8.如下图,一次函数$y=mx+n$($m,n$为常数,$m≠0$)的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$($k≠0$)的图象交于$A(-2,-2),B(a,1)$两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式.
(2)结合图形,请直接写出不等式$\frac{k}{x}-x＜0$的解集.

(3)点$P(0,b)$是$y$轴上的一点,若$△ ABP$是以$AB$为直角边的直角三角形,求$b$的值.

8.解:(1)$\because$点$A(-2,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
$\therefore k=(-2)×(-2)=4$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
$\because$点$B(a,1)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
$\therefore1=\frac{4}{a}$，$\therefore a=4$，$\therefore B(4,1)$。
把$(-2,-2),(4,1)$分别代入$y=mx+n(m≠0)$，
得$\begin{cases}-2m+n=-2,\\4m+n=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2},\\n=-1,\end{cases}$
$\therefore$一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x-1$。
(2)$-2＜x＜0$或$x＞2$。
(3)当$∠ BAP=90°$时，$AB^2+AP^2=BP^2$，
即$(4+2)^2+(1+2)^2+(-2)^2+(-2-b)^2=4^2+(1-b)^2$，
整理，得$6b=-36$，解得$b=-6$。
当$∠ ABP=90°$时，$AB^2+BP^2=AP^2$，即$(4+2)^2+(1+2)^2+(-4)^2+(b-1)^2=2^2+(b+2)^2$，
整理，得$6b=54$，解得$b=9$。
故$b$的值是$-6$或$9$。

【分析】
(1) 采用待定系数法求解解析式：反比例函数仅需1个已知点即可求出参数k，因此先将A点坐标代入反比例函数表达式求出k，得到反比例函数解析式；再将B点纵坐标代入反比例函数求出a的值，得到B点坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可求出m、n，得到一次函数解析式。
(2) 不等式$\frac{k}{x}-x＜0$可变形为$\frac{k}{x}＜x$，即反比例函数$y=\frac{4}{x}$的函数值小于正比例函数$y=x$的函数值，只需找到反比例函数图像在$y=x$图像下方时对应的x的取值范围即可，结合两个函数的交点和图像性质分析解集。
(3) △ABP以AB为直角边，说明直角顶点为A或B，分两种情况讨论：分别利用勾股定理表示出$AB^2$、$AP^2$、$BP^2$，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，求解即可得到b的值。
【解析】
(1) $\because$点$A(-2,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
$\therefore k=(-2)×(-2)=4$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
$\because$点$B(a,1)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
$\therefore1=\frac{4}{a}$，解得$a=4$，$\therefore B(4,1)$。
把$A(-2,-2)$、$B(4,1)$分别代入$y=mx+n(m≠0)$，
得$\begin{cases}-2m+n=-2\\4m+n=1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\n=-1\end{cases}$，
$\therefore$一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x-1$。
(2) 不等式$\frac{k}{x}-x＜0$即$\frac{4}{x}＜x$，联立$\begin{cases}y=\frac{4}{x}\\y=x\end{cases}$得交点为$(2,2)$、$(-2,-2)$，结合函数图像可得解集。
(3) 分两种情况讨论：
①当$∠ BAP=90°$时，由勾股定理得$AB^2+AP^2=BP^2$，
代入边长表达式得$(4+2)^2+(1+2)^2+(-2)^2+(-2-b)^2=4^2+(1-b)^2$，
整理得$6b=-36$，解得$b=-6$。
②当$∠ ABP=90°$时，由勾股定理得$AB^2+BP^2=AP^2$，
代入边长表达式得$(4+2)^2+(1+2)^2+4^2+(b-1)^2=2^2+(b+2)^2$，
整理得$6b=54$，解得$b=9$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x-1}$；
(2) $\boldsymbol{-2＜x＜0}$或$\boldsymbol{x＞2}$；
(3) $\boldsymbol{b=-6}$或$\boldsymbol{b=9}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数图像解不等式
3. 勾股定理应用
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法、数形结合思想和分类讨论思想，求解不等式时结合图像分析更直观，直角三角形未明确直角顶点时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

9.已知一次函数$y=mx+n$的图象与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象交于$A(-\dfrac{1}{m}, -2m)$，$B(m,1)$两点，则$△ OAB$的面积为（）

A.$3$
B.$\dfrac{13}{4}$
C.$\dfrac{7}{2}$
D.$\dfrac{15}{4}$

9.D 【解析】$\because$点$A(-\frac{1}{m},-2m)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，$\therefore-2m=\frac{m}{-\frac{1}{m}}$，解得$m=2$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(-\frac{1}{2},-4)$，点$B$的坐标为$(2,1)$，
$\therefore$可得直线$AB$的解析式为$y=2x-3$。
当$y=0$时，$x=\frac{3}{2}$，
$\therefore$直线$AB$与$x$轴的交点的横坐标为$\frac{3}{2}$，
$\therefore S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×(1+4)=\frac{15}{4}$。

