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1.已知$a＜0＜b$，则关于$x$的函数$y=ax-3$和$y=\dfrac{b}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象大致为 （
D
）答案
1.D
解析
【分析】
解决这类同一坐标系中多个函数图像判断的问题，思路是分别根据已知参数的正负，推导每个函数的图像特征，再逐一比对选项，用排除法选出正确答案。第一步先分析反比例函数的图像，再分析一次函数的图像，逐个排除不符合特征的选项即可。
【解析】
1. 分析反比例函数$y=\dfrac{b}{x}$的图像：
已知$b＞0$，根据反比例函数性质，当$k＞0$时，图像位于第一、三象限，因此B、C选项中反比例函数位于第二、四象限，不符合要求，排除B、C。
2. 分析一次函数$y=ax-3$的图像：
已知$a＜0$，因此一次函数的斜率为负，图像从左到右呈下降趋势；又因为常数项为$-3$，当$x=0$时，$y=-3$，即函数与y轴交于点$(0,-3)$，交点在y轴负半轴。
A选项中一次函数从左到右上升（斜率为正，对应$a＞0$），且与y轴交于正半轴，不符合要求，排除A；D选项的一次函数下降、交y轴负半轴，反比例函数位于第一、三象限，完全符合条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象性质
2. 一次函数的图象性质
【点评】
本题是函数图像判断的典型题型，解题核心是根据参数正负分别确定两个函数的图像特征，结合排除法快速筛选答案，能有效考查对函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解决这类同一坐标系中多个函数图像判断的问题，思路是分别根据已知参数的正负，推导每个函数的图像特征，再逐一比对选项，用排除法选出正确答案。第一步先分析反比例函数的图像，再分析一次函数的图像，逐个排除不符合特征的选项即可。
【解析】
1. 分析反比例函数$y=\dfrac{b}{x}$的图像：
已知$b＞0$，根据反比例函数性质，当$k＞0$时，图像位于第一、三象限，因此B、C选项中反比例函数位于第二、四象限，不符合要求，排除B、C。
2. 分析一次函数$y=ax-3$的图像：
已知$a＜0$，因此一次函数的斜率为负，图像从左到右呈下降趋势；又因为常数项为$-3$，当$x=0$时，$y=-3$，即函数与y轴交于点$(0,-3)$，交点在y轴负半轴。
A选项中一次函数从左到右上升（斜率为正，对应$a＞0$），且与y轴交于正半轴，不符合要求，排除A；D选项的一次函数下降、交y轴负半轴，反比例函数位于第一、三象限，完全符合条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象性质
2. 一次函数的图象性质
【点评】
本题是函数图像判断的典型题型，解题核心是根据参数正负分别确定两个函数的图像特征，结合排除法快速筛选答案，能有效考查对函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
2. 关于$x$的一次函数$y=ax+b$与反比例函数$y=\dfrac{ab}{x}$（$a$，$b$为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系内的图象可能是 （
D
）答案
2.D
解析
【分析】
本题可采用排除法求解，解题思路是：先根据一次函数的图象特征判断系数a、b的正负，再计算ab的符号，验证反比例函数的图象所在象限是否与ab的符号匹配（ab＞0时反比例函数图象在第一、三象限，ab＜0时在第二、四象限），逐一排除不匹配的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据函数图象性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：一次函数图象上升，得$a＞0$；与y轴交于正半轴，得$b＞0$，因此$ab＞0$，反比例函数图象应在第一、三象限，但选项A中反比例函数在第二、四象限，矛盾，排除A。
2. 分析选项B：一次函数图象下降，得$a＜0$；与y轴交于正半轴，得$b＞0$，因此$ab＜0$，反比例函数图象应在第二、四象限，但选项B中反比例函数在第一、三象限，矛盾，排除B。
3. 分析选项C：一次函数图象上升，得$a＞0$；与y轴交于负半轴，得$b＜0$，因此$ab＜0$，反比例函数图象应在第二、四象限，但选项C中反比例函数在第一、三象限，矛盾，排除C。
4. 分析选项D：一次函数图象下降，得$a＜0$；与y轴交于正半轴，得$b＞0$，因此$ab＜0$，反比例函数图象在第二、四象限，二者匹配，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，函数图象综合判断
