三、解答题
9（1）如图①，在$7×6$的网格中，$△ ABC$的顶点均在格点上.借助网格特征，只利用直尺画出直线$l$，使得直线$l$垂直平分$AB$.
（2）[2025陕西改编]如图②，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$.求作点$P$，使点$P$在$△ ABC$内部，且$PB=PC$，$∠ PBC=45°$（不写作法，保留作图痕迹）.

9. （1）如图①，直线$l$即为所求 （2）如图②，点$P$即为所求

10 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C$，点$P$，$Q$，$R$分别在边$AB$，$BC$，$AC$上，且$PB = QC$，$QB = RC$。求证：点$Q$在$PR$的垂直平分线上。

10. 在$△ BPQ$ 和$△ CQR$ 中，$\begin{cases} PB=QC,\\ ∠B=∠C,\\ QB=RC,\end{cases}$ $\therefore △ BPQ≌ △ CQR$(SAS),$\therefore QP=RQ,\therefore$ 点 $Q$ 在 $PR$ 的垂直平分线上

11 如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，EF与AB的延长线交于点F，EF//BC。设点O在AD上，且AO＝CO。求证：O是△ABC三边的垂直平分线的交点。

11. 如图，连接 $BO$. $\because AE⊥EF,\therefore ∠E=90^{\circ }. \because EF// BC$，$\therefore ∠ADB=∠E=90^{\circ },\therefore AD⊥BC. \because D$ 是 $BC$ 的中点，$\therefore AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线，即点 $O$ 在 $BC$ 的垂直平分线上，$\therefore BO=CO. \because AO=CO,\therefore$ 点 $O$ 在 $AC$ 的垂直平分线上，$BO=AO,\therefore$ 点 $O$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，$\therefore O$ 是$△ ABC$ 三边的垂直平分线的交点

12 如图，过$△ ABC$的边AC的垂直平分线MN上的点M，作$△ ABC$的另外两边AB，BC所在直线的垂线，垂足分别为D，E，$AD=CE$，作射线BM。求证：BM平分$∠ ABC$。

12. 连接 $MA,MC. \because$ 点 $M$ 在 $AC$ 的垂直平分线上，$\therefore MA= MC. \because MD⊥AD,ME⊥BC,\therefore ∠ADM=∠CEM=90^{\circ }.$ 在$\mathrm{Rt}△ MAD$ 和 $\mathrm{Rt}△ MCE$ 中，$\begin{cases} MA=MC,\\ AD=CE,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ MAD ≌$ $\mathrm{Rt}△ MCE(\mathrm{HL}),\therefore MD=ME.$ 又 $\because MD⊥BA,ME⊥BC$，$\therefore$ 点 $M$ 在$∠ABC$ 的平分线上，即 $BM$ 平分$∠ABC$