC$减去公共部分$△ OEC$的面积，$S_2$是$△ OBD$减去公共部分$△ OEC$的面积，若两个大三角形面积相等，减去相同的公共部分后剩余面积也相等，即可得出结论。
【解析】
设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点B的坐标为$(x_2,y_2)$，
∵A、B均在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$x_1y_1=2$，$x_2y_2=2$。
根据反比例函数k的几何意义，可得：
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}· OC· AC=\frac{1}{2}x_1y_1=\frac{1}{2}×2=1$，
$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}· OD· BD=\frac{1}{2}x_2y_2=\frac{1}{2}×2=1$，
∴$S_{△ OAC}=S_{△ OBD}$。
又
∵$S_1=S_{△ OAC}-S_{△ OEC}$，$S_2=S_{△ OBD}-S_{△ OEC}$，
∴$S_1=S_2$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；面积的和差计算
【点评】
本题属于反比例函数面积类基础题，解题关键是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，通过割补法对所求面积进行转化，无需复杂计算即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8

变式题 如图，$P,Q$是反比例函数$y=\frac{5}{x}$的图象上的两个点，分别过点$P,Q$作$x$轴、$y$轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形，其面积分别表示为$S_1,S_2,S_3$。若$S_2=2$，则$S_1+S_3$的值为（）

A.4
B.6
C.8
D.10

变式题 B 【解析】
∵点 P,Q 在反比例函数 $y=\frac{5}{x}$的图象上,且 $S_1,S_2,S_3$ 是三个相邻且不重叠的小矩形，
∴$S_1+S_2=5,S_3+S_2=5$.
∵$S_2=2$,
∴$S_1=3,S_3=3$,
∴$S_1+S_3=6$.

【分析】
解答本题需先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点分别向x轴、y轴作垂线，所得矩形的面积恒等于$|k|$。本题中反比例函数的$k=5$，因此点P、Q分别作两条垂线得到的矩形面积都为5。观察图形可知，点P对应的矩形面积为$S_1+S_2$，点Q对应的矩形面积为$S_3+S_2$，结合已知$S_2=2$，即可分别求出$S_1$、$S_3$的值，进而计算二者之和。
【解析】
∵点P、Q在反比例函数$y=\frac{5}{x}$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，过图象上的点作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积等于$|k|=5$，
∴点P作垂线围成的矩形面积为$S_1+S_2=5$，点Q作垂线围成的矩形面积为$S_3+S_2=5$，
又
∵$S_2=2$，
∴$S_1=5-2=3$，$S_3=5-2=3$，
∴$S_1+S_3=3+3=6$。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.矩形面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题核心是熟练掌握反比例函数k的几何意义，准确识别图形中矩形面积的组成关系，通过简单的和差计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7

2. 如图，A，B，C分别是双曲线$y_1=\frac{k}{x}(x＜0)$、双曲线$y_2=\frac{1}{x}(x＞0)$和x轴上的点，连接AB，BC，AC，且AB//x轴。若△ABC的面积为2，则k的值为（）

A.$-3$
B.$-2$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-\frac{3}{2}$

2.A 【解析】由 B 是双曲线 $y_2=\frac{1}{x}(x＞0)$ 上的点,可设
$B(a,\frac{1}{a})$.
∵$AB// x$ 轴,
∴$y_B=y_A=\frac{1}{a}$.
∵点 A 在双曲线 $y_1=\frac{k}{x}(x＜0)$ 上,
∴$\frac{k}{x_A}=\frac{1}{a}$,
∴$x_A=ak$,
∴$A(ak,\frac{1}{a})$,
∴$AB=x_B-x_A=a-ak$,
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· y_A=\frac{1}{2}(a-ak)·\frac{1}{a}=2$,即 $1-k=4$,解得 $k=-3$.

【分析】
解题时首先抓住AB平行于x轴的特征，可知A、B两点纵坐标相等。我们可以先设出B点坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征表示出A点坐标，进而求出AB的长度；△ABC以AB为底时，高就是AB对应的纵坐标值，代入三角形面积公式列方程即可求出k的值，注意A在第二象限x＜0，最终k为负数。
【解析】
设点B的坐标为$(a,\frac{1}{a})$（$a＞0$），
∵$AB// x$轴，
∴A、B两点纵坐标相等，即$y_A=y_B=\frac{1}{a}$，
∵点A在双曲线$y_1=\frac{k}{x}(x＜0)$上，
将$y_A=\frac{1}{a}$代入$y_1=\frac{k}{x}$，得$\frac{k}{x_A}=\frac{1}{a}$，解得$x_A=ak$，即A点坐标为$(ak,\frac{1}{a})$，
∴AB的长度为$x_B - x_A = a - ak$，
△ABC中，AB边上的高等于A、B点的纵坐标值$\frac{1}{a}$，由面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × \frac{1}{a}=\frac{1}{2}(a-ak)·\frac{1}{a}=2$，
化简得$\frac{1-k}{2}=2$，即$1-k=4$，解得$k=-3$。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.三角形面积计算
3.平行线的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题核心是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等的性质，巧妙设点表示出线段长度，结合面积公式建立方程求解，渗透了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7

3.如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO=90°，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过AC的中点D.若$S_{△ AOC}=6$，则k的值为.

3. -6 【解析】
∵$S_{△ AOC}=6$,D 是 AC 的中点,
∴$S_{△ DOC}=3$.
∵$∠ ACO=90°$,反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＜0)$ 的图象经过点 D,
∴$|k|=2S_{△ DOC}=6$.
∵函数图象在第二象限,
∴$k=-6$.