【点评】
本题是反比例函数与一次函数图象的经典综合题，解题的核心是抓住两类函数的图象与系数符号的对应关系，用排除法可以快速得出结论，解题时需注意不要混淆系数符号和图象特征的对应关系。
【难度系数】
0.7
本题可采用排除法求解，解题思路是：先根据一次函数的图象特征判断系数a、b的正负，再计算ab的符号，验证反比例函数的图象所在象限是否与ab的符号匹配（ab＞0时反比例函数图象在第一、三象限，ab＜0时在第二、四象限），逐一排除不匹配的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据函数图象性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：一次函数图象上升，得$a＞0$；与y轴交于正半轴，得$b＞0$，因此$ab＞0$，反比例函数图象应在第一、三象限，但选项A中反比例函数在第二、四象限，矛盾，排除A。
2. 分析选项B：一次函数图象下降，得$a＜0$；与y轴交于正半轴，得$b＞0$，因此$ab＜0$，反比例函数图象应在第二、四象限，但选项B中反比例函数在第一、三象限，矛盾，排除B。
3. 分析选项C：一次函数图象上升，得$a＞0$；与y轴交于负半轴，得$b＜0$，因此$ab＜0$，反比例函数图象应在第二、四象限，但选项C中反比例函数在第一、三象限，矛盾，排除C。
4. 分析选项D：一次函数图象下降，得$a＜0$；与y轴交于正半轴，得$b＞0$，因此$ab＜0$，反比例函数图象在第二、四象限，二者匹配，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，函数图象综合判断
【点评】
本题是反比例函数与一次函数图象的经典综合题，解题的核心是抓住两类函数的图象与系数符号的对应关系，用排除法可以快速得出结论，解题时需注意不要混淆系数符号和图象特征的对应关系。
【难度系数】
0.7
3. 一题多解法 函数$y=-ax+a$与$y=\frac{a}{x}(a≠0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
D
）答案
3.D 【解析】当$a＞0$时，$-a＜0$，$y=-ax+a$的图象经过第一、第二、第四象限，$y=\frac{a}{x}$的图象位于第一、第三象限，无选项符合题意；当$a＜0$时，$-a＞0$，$y=-ax+a$的图象经过第一、第三、第四象限，$y=\frac{a}{x}$的图象位于第二、第四象限，只有D选项符合题意。
一题多解法
由$y=-ax+a=-a(x-1)$，可知一次函数的图象一定经过点$(1,0)$，故排除A,C选项；B,D选项中反比例函数的图象在第二、第四象限，则$a＜0$，此时一次函数图象应经过第一、第三、第四象限，故排除B选项。
一题多解法
由$y=-ax+a=-a(x-1)$，可知一次函数的图象一定经过点$(1,0)$，故排除A,C选项；B,D选项中反比例函数的图象在第二、第四象限，则$a＜0$，此时一次函数图象应经过第一、第三、第四象限，故排除B选项。
解析
【分析】
这是同一坐标系中一次函数与反比例函数图象共存的判断问题，可通过两种思路解题：思路一：分类讨论参数a的正负，分别根据一次函数、反比例函数的图象与系数的关系，判断两个函数图象对应的特征，和选项对比匹配；思路二：先推导一次函数经过的定点，排除不符合定点特征的选项，再结合反比例函数图象的象限确定a的符号，反过来验证一次函数图象是否符合，快速选出正确选项。
【解析】
方法1：分类讨论法
①当$a＞0$时，$-a＜0$，一次函数$y=-ax+a$斜率为负，与y轴交于正半轴，图象经过第一、二、四象限；反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象位于第一、第三象限，四个选项均不符合该特征。
②当$a＜0$时，$-a＞0$，一次函数$y=-ax+a$斜率为正，与y轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限；反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象位于第二、第四象限，仅D选项符合该特征。
方法2：定点排除法
将一次函数解析式变形为$y=-a(x-1)$，当$x=1$时，$y=0$，因此一次函数图象恒过定点$(1,0)$：
A、C选项中一次函数与x轴交点在x轴负半轴，不符合过$(1,0)$的特征，直接排除；
剩余B、D选项中反比例函数图象均在第二、第四象限，说明$a＜0$，此时一次函数斜率$-a＞0$，截距$a＜0$，图象应经过第一、三、四象限，B选项一次函数经过第一、二、四象限不符合，排除B。