【分析】
解题时首先利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将点A的坐标代入反比例函数表达式求出参数m的值，注意反比例函数的比例系数不能为0，排除不合题意的解，即可得到A、B两点的具体坐标；再用待定系数法求出一次函数的解析式，找到一次函数与x轴的交点，将△OAB的面积拆分为两个共底的三角形面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加即可得到结果。
【解析】
解：$\because$点$A(-\dfrac{1}{m}, -2m)$在反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象上，
$\therefore$将点A坐标代入解析式得：$-2m=\dfrac{m}{-\dfrac{1}{m}}$，
化简得：$-2m=-m^2$，整理得$m^2-2m=0$，即$m(m-2)=0$，
$\because$反比例函数比例系数$m≠0$，
$\therefore m=2$。
将$m=2$代入两点坐标得：
$A(-\dfrac{1}{2}, -4)$，$B(2, 1)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将A、B两点坐标代入得：
$\begin{cases}-\dfrac{1}{2}k + b = -4 \\2k + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2 \\b=-3 \end{cases}$，即直线AB解析式为$y=2x-3$。
令$y=0$，解得$x=\dfrac{3}{2}$，即直线AB与x轴交点为$C(\dfrac{3}{2}, 0)$，$OC=\dfrac{3}{2}$。
则$S_{△ OAB}=S_{△ OAC}+S_{△ OBC}=\dfrac{1}{2}× OC× |y_A|+\dfrac{1}{2}× OC× |y_B|$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×4+\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×1=\dfrac{15}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.待定系数法求解析式
3.坐标系图形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与一次函数的综合题，考查了函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及割补法求图形面积，解题的关键是先求出参数m的取值，再灵活运用割补法转化不规则三角形的面积，能有效考查函数综合应用能力。
【难度系数】
0.6

10. 如下图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点C。已知点A的坐标为$(-2,0)$，点C的坐标为$(1,6)$，点D在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，纵坐标为2。
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标。
(2)连接BD，OD，请直接写出四边形AB-DO的面积。

10.解:(1)$\because$点$C$的坐标为$(1,6)$，且点$C$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore k=1×6=6$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
设直线$AC$的解析式为$y=k'x+b$。
$\because$点$C$的坐标为$(1,6)$，点$A$的坐标为$(-2,0)$，
$\therefore\begin{cases}k'+b=6,\\-2k'+b=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k'=2,\\b=4,\end{cases}$
$\therefore$直线$AC$的解析式为$y=2x+4$。
当$x=0$时，$y=4$，$\therefore$点$B$的坐标为$(0,4)$。
(2)四边形$ABDO$的面积为$10$。
【解析】(2)$\because$点$D$在函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，且纵坐标为2，
$\therefore x=3$，$\therefore$点$D$的坐标为$(3,2)$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABDO}=S_{△ OBD}+S_{△ ABO}$
$=\frac{1}{2}· x_D· OB+\frac{1}{2}· OA· OB$
$=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×2×4=10$。

【分析】
(1)求反比例函数解析式时，已知反比例函数图象过点C，将C点坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可求出k值，得到反比例函数解析式；点B是直线AB与y轴的交点，因此先利用A、C两点坐标，通过待定系数法求出直线AB的一次函数解析式，再令x=0计算对应的y值，即可得到点B的坐标。
(2)求四边形ABDO的面积时，先根据D点在反比例函数上且纵坐标为2，代入反比例函数解析式求出D点横坐标，得到D点坐标；再将不规则的四边形ABDO拆分为△ABO和△OBD两个规则三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到四边形的面积。
【解析】
(1) $\because$点$C(1,6)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore$将$C(1,6)$代入解析式得：$k=1×6=6$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
设直线AB的解析式为$y=k'x+b$，
将$A(-2,0)$、$C(1,6)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}k'+b=6\\-2k'+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k'=2\\b=4\end{cases}$，
$\therefore$直线AB的解析式为$y=2x+4$。
点B是直线AB与y轴的交点，令$x=0$，得$y=2×0+4=4$，
$\therefore$点B的坐标为$(0,4)$。
(2) $\because$点D在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，且纵坐标为2，
$\therefore$令$y=2$，代入得$2=\frac{6}{x}$，解得$x=3$，即D点坐标为$(3,2)$。
四边形ABDO的面积可拆分为△ABO和△OBD的面积之和：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×2×4=4$，
$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}×OB×x_D=\frac{1}{2}×4×3=6$，
$\therefore S_{四边形ABDO}=4+6=10$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}(x＞0)}$，点B的坐标为$\boldsymbol{(0,4)}$；
(2) 四边形ABDO的面积为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考察待定系数法的运用以及不规则图形面积的割补求解方法，熟练掌握函数解析式的求解步骤和面积割补技巧即可顺利解题。
【难度系数】
0.7