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1. 妈妈的手机套餐流量计费标准如下：
每月包含30 GB流量，套餐费58元；超出30 GB但不超过50 GB的部分，每GB 3元；超出50 GB的部分，每GB 5元。(GB是流量单位)
妈妈7月的流量费是128元，她7月用了多少GB流量？
每月包含30 GB流量，套餐费58元；超出30 GB但不超过50 GB的部分，每GB 3元；超出50 GB的部分，每GB 5元。(GB是流量单位)
妈妈7月的流量费是128元，她7月用了多少GB流量？
答案
3×(50-30)=60(元) 128-58-60=10(元)
10÷5=2(GB) 50+2=52(GB)
答:她7月用了52 GB流量。
10÷5=2(GB) 50+2=52(GB)
答:她7月用了52 GB流量。
解析
【分析】
这是分段计费类问题，解题时首先要理清三段流量的计费规则：①30GB以内总费用58元；②30~50GB的部分，每GB3元；③超过50GB的部分，每GB5元。第一步先计算30GB到50GB区间的总费用，结合套餐费算出流量用到50GB时的总花费，对比妈妈的总流量费128元，判断流量是否超过50GB；第二步扣除套餐费和30~50GB区间的费用，得到超出50GB部分的总花费，除以对应单价算出超出50GB的流量；最后加上50GB即可得到总流量。
【解析】
首先计算30GB到50GB这部分的流量费用：
$3×(50-30)=60$(元)
再计算超出50GB部分的总费用：
$128-58-60=10$(元)
超出50GB的流量为：
$10÷5=2$(GB)
总流量为：
$50+2=52$(GB)
【答案】
她7月用了52 GB流量。
【知识点】
1.分段计费问题
2.整数四则混合运算
【点评】
本题是生活中常见的套餐计费类应用题，解题核心是明确不同区间的计费标准，先通过计算判断消费对应的流量区间，再分段计算对应流量后求和即可，能很好地考查学生结合生活实际解决数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是分段计费类问题，解题时首先要理清三段流量的计费规则：①30GB以内总费用58元；②30~50GB的部分，每GB3元；③超过50GB的部分，每GB5元。第一步先计算30GB到50GB区间的总费用，结合套餐费算出流量用到50GB时的总花费，对比妈妈的总流量费128元，判断流量是否超过50GB；第二步扣除套餐费和30~50GB区间的费用，得到超出50GB部分的总花费，除以对应单价算出超出50GB的流量；最后加上50GB即可得到总流量。
【解析】
首先计算30GB到50GB这部分的流量费用：
$3×(50-30)=60$(元)
再计算超出50GB部分的总费用：
$128-58-60=10$(元)
超出50GB的流量为：
$10÷5=2$(GB)
总流量为：
$50+2=52$(GB)
【答案】
她7月用了52 GB流量。
【知识点】
1.分段计费问题
2.整数四则混合运算
【点评】
本题是生活中常见的套餐计费类应用题，解题核心是明确不同区间的计费标准，先通过计算判断消费对应的流量区间，再分段计算对应流量后求和即可，能很好地考查学生结合生活实际解决数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
2. 新情境生活应用网约车计费规则:起步价8元(3千米及以内),超过3千米不超过10千米的部分,每千米1.8元;超过10千米的部分,每千米2.5元,另收全程燃油附加费2元。李阿姨打车从家到机场共行驶19.6千米,她一共要付多少元打车费?