综上只有D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，反比例函数图象性质，函数图象共存判断
【点评】
本题是反比例函数与一次函数综合的典型题型，既可以通过分类讨论参数取值逐一验证，也可以利用一次函数过定点的特征快速缩小选择范围，考查对函数图象与系数对应关系的掌握，灵活选择方法可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
这是同一坐标系中一次函数与反比例函数图象共存的判断问题，可通过两种思路解题：思路一：分类讨论参数a的正负，分别根据一次函数、反比例函数的图象与系数的关系，判断两个函数图象对应的特征，和选项对比匹配；思路二：先推导一次函数经过的定点，排除不符合定点特征的选项，再结合反比例函数图象的象限确定a的符号，反过来验证一次函数图象是否符合，快速选出正确选项。
【解析】
方法1：分类讨论法
①当$a＞0$时，$-a＜0$，一次函数$y=-ax+a$斜率为负，与y轴交于正半轴，图象经过第一、二、四象限；反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象位于第一、第三象限，四个选项均不符合该特征。
②当$a＜0$时，$-a＞0$，一次函数$y=-ax+a$斜率为正，与y轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限；反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象位于第二、第四象限，仅D选项符合该特征。
方法2：定点排除法
将一次函数解析式变形为$y=-a(x-1)$，当$x=1$时，$y=0$，因此一次函数图象恒过定点$(1,0)$：
A、C选项中一次函数与x轴交点在x轴负半轴，不符合过$(1,0)$的特征，直接排除；
剩余B、D选项中反比例函数图象均在第二、第四象限，说明$a＜0$，此时一次函数斜率$-a＞0$，截距$a＜0$，图象应经过第一、三、四象限，B选项一次函数经过第一、二、四象限不符合，排除B。
综上只有D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，反比例函数图象性质，函数图象共存判断
【点评】
本题是反比例函数与一次函数综合的典型题型，既可以通过分类讨论参数取值逐一验证，也可以利用一次函数过定点的特征快速缩小选择范围，考查对函数图象与系数对应关系的掌握，灵活选择方法可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
4.如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与过点$(-1,0)$的直线AB相交于A，B两点.已知点A的坐标为$(1,3)$，C为x轴上任意一点.若$S_{△ ABC}=9$，则点C的坐标为 （
A.$(-3,0)$
B.$(5,0)$
C.$(-3,0)$或$(5,0)$
D.$(3,0)$或$(-5,0)$
D
）A.$(-3,0)$
B.$(5,0)$
C.$(-3,0)$或$(5,0)$
D.$(3,0)$或$(-5,0)$
答案
4.D 【解析】$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象过点$A(1,3)$，$\therefore k=1×3=3$，$\therefore y=\frac{3}{x}$。
设直线$AB$的解析式为$y=mx+n$。
将$(1,3),(-1,0)$代入$y=mx+n$，
得$\begin{cases}3=m+n,\\0=-m+n,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=\frac{3}{2},\\n=\frac{3}{2},\end{cases}$
$\therefore$直线$AB$的解析式为$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$。
联立方程组$\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2},\\y=\frac{3}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=1,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2,\\y=-\frac{3}{2},\end{cases}$
$\therefore B(-2,-\frac{3}{2})$。
设$C(c,0)$，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}·|c+1|×[3-(-\frac{3}{2})]=9$，
解得$c=3$或$c=-5$。
