1. [2025泰安月考]已知$∠ AOB = 50°$，$∠ BOC = 30°$，OD平分$∠ AOC$，则$∠ AOD$的度数为（）

A.$20°$
B.$80°$
C.$20°$或$80°$
D.$10°$或$40°$

分两种情况:①射线 OC 在 $∠AOB$ 的外部,,$∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 50° + 30° = 80°$,因为 OD 平分$∠AOC$,所以$∠AOD = \frac{1}{2}∠AOC = 40°$;②射线 OC 在$∠AOB$ 的内部,,$∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 50° - 30° = 20°$,因为 OD 平分$∠AOC$,所以$∠AOD = \frac{1}{2}∠AOC = 10°$。

2. [2026 赣州期末] 同一平面内，$∠ AOB = 120°$，$∠ AOC = 30°$，$∠ COD = 60°$，$∠ COD$ 至少有一边在$∠ AOB$内部，则$∠ BOD$的度数为。

如图1,当 OC,OD 都在$∠AOB$内部时,$∠BOD = ∠AOB - ∠AOC - ∠COD = 30°$;如图2,当 OC 在$∠AOB$内部,OD 在$∠AOB$外部时,$∠BOD = ∠AOB - ∠AOC + ∠COD = 150°$;如图3,当 OC 在$∠AOB$外部,OD 在$∠AOB$内部时,$∠BOD = ∠AOB + ∠AOC - ∠COD = 90°$。

3. [2025 昆明三中期末]如图,已知$∠ AOB$是直角,$∠ AOC$是锐角,$ON$平分$∠ AOC$,$OM$平分$∠ BOC$,则$∠ MON$的大小等于（）

A.$45°$
B.$45° + \frac{1}{2}∠ AOC$
C.$60° - \frac{1}{2}∠ AOC$
D.$90° - \frac{1}{2}∠ AOC$

因为 OM 平分$∠BOC$,ON 平分$∠AOC$,所以$∠MOC = \frac{1}{2}∠BOC$,$∠NOC = \frac{1}{2}∠AOC$,所以$∠MON = ∠MOC - ∠NOC = \frac{1}{2}(∠BOC - ∠AOC) = \frac{1}{2}∠AOB = \frac{1}{2}×90° = 45°$。

4. [2026北京101中学月考]已知$∠ AOB$,射线$OC$在$∠ AOB$的内部,射线$OM$是$∠ AOC$内靠近$OA$的三等分线,射线$ON$是$∠ BOC$内靠近$OB$的三等分线。
(1)如图,若$∠ AOB = 120°$,$OC$平分$∠ AOB$。
①补全图形。
②填空:$∠ MON$的度数为________。
(2)探究$∠ MON$和$∠ AOB$的等量关系。

解:(1)①补全图形如图所示。
②$80°$
因为 OC 平分$∠AOB$,$∠AOB = 120°$,所以$∠AOC = ∠BOC = 60°$,由题意知$∠AOM = \frac{1}{3}∠AOC = 20°$,$∠BON = \frac{1}{3}∠BOC = 20°$,所以$∠MON = ∠AOB - ∠AOM - ∠BON = 80°$。
(2)因为射线 OM 是$∠AOC$内靠近 OA 的三等分线,射线 ON 是$∠BOC$内靠近 OB 的三等分线,
所以$∠AOM = \frac{1}{3}∠AOC$,$∠BON = \frac{1}{3}∠BOC$,
所以$∠MON = ∠AOB - (∠AOM + ∠BON) = ∠AOB - \frac{1}{3}(∠AOC + ∠BOC) = \frac{2}{3}∠AOB$,
所以$∠MON = \frac{2}{3}∠AOB$。

5. [2026 天津河东区期末] 如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC = 120°，一块三角板(∠MON = 90°, ∠OMN = 30°, ∠ONM = 60°)的直角顶点与点O重合，边OM在射线OB上，边ON在直线AB的下方。若三角板绕点O按每秒10°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分∠AOC，则t的值为 ()


A.5
B.6
C.5或23
D.6或24

因为$∠BOC = 120°$,所以$∠AOC = 60°$。分两种情况:
当 NO 的延长线平分$∠AOC$时,,$∠BON = \frac{1}{2}∠AOC = 30°$,此时,三角板旋转的角度为$90° - 30° = 60°$,所以$t = 60° ÷ 10° = 6$;当 ON 在$∠AOC$的内部,且平分$∠AOC$时,,三角板旋转的角度为$360° - 90° - 30° = 240°$,所以$t = 240° ÷ 10° = 24$。综上,t 的值为 6 或 24。

6. [2025 贵阳南明区月考]点 O 是直线 AB 上一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC。

(1)①如图1，若∠DOE =25°,求∠AOC 的度数；
②如图2，若∠DOE =α,直接写出∠AOC 的度数。(用含α的式子表示)
(2)将图1中的∠COD 绕点 O 按顺时针方向旋转至如图2 所示的位置。探究∠DOE 与∠AOC 的数量关系,写出你的结论,并说明理由。

解:(1)①因为$∠COD = 90°$,$∠DOE = 25°$,
所以$∠COE = ∠COD - ∠DOE = 90° - 25° = 65°$,
又因为 OE 平分$∠BOC$,所以$∠BOC = 2∠COE = 130°$,
所以$∠AOC = 180° - ∠BOC = 180° - 130° = 50°$。
②$∠AOC = 2α$。
(2)$∠DOE = \frac{1}{2}∠AOC$。理由如下:
因为$∠BOC = 180° - ∠AOC$,OE 平分$∠BOC$,
所以$∠COE = \frac{1}{2}∠BOC = \frac{1}{2}(180° - ∠AOC) = 90° - \frac{1}{2}∠AOC$,
又因为$∠COD = 90°$,
所以$∠DOE = ∠COD - ∠COE = 90° - (90° - \frac{1}{2}∠AOC) = \frac{1}{2}∠AOC$。