答案
8+1.8×(10-3)+2.5×(19.6-10)+2=46.6(元)
答:她一共要付46.6元打车费。
答:她一共要付46.6元打车费。
解析
【分析】
这是一道分段计费的实际应用题，解题时需按照计费规则将总路程划分成对应的三段分别计算费用，最后相加再加上固定的燃油附加费即可。思考步骤：1. 先明确计费的三个区间：3千米及以内，3~10千米，10千米以上；2. 分别计算每个区间的路程，再对应乘各区间的单价算出各段费用；3. 把三段费用相加后，再加全程燃油附加费2元，就是总打车费。
【解析】
第一步：3千米及以内的费用为固定起步价8元。
第二步：计算3千米到10千米部分的费用：
该段路程：$10 - 3 = 7$（千米）
该段费用：$1.8 × 7 = 12.6$（元）
第三步：计算超过10千米部分的费用：
该段路程：$19.6 - 10 = 9.6$（千米）
该段费用：$2.5 × 9.6 = 24$（元）
第四步：加上全程燃油附加费2元，总费用为：
$8 + 12.6 + 24 + 2 = 46.6$（元）
【答案】
她一共要付46.6元打车费。
【知识点】
分段计费问题、小数乘法运算、四则混合运算
【点评】
本题贴合生活中的打车计费场景，解题核心是理清不同里程段的收费标准，准确拆分各段里程分别计算费用，注意不要遗漏额外收取的燃油附加费即可正确求解。
【难度系数】
0.7
这是一道分段计费的实际应用题，解题时需按照计费规则将总路程划分成对应的三段分别计算费用，最后相加再加上固定的燃油附加费即可。思考步骤：1. 先明确计费的三个区间：3千米及以内，3~10千米，10千米以上；2. 分别计算每个区间的路程，再对应乘各区间的单价算出各段费用；3. 把三段费用相加后，再加全程燃油附加费2元，就是总打车费。
【解析】
第一步：3千米及以内的费用为固定起步价8元。
第二步：计算3千米到10千米部分的费用：
该段路程：$10 - 3 = 7$（千米）
该段费用：$1.8 × 7 = 12.6$（元）
第三步：计算超过10千米部分的费用：
该段路程：$19.6 - 10 = 9.6$（千米）
该段费用：$2.5 × 9.6 = 24$（元）
第四步：加上全程燃油附加费2元，总费用为：
$8 + 12.6 + 24 + 2 = 46.6$（元）
【答案】
她一共要付46.6元打车费。
【知识点】
分段计费问题、小数乘法运算、四则混合运算
【点评】
本题贴合生活中的打车计费场景，解题核心是理清不同里程段的收费标准，准确拆分各段里程分别计算费用，注意不要遗漏额外收取的燃油附加费即可正确求解。
【难度系数】
0.7
3.（1）将十进制数18和35转化为二进制数。
（2）将二进制数1001和1110转化为十进制数。
（2）将二进制数1001和1110转化为十进制数。
答案
（1）18÷2=9……0 9÷2=4……1
4÷2=2……0 2÷2=1……0 1÷2=0……1
18=(10010)₂
35÷2=17……1 17÷2=8……1 8÷2=4……0
4÷2=2……0 2÷2=1……0 1÷2=0……1
35=(100011)₂
（2）(1001)₂=8×1+1×1=9
(1110)₂=8×1+4×1+2×1=14
4÷2=2……0 2÷2=1……0 1÷2=0……1
18=(10010)₂
35÷2=17……1 17÷2=8……1 8÷2=4……0
4÷2=2……0 2÷2=1……0 1÷2=0……1
35=(100011)₂
（2）(1001)₂=8×1+1×1=9
(1110)₂=8×1+4×1+2×1=14
解析
【分析】
本题考查十进制和二进制的互相转换，解题思路如下：①十进制转二进制：用要转换的十进制数反复除以2，记录每次的余数，直到商为0为止，最后将得到的余数从后往前倒序排列，就是对应的二进制数；②二进制转十进制：从二进制数的最右端开始，依次给每一位对应赋值1、2、4、8……（每往左一位对应数值乘2），用每一位上的数字乘它对应的赋值，再把所有结果相加，得到的就是对应的十进制数。