故点$C$的坐标为$(3,0)$或$(-5,0)$。
设直线$AB$的解析式为$y=mx+n$。
将$(1,3),(-1,0)$代入$y=mx+n$，
得$\begin{cases}3=m+n,\\0=-m+n,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=\frac{3}{2},\\n=\frac{3}{2},\end{cases}$
$\therefore$直线$AB$的解析式为$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$。
联立方程组$\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2},\\y=\frac{3}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=1,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2,\\y=-\frac{3}{2},\end{cases}$
$\therefore B(-2,-\frac{3}{2})$。
设$C(c,0)$，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}·|c+1|×[3-(-\frac{3}{2})]=9$，
解得$c=3$或$c=-5$。
故点$C$的坐标为$(3,0)$或$(-5,0)$。
解析
【分析】
解题时首先利用点A的坐标求出反比例函数解析式，再结合直线AB经过的两个已知点$(-1,0)$和$A(1,3)$，用待定系数法求出直线AB的解析式，联立两个函数解析式求出点B的坐标；因为点C在x轴上，可设C的坐标为$(c,0)$，将x轴上直线AB与x轴交点到C的线段长度$|c+1|$作为三角形的底，A、B两点纵坐标差的绝对值作为三角形的高，结合面积为9列绝对值方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
1. 求反比例函数解析式
$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象过点$A(1,3)$，
$\therefore k=1×3=3$，即反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
2. 求直线AB的解析式
设直线$AB$的解析式为$y=mx+n$，将$A(1,3)$、$(-1,0)$代入解析式得：
$\begin{cases}3=m+n\\0=-m+n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{3}{2}\\n=\frac{3}{2}\end{cases}$，
$\therefore$直线AB的解析式为$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$。
3. 求点B的坐标
联立两个函数解析式得：
$\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2\\y=-\frac{3}{2}\end{cases}$，
$\therefore$点B坐标为$(-2,-\frac{3}{2})$。
4. 求点C的坐标
设点C坐标为$(c,0)$，直线AB与x轴交于$(-1,0)$，$△ ABC$的底为$|c+1|$，高为A、B纵坐标差的绝对值，即$3-(-\frac{3}{2})=\frac{9}{2}$。
由$S_{△ ABC}=9$得：
$\frac{1}{2}×|c+1|×\frac{9}{2}=9$，
化简得$|c+1|=4$，
解得$c=3$或$c=-5$，
即点C坐标为$(3,0)$或$(-5,0)$。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点问题，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是函数综合类常考题，考查了一次函数、反比例函数解析式的求解，以及坐标系内图形面积的计算，解题时要注意绝对值方程存在两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用点A的坐标求出反比例函数解析式，再结合直线AB经过的两个已知点$(-1,0)$和$A(1,3)$，用待定系数法求出直线AB的解析式，联立两个函数解析式求出点B的坐标；因为点C在x轴上，可设C的坐标为$(c,0)$，将x轴上直线AB与x轴交点到C的线段长度$|c+1|$作为三角形的底，A、B两点纵坐标差的绝对值作为三角形的高，结合面积为9列绝对值方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