【分析】
解题时首先结合已知条件，利用三角形中点的性质，找到与反比例函数上点D相关的△DOC的面积；再回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，据此求出|k|；最后结合反比例函数图象所在的象限确定k的正负，即可得到k的值。
【解析】
解：
∵ $S_{△AOC}=6$，D是AC的中点，△DOC和△AOC同底OC，高的比为1:2，
∴ $S_{△DOC}=\frac{1}{2}S_{△AOC}=3$。
∵ $∠ACO=90°$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过点D，
根据反比例函数k的几何意义可得：$S_{△DOC}=\frac{1}{2}|k|$，
∴ $|k|=2S_{△DOC}=6$。
又
∵ 反比例函数图象在第二象限，$x＜0$时$y＞0$，
∴ $k＜0$，即$k=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义 2.三角形面积计算 3.中点的性质
【点评】
本题是反比例函数与三角形面积结合的基础常考题，解题的关键是利用中点性质求出与反比例函数相关的三角形面积，注意要根据函数图象所在象限判断k的符号，避免漏看符号导致出错。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在$□ ABCD$中,$AB// x$轴,点$B,D$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上.若$□ ABCD$的面积是20,则$k$的值是 ()

A.10
B.15
C.20
D.25

4.A

【分析】
解题时先结合平行四边形的性质，可知AB与CD平行且相等，且均平行于x轴，A、C两点在y轴上。我们可以利用反比例函数上点的坐标与k的关系，先表示出AB的长度和平行四边形的高，再结合平行四边形面积公式建立关于k的方程，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，且$AB// x$轴，
∴$AB// CD// x$轴，$AB=CD$，A、C均在y轴上。
设点B的纵坐标为$m(m＞0)$，
∵反比例函数图象在第一、三象限，因此$k＞0$，点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴点B的横坐标为$\frac{k}{m}$，即$AB=\frac{k}{m}$。
由平行四边形对边相等的性质，可得点D的纵坐标为$-m$，因此AB与CD之间的竖直距离为$m - (-m)=2m$。
平行四边形面积公式为底×高，因此：
$S_{□ ABCD}=AB× 2m=\frac{k}{m}×2m=2k$
已知$S_{□ ABCD}=20$，
∴$2k=20$，解得$k=10$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，平行四边形的性质，平行四边形面积计算
【点评】
本题将平行四边形的性质与反比例函数的特征结合考查，解题的关键是找到平行四边形的面积与反比例函数中k的等量关系，不需要复杂计算即可快速求解，是反比例函数与几何结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7

5. 如图,反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＜0)$ 的图象经过A,B两点,过点A作$AC⊥x$轴,垂足为C,过点B作$BD⊥x$轴,垂足为D,连接AO,连接BO交AC于点E.若$OC=CD$,四边形BDCE的面积为2,则k的值为 ()

A.$-\frac{18}{3}$
B.$-\frac{17}{3}$
C.$-\frac{16}{3}$
D.$-\frac{15}{3}$

5.C 【解析】设点 B 的坐标为(a,b),且 $a＜0,b＞0$,则
$DO=-a,BD=b$.
∵$AC⊥ x$ 轴,$BD⊥ x$ 轴,
∴$BD// AC$.
∵$OC=CD$,
∴$CE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}b,CD=\frac{1}{2}DO=-\frac{1}{2}a$.
∵四边形 BDCE 的面积为 2,
∴$\frac{1}{2}(BD+CE)· CD=2$,
即 $\frac{1}{2}(b+\frac{1}{2}b)·(-\frac{1}{2}a)=2$,
∴$ab=-\frac{16}{3}$.
将 $B(a,b)$ 代入反比例函数 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=ab=-\frac{16}{3}$.

【分析】
解题时可先设出反比例函数上点B的坐标，结合AC、BD均垂直于x轴可判断BD与AC平行，再由OC=CD得到CE是△BDO的中位线，据此用点B的坐标表示出CE、CD的长度；接着观察到四边形BDCE是梯形，利用梯形面积公式列方程求出ab的值，最后结合反比例函数解析式中k=xy的性质即可求出k的值。
【解析】
设点B的坐标为$(a,b)$，由题可知$a＜0,b＞0$，则$DO=-a$，$BD=b$。
$\because AC⊥ x$轴，$BD⊥ x$轴，
$\therefore BD// AC$。
又$\because OC=CD$，即C是DO的中点，
$\therefore CE$是$△ BDO$的中位线，
$\therefore CE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}b$，$CD=\frac{1}{2}DO=-\frac{1}{2}a$。
已知四边形BDCE的面积为2，且四边形BDCE是梯形，根据梯形面积公式可得：
$\frac{1}{2}(BD+CE)· CD=2$，
将$BD=b$，$CE=\frac{1}{2}b$，$CD=-\frac{1}{2}a$代入得：
$\frac{1}{2}×(b+\frac{1}{2}b)×(-\frac{1}{2}a)=2$，
化简得$\frac{3}{8}×(-ab)=2$，解得$ab=-\frac{16}{3}$。
将$B(a,b)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=ab=-\frac{16}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的意义；梯形面积计算；三角形中位线定理
【点评】
本题是反比例函数中求k值的典型题型，将几何图形的线段关系与反比例函数的性质结合，解题的关键是利用中位线性质得到各线段的表达式，结合面积公式建立方程求解，能有效考查学生的数形结合能力。
【难度系数】
0.6