【解析】
（1）十进制转二进制采用除2取余法：
转换18：
18÷2=9……0
9÷2=4……1
4÷2=2……0
2÷2=1……0
1÷2=0……1
将余数从后往前倒序排列，得18=(10010)₂
转换35：
35÷2=17……1
17÷2=8……1
8÷2=4……0
4÷2=2……0
2÷2=1……0
1÷2=0……1
将余数从后往前倒序排列，得35=(100011)₂
（2）二进制转十进制采用按位求和法：
(1001)₂从左到右各位对应数值为8、4、2、1，因此：
(1001)₂=8×1+4×0+2×0+1×1=9
(1110)₂从左到右各位对应数值为8、4、2、1，因此：
(1110)₂=8×1+4×1+2×1+1×0=14
【答案】
（1）18=(10010)₂，35=(100011)₂
（2）(1001)₂=9，(1110)₂=14
【知识点】
1.十进制转二进制
2.二进制转十进制
【点评】
本题是进制转换的基础题型，重点考查两种转换方法的掌握程度，熟练掌握除2取余倒序排列、按位展开求和的方法即可轻松解题，是学习进制相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.7
本题考查十进制和二进制的互相转换，解题思路如下：①十进制转二进制：用要转换的十进制数反复除以2，记录每次的余数，直到商为0为止，最后将得到的余数从后往前倒序排列，就是对应的二进制数；②二进制转十进制：从二进制数的最右端开始，依次给每一位对应赋值1、2、4、8……（每往左一位对应数值乘2），用每一位上的数字乘它对应的赋值，再把所有结果相加，得到的就是对应的十进制数。
【解析】
（1）十进制转二进制采用除2取余法：
转换18：
18÷2=9……0
9÷2=4……1
4÷2=2……0
2÷2=1……0
1÷2=0……1
将余数从后往前倒序排列，得18=(10010)₂
转换35：
35÷2=17……1
17÷2=8……1
8÷2=4……0
4÷2=2……0
2÷2=1……0
1÷2=0……1
将余数从后往前倒序排列，得35=(100011)₂
（2）二进制转十进制采用按位求和法：
(1001)₂从左到右各位对应数值为8、4、2、1，因此：
(1001)₂=8×1+4×0+2×0+1×1=9
(1110)₂从左到右各位对应数值为8、4、2、1，因此：
(1110)₂=8×1+4×1+2×1+1×0=14
【答案】
（1）18=(10010)₂，35=(100011)₂
（2）(1001)₂=9，(1110)₂=14
【知识点】
1.十进制转二进制
2.二进制转十进制
【点评】
本题是进制转换的基础题型，重点考查两种转换方法的掌握程度，熟练掌握除2取余倒序排列、按位展开求和的方法即可轻松解题，是学习进制相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.7
4. 新趋势创新应用 舞台上的黄金表演点：演员的位置与舞台一端的距离和舞台长度的比为0.618:1时，表演效果最佳。一个长方形舞台长12米，宽6米。
（1）演员站在距离舞台左端多少米的位置是黄金表演点？
（2）如果演员站在距离右端的黄金表演点，那么此时距离左端多少米？
（1）演员站在距离舞台左端多少米的位置是黄金表演点？
（2）如果演员站在距离右端的黄金表演点，那么此时距离左端多少米？
答案
（1）12×0.618=7.416(米)
答:演员站在距离舞台左端7.416米的位置是黄金表演点。
（2）12-7.416=4.584(米)
答:此时距离左端4.584米。
答:演员站在距离舞台左端7.416米的位置是黄金表演点。
（2）12-7.416=4.584(米)
答:此时距离左端4.584米。
解析
【分析】
这道题是黄金比在生活中的实际应用问题，解题思路如下：首先明确题目给出的黄金表演点定义：演员到舞台一端的距离与舞台总长度的比值为0.618。（1）求距离左端的黄金表演点时，直接用舞台总长度乘0.618就能得到对应的距离；（2）求距离右端的黄金表演点对应的左端距离时，可先算出该点到右端的黄金距离，再用总长度减去这个距离，就能得到到左端的距离。