1. 求反比例函数解析式
$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象过点$A(1,3)$，
$\therefore k=1×3=3$，即反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
2. 求直线AB的解析式
设直线$AB$的解析式为$y=mx+n$，将$A(1,3)$、$(-1,0)$代入解析式得：
$\begin{cases}3=m+n\\0=-m+n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{3}{2}\\n=\frac{3}{2}\end{cases}$，
$\therefore$直线AB的解析式为$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$。
3. 求点B的坐标
联立两个函数解析式得：
$\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2\\y=-\frac{3}{2}\end{cases}$，
$\therefore$点B坐标为$(-2,-\frac{3}{2})$。
4. 求点C的坐标
设点C坐标为$(c,0)$，直线AB与x轴交于$(-1,0)$，$△ ABC$的底为$|c+1|$，高为A、B纵坐标差的绝对值，即$3-(-\frac{3}{2})=\frac{9}{2}$。
由$S_{△ ABC}=9$得：
$\frac{1}{2}×|c+1|×\frac{9}{2}=9$，
化简得$|c+1|=4$，
解得$c=3$或$c=-5$，
即点C坐标为$(3,0)$或$(-5,0)$。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点问题，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是函数综合类常考题，考查了一次函数、反比例函数解析式的求解，以及坐标系内图形面积的计算，解题时要注意绝对值方程存在两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5.已知直线$y=8-x$与反比例函数$y=\dfrac{12}{x}(x＞0)$的图象交于$A,B$两点.设点$A$的坐标为$(m,n)$,则长、宽分别为$m,n$的矩形的对角线长为
$2\sqrt{10}$
.答案
5.$2\sqrt{10}$
解析
【分析】
要求长宽为m,n的矩形对角线长，根据勾股定理可知对角线长为$\sqrt{m^2+n^2}$，因此只需求出$m^2+n^2$的值即可。首先，点$A(m,n)$是一次函数与反比例函数的交点，坐标同时满足两个函数解析式，可从中推导出$m+n$与$mn$的值，再利用完全平方公式将$m^2+n^2$变形为$(m+n)^2-2mn$，整体代入计算即可，无需单独求解$m$、$n$的具体值。
【解析】
∵ 点$A(m,n)$是直线$y=8-x$与反比例函数$y=\dfrac{12}{x}$的交点，
∴ 将点$A$坐标代入一次函数解析式得：$n=8-m$，整理得$m+n=8$；
将点$A$坐标代入反比例函数解析式得：$n=\dfrac{12}{m}$，整理得$mn=12$。
根据勾股定理，长、宽分别为$m,n$的矩形对角线长为$\sqrt{m^2+n^2}$，
由完全平方公式变形可得：$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，
代入$m+n=8$，$mn=12$得：
$m^2+n^2=8^2 - 2×12=64-24=40$，
∴ 对角线长为$\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，勾股定理
【点评】
本题综合考查一次函数、反比例函数的性质与代数式变形的应用，解题时运用整体代入的思想可简化计算，避免求解$m$、$n$的具体值，体现了整体思想在代数运算中的便利性。
【难度系数】
0.7
要求长宽为m,n的矩形对角线长，根据勾股定理可知对角线长为$\sqrt{m^2+n^2}$，因此只需求出$m^2+n^2$的值即可。首先，点$A(m,n)$是一次函数与反比例函数的交点，坐标同时满足两个函数解析式，可从中推导出$m+n$与$mn$的值，再利用完全平方公式将$m^2+n^2$变形为$(m+n)^2-2mn$，整体代入计算即可，无需单独求解$m$、$n$的具体值。
【解析】
∵ 点$A(m,n)$是直线$y=8-x$与反比例函数$y=\dfrac{12}{x}$的交点，
∴ 将点$A$坐标代入一次函数解析式得：$n=8-m$，整理得$m+n=8$；
