13. (2024·甘南)某网络经销商购进了一批 A 型钥匙扣和 B 型钥匙扣.已知购进 A 型钥匙扣50 个、B 型钥匙扣 30 个共需 870 元,购进 A 型钥匙扣 30 个、B 型钥匙扣 50 个共需 810 元.
(1)每个 A 型钥匙扣和 B 型钥匙扣的进价分别是多少元?
(2)该经销商决定购进 A 型钥匙扣和 B 型钥匙扣共 100 个,投入资金不超过 1 000 元,并将A 型钥匙扣的售价定为每个 20 元,B 型钥匙扣的售价定为每个 15 元.请问如何进货可以使该经销商获得最大利润?最大利润是多少元?

解： (1)设每个$A$型钥匙扣的进价为$x$元，$B$型钥匙扣的进价为$y$元。根据题意，得$\begin{cases}50x + 30y = 870\\30x + 50y = 810\end{cases}，$ 解得$\begin{cases}x = 12\\y = 9\end{cases}。$答：每个$A$型钥匙扣的进价为$12$元，$B$型钥匙扣的进价为$9$元。 (2)设购进$A$型钥匙扣$a$个，则购进$B$型钥匙扣$(100 - a)$个，利润为$W$元。 根据题意，得$W=(20 - 12)a+(15 - 9)(100 - a)=2a + 600。$ 因为$12a + 9(100 - a)\leq1000，$所以$a\leq33\frac{1}{3}，$且$a$为非负整数。 因为$2\gt0，$所以$W$随着$a$的增大而增大，所以当$a = 33$时，$W$取得最大值，最大值为$2\times33 + 600 = 666$（元），$100 - 33 = 67$（个）。 答：该经销商应购进$A$型钥匙扣$33$个，$B$型钥匙扣$67$个，可获得最大利润，最大利润为$666$元。

14. (2024·长春)区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为 20 km 的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶$\frac{1}{12}\mathrm{h}$，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计).当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为 100 km/h.汽车在区间测速路段行驶的路程$y(\mathrm{km})$与在此路段行驶的时间$x(\mathrm{h})$之间的函数图象如图所示.
(1)$a$的值为______.
(2)当$\frac{1}{12}≤ x≤ a$时，求$y$关于$x$的函数表达式.
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过 120 km/h)

$\frac{1}{5}$ ; 解：(2)设当$\frac{1}{12}\leq x\leq\frac{1}{5}$时，$y$关于$x$的函数表达式为$y = kx + b(k\neq0)，$把$(\frac{1}{6},17)，$$(\frac{1}{5},20)$代入，得$\begin{cases}\frac{1}{6}k + b = 17\\\frac{1}{5}k + b = 20\end{cases}，$ 解得$\begin{cases}k = 90\\b = 2\end{cases}，$
所以$y$关于$x$的函数表达式为$y = 90x + 2(\frac{1}{12}\leq x\leq\frac{1}{5})。$ (3)当$x = \frac{1}{12}$时，$y = 90\times\frac{1}{12}+2 = 9.5，$所以这辆汽车减速前的速度为$9.5\div\frac{1}{12}=114(km/h)。$ 因为$114\lt120，$所以这辆汽车减速前没有超速。