【解析】
（1）已知舞台总长度为12米，根据黄金表演点的比例要求，距离左端的长度为：
$12×0.618=7.416$（米）
（2）距离右端的黄金表演点到右端的距离为7.416米，因此距离左端的长度为：
$12-7.416=4.584$（米）
【答案】
（1）演员站在距离舞台左端7.416米的位置是黄金表演点。
（2）此时距离左端4.584米。
【知识点】
1. 比的应用
2. 小数乘法计算
【点评】
本题结合舞台表演的实际场景考查比例的实际应用，解题核心是准确理解黄金表演点的比例定义，区分从两端测量时的位置关系，计算难度较低，贴近生活实际，能锻炼学生将数学知识应用于生活的能力。
【难度系数】
0.8
这道题是黄金比在生活中的实际应用问题，解题思路如下：首先明确题目给出的黄金表演点定义：演员到舞台一端的距离与舞台总长度的比值为0.618。（1）求距离左端的黄金表演点时，直接用舞台总长度乘0.618就能得到对应的距离；（2）求距离右端的黄金表演点对应的左端距离时，可先算出该点到右端的黄金距离，再用总长度减去这个距离，就能得到到左端的距离。
【解析】
（1）已知舞台总长度为12米，根据黄金表演点的比例要求，距离左端的长度为：
$12×0.618=7.416$（米）
（2）距离右端的黄金表演点到右端的距离为7.416米，因此距离左端的长度为：
$12-7.416=4.584$（米）
【答案】
（1）演员站在距离舞台左端7.416米的位置是黄金表演点。
（2）此时距离左端4.584米。
【知识点】
1. 比的应用
2. 小数乘法计算
【点评】
本题结合舞台表演的实际场景考查比例的实际应用，解题核心是准确理解黄金表演点的比例定义，区分从两端测量时的位置关系，计算难度较低，贴近生活实际，能锻炼学生将数学知识应用于生活的能力。
【难度系数】
0.8
5. 新素养运算能力 用竖式计算。
$(101)_2 + (110)_2 =$ $(1101)_2 - (1010)_2 =$
$(101)_2 + (110)_2 =$ $(1101)_2 - (1010)_2 =$
答案
$(1011)_2$ $(11)_2$ 竖式略
解析
【分析】
二进制竖式计算和十进制竖式计算思路一致，首先要将相同数位对齐，从最低位（最右侧）开始计算。加法遵循“满二进一”的规则，即某一位相加和为2时，向前一位进1，本位写0；减法遵循“借一当二”的规则，即某一位不够减时，向前一位借1当作2，和本位数字相加后再减，按照该规则分别计算两道题即可。
【解析】
1. 计算$\boldsymbol{(101)_2 + (110)_2}$：
对齐数位列竖式，从右往左逐位计算：
最低位：$1+0=1$，本位写1；
第二位：$0+1=1$，本位写1；
第三位：$1+1=2$，满2进1，本位写0，向前一位进1；
第四位：进位的1，本位写1；
计算结果为$(1011)_2$。
2. 计算$\boldsymbol{(1101)_2 - (1010)_2}$：
对齐数位列竖式，从右往左逐位计算：
最低位：$1-0=1$，本位写1；
第二位：$0-1$不够减，向前一位借1当2，$2-1=1$，本位写1；
第三位：原本的1被借走1剩0，$0-0=0$，本位写0；
第四位：$1-1=0$，最高位的0省略不写；
计算结果为$(11)_2$。
（竖式书写格式和十进制竖式一致，仅计算规则不同）
【答案】
$(1011)_2$；$(11)_2$
【知识点】
二进制加法；二进制减法；竖式计算
【点评】
本题考查二进制的基础运算，运算逻辑和十进制高度相似，只要熟练掌握“满二进一、借一当二”的计算规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