将点$A$坐标代入反比例函数解析式得：$n=\dfrac{12}{m}$，整理得$mn=12$。
根据勾股定理，长、宽分别为$m,n$的矩形对角线长为$\sqrt{m^2+n^2}$，
由完全平方公式变形可得：$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，
代入$m+n=8$，$mn=12$得：
$m^2+n^2=8^2 - 2×12=64-24=40$，
∴ 对角线长为$\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，勾股定理
【点评】
本题综合考查一次函数、反比例函数的性质与代数式变形的应用，解题时运用整体代入的思想可简化计算，避免求解$m$、$n$的具体值，体现了整体思想在代数运算中的便利性。
【难度系数】
0.7
6.如图,过点$C(2,1)$作$AC// x$轴,$BC// y$轴,点$A,B$都在直线$y=-x+6$上.若双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$与$△ ABC$总有公共点,则$k$的取值范围是
$2≤ k≤9$
.答案
6.$2≤ k≤9$ 【解析】当双曲线过点$C$时，把$C(2,1)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$k=2×1=2$。$\because$双曲线与$△ ABC$要有公共点，$\therefore k≥2$。
联立$y=-x+6$与$y=\frac{k}{x}$，得$-x+6=\frac{k}{x}$。整理，得$x^2-6x+k=0$，得$\Delta=(-6)^2-4k=36-4k$。
当双曲线和直线只有一个交点时，$36-4k=0$，解得$k=9$，此时交点坐标为$(3,3)$，在线段$AB$上；
当双曲线和直线有两个交点时，$36-4k＞0$，解得$k＜9$，$\therefore k≤9$。
故$k$的取值范围是$2≤ k≤9$。
联立$y=-x+6$与$y=\frac{k}{x}$，得$-x+6=\frac{k}{x}$。整理，得$x^2-6x+k=0$，得$\Delta=(-6)^2-4k=36-4k$。
当双曲线和直线只有一个交点时，$36-4k=0$，解得$k=9$，此时交点坐标为$(3,3)$，在线段$AB$上；
当双曲线和直线有两个交点时，$36-4k＞0$，解得$k＜9$，$\therefore k≤9$。
故$k$的取值范围是$2≤ k≤9$。
解析
【分析】
要确定k的取值范围，需找到k的两个临界值：
1. 先明确$△ ABC$的位置：已知$C(2,1)$，$AC// x$轴、$BC// y$轴，A、B在直线$y=-x+6$上，可推得$A(5,1)$、$B(2,4)$，$△ ABC$为直角边平行于坐标轴的直角三角形。
2. 找k的最小值：反比例函数中$k=xy$，$△ ABC$内C点的$xy$乘积最小，当双曲线刚好过C点时，k取最小值，代入C点坐标即可计算。
3. 找k的最大值：k越大，双曲线离原点越远，最远临界状态为双曲线与线段AB相切，此时联立两个函数解析式得到的一元二次方程有唯一解，用判别式$\Delta=0$计算k，再验证切点是否在线段AB上，确认该k为最大值。
最后结合两个临界值得到k的完整范围。
【解析】
1. 求k的最小值：
当双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$过点$C(2,1)$时，将$C(2,1)$代入解析式得$k=2×1=2$，若双曲线与$△ ABC$有公共点，则$k≥2$。
2. 求k的最大值：
联立直线$y=-x+6$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$，可得：
$-x+6=\frac{k}{x}$
整理为一元二次方程：$x^2-6x+k=0$
当双曲线与直线相切（只有一个交点）时，判别式$\Delta=0$，即：
$\Delta=(-6)^2-4k=36-4k=0$
解得$k=9$，此时方程的解为$x=3$，代入直线得$y=3$，即切点为$(3,3)$，该点横坐标在2~5之间、纵坐标在1~4之间，在线段AB上。
若$k＞9$，则$\Delta＜0$，双曲线与直线AB无交点，也不会与$△ ABC$有交点，故$k≤9$。
综上，k的取值范围为$2≤ k≤9$。
【答案】
$2≤ k≤9$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 一次函数的性质
3. 函数交点与判别式应用
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，解题核心是运用数形结合思想找到k的临界值，既要考虑反比例函数经过三角形顶点的情况，也要注意双曲线与线段相切的临界状态，同时需验证切点是否落在线段上，避免得到错误的取值范围，对计算能力和数形结合思想有一定要求。