二进制竖式计算和十进制竖式计算思路一致，首先要将相同数位对齐，从最低位（最右侧）开始计算。加法遵循“满二进一”的规则，即某一位相加和为2时，向前一位进1，本位写0；减法遵循“借一当二”的规则，即某一位不够减时，向前一位借1当作2，和本位数字相加后再减，按照该规则分别计算两道题即可。
【解析】
1. 计算$\boldsymbol{(101)_2 + (110)_2}$：
对齐数位列竖式，从右往左逐位计算：
最低位：$1+0=1$，本位写1；
第二位：$0+1=1$，本位写1；
第三位：$1+1=2$，满2进1，本位写0，向前一位进1；
第四位：进位的1，本位写1；
计算结果为$(1011)_2$。
2. 计算$\boldsymbol{(1101)_2 - (1010)_2}$：
对齐数位列竖式，从右往左逐位计算：
最低位：$1-0=1$，本位写1；
第二位：$0-1$不够减，向前一位借1当2，$2-1=1$，本位写1；
第三位：原本的1被借走1剩0，$0-0=0$，本位写0；
第四位：$1-1=0$，最高位的0省略不写；
计算结果为$(11)_2$。
（竖式书写格式和十进制竖式一致，仅计算规则不同）
【答案】
$(1011)_2$；$(11)_2$
【知识点】
二进制加法；二进制减法；竖式计算
【点评】
本题考查二进制的基础运算，运算逻辑和十进制高度相似，只要熟练掌握“满二进一、借一当二”的计算规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
6. 某市居民电费计费标准如下：
王叔叔家8月缴电费326元，他家8月用电多少千瓦·时？
王叔叔家8月缴电费326元，他家8月用电多少千瓦·时？
答案
0.55×200=110(元) 0.6×(400-200)=120(元)
326-110-120=96(元)
96÷0.8=120(千瓦·时)
400+120=520(千瓦·时)
答:他家8月用电520千瓦·时。
326-110-120=96(元)
96÷0.8=120(千瓦·时)
400+120=520(千瓦·时)
答:他家8月用电520千瓦·时。
解析
【分析】
这是分段计费类问题，解题时首先要明确各档位的用电区间和对应单价，先计算各档位最高缴费金额，判断给定电费对应的用电档位：首先计算第一档200千瓦·时的最高缴费，再计算第二档200~400千瓦·时的最高缴费，将两档最高费用相加和326元对比，可知326元超过了前两档的总费用，说明用电量超过了400千瓦·时，接下来先算出超过400千瓦·时部分的电费，再根据第三档单价算出超出部分的用电量，最后加上400千瓦·时即可得到总用电量。
【解析】
1. 计算第一档最高电费：
$0.55×200=110$（元）
2. 计算第二档最高电费：
$0.6×(400-200)=120$（元）
3. 前两档总最高电费为$110+120=230$元，$326＞230$，说明用电量超过400千瓦·时，计算超出400千瓦·时部分的电费：
$326-110-120=96$（元）
4. 计算超出400千瓦·时的用电量：
$96÷0.8=120$（千瓦·时）
5. 计算总用电量：
$400+120=520$（千瓦·时）
【答案】
他家8月用电520千瓦·时。
【知识点】
1. 分段计费问题
2. 小数四则运算
3. 总价单价数量关系
【点评】
本题是生活中常见的阶梯收费类应用题，解题关键是先根据各档位的收费上限判断实际消费所属档位，再按档位规则分部分计算对应用量，最后汇总得到结果，解题时需注意不要混淆不同档位的计价区间和对应单价。
【难度系数】
0.6
这是分段计费类问题，解题时首先要明确各档位的用电区间和对应单价，先计算各档位最高缴费金额，判断给定电费对应的用电档位：首先计算第一档200千瓦·时的最高缴费，再计算第二档200~400千瓦·时的最高缴费，将两档最高费用相加和326元对比，可知326元超过了前两档的总费用，说明用电量超过了400千瓦·时，接下来先算出超过400千瓦·时部分的电费，再根据第三档单价算出超出部分的用电量，最后加上400千瓦·时即可得到总用电量。
【解析】
1. 计算第一档最高电费：
$0.55×200=110$（元）
2. 计算第二档最高电费：
$0.6×(400-200)=120$（元）
3. 前两档总最高电费为$110+120=230$元，$326＞230$，说明用电量超过400千瓦·时，计算超出400千瓦·时部分的电费：
$326-110-120=96$（元）
4. 计算超出400千瓦·时的用电量：
$96÷0.8=120$（千瓦·时）
5. 计算总用电量：
$400+120=520$（千瓦·时）
【答案】
他家8月用电520千瓦·时。
【知识点】
1. 分段计费问题
2. 小数四则运算
3. 总价单价数量关系
【点评】
本题是生活中常见的阶梯收费类应用题，解题关键是先根据各档位的收费上限判断实际消费所属档位，再按档位规则分部分计算对应用量，最后汇总得到结果，解题时需注意不要混淆不同档位的计价区间和对应单价。
【难度系数】
0.6
7. 一张长方形照片长24厘米，宽15厘米，在照片内画一个最大的正方形，正方形的一个顶点是否在照片的黄金分割点上？请通过计算说明。
答案
24×0.618=14.832(厘米) 14.832＜15
答:正方形的一个顶点不在照片的黄金分割点上。
答:正方形的一个顶点不在照片的黄金分割点上。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：第一步，先明确在长方形内画最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽，也就是15厘米，这个正方形的一个顶点落在长方形的长边上，距离长的端点的长度就是正方形的边长15厘米；第二步，根据黄金分割的定义（较长线段与线段全长的比值约为0.618），计算出长方形长的黄金分割点对应的长度，再和15厘米对比，若二者相等则顶点在黄金分割点上，反之则不在。
【解析】
黄金分割的比值约为0.618，先计算长方形长24厘米的黄金分割点对应的较长段长度：
$24×0.618=14.832$（厘米）
长方形内最大正方形的边长等于长方形的宽，为15厘米。
对比两个数值可得$14.832＜15$，二者不相等。
因此正方形的一个顶点不在照片的黄金分割点上。
【答案】
24×0.618=14.832(厘米) 14.832＜15
答:正方形的一个顶点不在照片的黄金分割点上。
【知识点】
1. 长方形内最大正方形的特征
2. 黄金分割的应用
【点评】
本题结合了平面图形特征与黄金分割的相关知识，解题关键是先确定最大正方形的边长，再通过计算对比得出结论，能很好地考查对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分两步思考：第一步，先明确在长方形内画最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽，也就是15厘米，这个正方形的一个顶点落在长方形的长边上，距离长的端点的长度就是正方形的边长15厘米；第二步，根据黄金分割的定义（较长线段与线段全长的比值约为0.618），计算出长方形长的黄金分割点对应的长度，再和15厘米对比，若二者相等则顶点在黄金分割点上，反之则不在。
【解析】
黄金分割的比值约为0.618，先计算长方形长24厘米的黄金分割点对应的较长段长度：
$24×0.618=14.832$（厘米）
长方形内最大正方形的边长等于长方形的宽，为15厘米。
对比两个数值可得$14.832＜15$，二者不相等。
因此正方形的一个顶点不在照片的黄金分割点上。
【答案】
24×0.618=14.832(厘米) 14.832＜15
答:正方形的一个顶点不在照片的黄金分割点上。
【知识点】
1. 长方形内最大正方形的特征
2. 黄金分割的应用
【点评】
本题结合了平面图形特征与黄金分割的相关知识，解题关键是先确定最大正方形的边长，再通过计算对比得出结论，能很好地考查对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