【难度系数】
0.6
要确定k的取值范围，需找到k的两个临界值：
1. 先明确$△ ABC$的位置：已知$C(2,1)$，$AC// x$轴、$BC// y$轴，A、B在直线$y=-x+6$上，可推得$A(5,1)$、$B(2,4)$，$△ ABC$为直角边平行于坐标轴的直角三角形。
2. 找k的最小值：反比例函数中$k=xy$，$△ ABC$内C点的$xy$乘积最小，当双曲线刚好过C点时，k取最小值，代入C点坐标即可计算。
3. 找k的最大值：k越大，双曲线离原点越远，最远临界状态为双曲线与线段AB相切，此时联立两个函数解析式得到的一元二次方程有唯一解，用判别式$\Delta=0$计算k，再验证切点是否在线段AB上，确认该k为最大值。
最后结合两个临界值得到k的完整范围。
【解析】
1. 求k的最小值：
当双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$过点$C(2,1)$时，将$C(2,1)$代入解析式得$k=2×1=2$，若双曲线与$△ ABC$有公共点，则$k≥2$。
2. 求k的最大值：
联立直线$y=-x+6$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$，可得：
$-x+6=\frac{k}{x}$
整理为一元二次方程：$x^2-6x+k=0$
当双曲线与直线相切（只有一个交点）时，判别式$\Delta=0$，即：
$\Delta=(-6)^2-4k=36-4k=0$
解得$k=9$，此时方程的解为$x=3$，代入直线得$y=3$，即切点为$(3,3)$，该点横坐标在2~5之间、纵坐标在1~4之间，在线段AB上。
若$k＞9$，则$\Delta＜0$，双曲线与直线AB无交点，也不会与$△ ABC$有交点，故$k≤9$。
综上，k的取值范围为$2≤ k≤9$。
【答案】
$2≤ k≤9$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 一次函数的性质
3. 函数交点与判别式应用
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，解题核心是运用数形结合思想找到k的临界值，既要考虑反比例函数经过三角形顶点的情况，也要注意双曲线与线段相切的临界状态，同时需验证切点是否落在线段上，避免得到错误的取值范围，对计算能力和数形结合思想有一定要求。
【难度系数】
0.6
7.如图,若函数 $y=kx+b(k≠0)$ 与 $y=\frac{m}{x}(m≠0)$ 的图象交于 $A(-2,3),B(6,-1)$ 两点,则不等式 $kx+b＞\frac{m}{x}$ 的解集为
(
A.$x＜-2$
B.$-2＜x＜0$ 或 $x＞6$
C.$x＜6$
D.$x＜-2$ 或 $0＜x＜6$
变式题 如图,反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 与一次函数 $y=x+m$ 的图象交于点 $C(a,1)$ 和点 $D(b,4)$.一次函数 $y=x+m$ 的图象分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于点 $A(-5,0)$ 和 $B$.当 $x＜0$ 时,不等式 $\frac{k}{x}≤x+m$ 的解集为
(
D
)A.$x＜-2$
B.$-2＜x＜0$ 或 $x＞6$
C.$x＜6$
D.$x＜-2$ 或 $0＜x＜6$
变式题 如图,反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 与一次函数 $y=x+m$ 的图象交于点 $C(a,1)$ 和点 $D(b,4)$.一次函数 $y=x+m$ 的图象分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于点 $A(-5,0)$ 和 $B$.当 $x＜0$ 时,不等式 $\frac{k}{x}≤x+m$ 的解集为
$-4≤ x≤-1$
.答案
7.D 变式题 $-4≤ x≤-1$
解析
【分析】
要解决这类一次函数与反比例函数结合的不等式问题，核心是利用函数图象的上下位置关系对应不等式的解集：函数值大的图象在上方，只需找到对应区间内满足上方图象对应不等式左边函数的x取值即可，注意反比例函数图象分布在两个象限，需分x＞0和x＜0两类分别讨论。
对于第7题：已知两个函数交点A(-2,3)（第二象限）、B(6,-1)（第四象限），分别判断x＜0和x＞0区间内，一次函数在反比例函数上方的x范围即可。
对于变式题：先利用一次函数过已知点A求出一次函数解析式，再代入C、D点坐标求出两个交点的横坐标，最后在x＜0的范围内，找反比例函数值不大于一次函数值对应的x区间即可。
【解析】
第7题解析：
不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的几何意义是：一次函数$y=kx+b$的图象位于反比例函数$y=\frac{m}{x}$图象上方时对应的$x$的取值。
1. 当$x＜0$时：两函数交点为$A(-2,3)$，观察图象可得，当$x＜-2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
2. 当$x＞0$时：两函数交点为$B(6,-1)$，观察图象可得，当$0＜x＜6$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式。
综上，不等式解集为$x＜-2$或$0＜x＜6$，故选D。
变式题解析：
1. 求一次函数解析式：已知一次函数$y=x+m$过点$A(-5,0)$，代入得$0=-5+m$，解得$m=5$，即一次函数为$y=x+5$。
2. 求交点C、D的横坐标：
点$C(a,1)$在$y=x+5$上，代入得$1=a+5$，解得$a=-4$，即$C(-4,1)$；
点$D(b,4)$在$y=x+5$上，代入得$4=b+5$，解得$b=-1$，即$D(-1,4)$。
3. 不等式$\frac{k}{x}≤x+m$（$x＜0$）的几何意义是：$x＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于一次函数$y=x+5$图象下方或与一次函数重合时的$x$取值，两个交点横坐标为$-4$和$-1$，因此满足条件的$x$范围为$-4≤x≤-1$。
【答案】
7.D 变式题$-4≤x≤-1$
【知识点】
函数图象与不等式的关系，一次函数与反比例函数综合，函数交点的应用
【点评】
本题解题的核心是掌握“图象法解不等式”的思路，将不等式关系转化为函数图象的上下位置关系，解题时注意反比例函数图象不连续，要分象限讨论取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这类一次函数与反比例函数结合的不等式问题，核心是利用函数图象的上下位置关系对应不等式的解集：函数值大的图象在上方，只需找到对应区间内满足上方图象对应不等式左边函数的x取值即可，注意反比例函数图象分布在两个象限，需分x＞0和x＜0两类分别讨论。
对于第7题：已知两个函数交点A(-2,3)（第二象限）、B(6,-1)（第四象限），分别判断x＜0和x＞0区间内，一次函数在反比例函数上方的x范围即可。
对于变式题：先利用一次函数过已知点A求出一次函数解析式，再代入C、D点坐标求出两个交点的横坐标，最后在x＜0的范围内，找反比例函数值不大于一次函数值对应的x区间即可。
【解析】
第7题解析：
不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的几何意义是：一次函数$y=kx+b$的图象位于反比例函数$y=\frac{m}{x}$图象上方时对应的$x$的取值。
1. 当$x＜0$时：两函数交点为$A(-2,3)$，观察图象可得，当$x＜-2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
2. 当$x＞0$时：两函数交点为$B(6,-1)$，观察图象可得，当$0＜x＜6$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式。
综上，不等式解集为$x＜-2$或$0＜x＜6$，故选D。
变式题解析：
1. 求一次函数解析式：已知一次函数$y=x+m$过点$A(-5,0)$，代入得$0=-5+m$，解得$m=5$，即一次函数为$y=x+5$。
2. 求交点C、D的横坐标：
点$C(a,1)$在$y=x+5$上，代入得$1=a+5$，解得$a=-4$，即$C(-4,1)$；
点$D(b,4)$在$y=x+5$上，代入得$4=b+5$，解得$b=-1$，即$D(-1,4)$。
3. 不等式$\frac{k}{x}≤x+m$（$x＜0$）的几何意义是：$x＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于一次函数$y=x+5$图象下方或与一次函数重合时的$x$取值，两个交点横坐标为$-4$和$-1$，因此满足条件的$x$范围为$-4≤x≤-1$。
【答案】
7.D 变式题$-4≤x≤-1$
【知识点】
函数图象与不等式的关系，一次函数与反比例函数综合，函数交点的应用
【点评】
本题解题的核心是掌握“图象法解不等式”的思路，将不等式关系转化为函数图象的上下位置关系，解题时注意反比例函数图象不连续，要分象限讨论取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.7
